2015年-2019年高考数学分类考点44 二项式定理

考点44 二项式定理
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T10)(x 2+x+y)5的展开式中,x 5y 2的系数为 ( ) A.10
B.20
C.30
D.60
【解析】选C.在(x 2+x+y)5的5个因式中,2个取因式中x 2,剩余的3个因式
中1个取x,其余因式取y,故x 5y 2的系数为=30. 2.(2015·湖北高考理科·T3)已知(1+x)n
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 ( ) A.212
B.211
C.210
D.29
【解题指南】利用二项式系数的性质.二项式系数之和为2n .奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.
【解析】选D. 3
7
=
n n
痧，n=3+7=10,二项式系数之和为210.奇数项的二项式系
数和等于偶数项的二项式系数和,所以奇数项的二项式系数和为29. 3. (2015·陕西高考理科·T4)二项式(x+1)n (n ∈N +)的展开式中x 2的系数为15,则 n= ( ) A.4
B.5
C.6
D.7
【解题指南】在二项展开式的通项公式中,令x 的幂指数等于2,从而求得n 的值.
【解析】选C.二项式(x+1)n (n ∈N +)展开式的通项公式为T r+1
=x n-r ,令n-r=2,
则=15,解之得r=4,n=6,故C 正确. 二、填空题
4. （2015·安徽高考理科·T11）371
()x x +的展开式中5
x 的系数是 （用
数字填写答案）
【解题指南】利用二项展开式定理计算。

212
53
2C C C
【解析】因为372141771().()r
r r r r
r T C x C x x --+==，所以令21-4r=5,得r=4，故所求系数为
4735
C =
答案：35
5. (2015·广东高考理科·T9)在
(-1)4的展开式中,x 的系数
为 .
【解题指南】先利用二项展开通项公式写出T r+1项,然后再利用x 的指数为1,求出r,再将r 代入通项即可. 【解析】
由题可知()
()442
14
4
11r r
r
r
r r r T C
C x
--+=-=-，令
412
r
-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()2
2
416C -=答案:6
6. (2015·北京高考理科·T9)在(2+x)5的展开式中,x 3的系数为 (用数字作答).
【解题指南】利用二项展开式的通项可以求出x 3的系数.
【解析】含有x 3的项为323
35
240C x x =.所以x 3的系数为40. 答案:40
7..(2015·四川高考理科·T11)在(2x-1)5的展开式中,含x 2的项的系数是 (用数字填写答案).
【解题指南】这里T r +1=(2)5-r (-1)r =25-r 5-r (-1)r ,令5-r=2,进而可求系数. 【解析】T r +1=(2)5-r (-1)r =25-r 5-r (-1)r ,令5-r=2, 得r=3,则2的系数=25-3(-1)3=10×4×(-1)=-40. 答案:-40
8.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T15)(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .
【解题指南】求出(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项,从而确定a 的值. 【解析】由已知得(1+x)4=1+4x+6x 2+4x 3+x 4,故(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax,4ax 3,x,6x 3,x 5,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得
r C 5x r C 5x r C 5x r C 5x x 35C
a=3. 答案: 3
9.(2015·山东高考理科·T11)观察下列各式:0014C =；01
133
4C C +=；01225554C C C ++=；0123
377774C C C C +++=；……，照此规律，当n *∈N 时， 0121
21212121n n n n n C C C C -----+++
+= .
【解题指南】本题考查合情推理和组合数公式的计算. 【解析】由类比推理可知第n 个等式右端应该是4n-1.事实上,由
021122
1212121212121,,
,n n n n n n n n n n C C C C C C ---------===及012
2n
n n n n n C C C C +++
+=可知，
012
1012
21
212121212121212121
11()22
2
n n n n n n n n n n n C C C C C C C C -----------++++=+++
+=⨯，即012122
121212121
24n n n n n n n C C C C -------+++
+==. 答案:4n-1
10.(2015·天津高考理科·T12)在(x-)6的展开式中,x 2的系数为 . 【解析】T
r+1=·x 6-2r ·(-4)-r ,
所以当r=2时,x 2的系数为.
答案:
11. （2015·重庆高考理科·Ｔ12）5
3
x ⎛ ⎝的展开式中8
x 的系数是_________（用数字作答）.
【解题指南】展开式中8x 为第3项，直接利用通项公式展开即可求出8x 的系数.
【解析】由二项式定理可知()
2
3
238
355.2T C x x =∙= 所以展开式中8x 的系数是52
答案：
5
2
12.(2015·福建高考理科·T11)
的展开式中，的系数等
于 ．（用数字作答）
【解题指南】利用二项展开式的通项公式求解. 【解析】T k+1
=x 5-k 2k ,所以5-k=2,k=3,
所以该项系数为23=80.
答案:80
1.(2016·四川高考理科·T2)设i 为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x 4的
项为 ( )
A.-15x 4
B.15x 4
C.-20ix 4
D.20ix 4
【解题指南】利用二项式定理展开,复数的运算.
【解析】选A.二项式()6
x i +展开的通项T r+1=r
6C x 6-r i r ,则其展开式中含x 4的项
是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x 4的项为26C x 4i 2=-15x 4
. 二填空题
2.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·
5的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案)
【解析】设展开式的第k+1项为T k+1,k ∈{0,1,2,3,4,5},
所以
552
1555(2)
2
k
k
k
k k k
k
T C C x
x ---
+== 当5-
2
k =3时,k=4,即T 5=54
4542
5
C x 2-
-=10x 3.
答案:10
3.(2016·山东高考理科·T12)
若5
21ax ⎛⎫+ ⎝
的展开式中x 5
的系数是-80,则
实数a= .
【解题指南】写出二项式的通项T r+1=()
1
n r
212n 2r r
r 2
r
r 2
n
n
C ax
()C x
n r
a
x
-----
=,利用x 5
的系数求出实数a 的值.
【解析】写出二项式的通项T r+1=()
1
n r
212n 2r r
r 2
r
r 2
n
n
C ax
()C x
n r
a
x
-----
=,
这里n=5,令10-5
2
r=5,则r=2,所以2
5C a 3=-80,所以a=-2.
答案:-2
()5
2x +2x
4.(2016·天津高考理科·T10)8
21x x ⎛⎫
- ⎪
⎝
⎭的展开式中x 7的系数为 .(用
数字作答)
【解题指南】写出通项公式T r+1,找到含有x 7的项,计算系数.
【解析】8
21x x ⎛⎫
- ⎪
⎝
⎭的展开式的通项T r+1=()
r
8r
r
2
r 1638
81C x
C 1x ()r r x --⎛⎫-- ⎪=⎝⎭
⋅,令16-3r=7,则r=3.当r=3时,()
3
5
32
8
1C x
x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
⋅ =-56x 7,所以x 7的系数为-56.
答案:-56
5.(2016·北京高考理科·T10)在(1-2x)6的展开式中,x 2
的系数为 .(用数字作答)
【解题指南】利用二项展开式的通项T r+1=r n C a n-r b r 求解. 【解析】(1-2x)6的展开式的通项为T r+1=r C 6(-2x)r , 所以T 3=26C (-2x)2=60x 2.
所以,x 2的系数为60. 答案:60
1.(2017·全国甲卷理科·T13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= .
【命题意图】二项分布以及方差,意在考查对数据的处理能力和运算能力. 【解析】X~B(100,0.02),所以DX=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96. 答案:1.96
1.(2018·全国Ⅲ高考理科·T5)
的展开式中x 4的系数为 ( )
A .10
B .20
C .40
D .80
【命题意图】本题设计与二项式定理、二项式特定项相关的问题,考查二项式定理应用,考查运算求解能力和方程的思想,体现了数学运算的核心素养.试题难度:易.
【解析】选C .展开式的通项公式为T
r +1=(x 2)5-r =2r x 10-3r ,令10-3r =4可
得r =2,则x 4的系数为22=40.
二、填空题
2.(2018·天津高考理科·T10)在
的展开式中,x 2的系数为 .
【命题意图】本题考查二项式定理、二项式某项的系数,考查考生应用二项式定理解决与二项式某项有关的问题,考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力.
=x5-r=(-1)r2-r,令=2,
【解析】因为的第r+1项T
=T2+1=(-1)22-2x2=x2.
解得r=2,即T
所以在的展开式中,x2的系数为.
答案:
3.(2018·浙江高考T14)二项式的展开式的常数项是.
【命题意图】考查二项式定理的展开.
=()8-r=2-r,由8-4r=0得r=2,所以常数
【解析】通项公式为T
项为2-2=7.
答案:7
1.(2019·全国卷Ⅲ理科·T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中,x3的系数为
()
A.12
B.16
C.20
D.24
【命题意图】本题考查二项式定理的应用,意在考查考生二项式定理、数据的运算求解能力.
【解析】选A.由题意可知含x3的项为1··1·x3+2x2··13·x=12x3,所以系数为12.
二、填空题
2.(2019·天津高考理科·T10)-展开式中的常数项为. 【命题意图】本题考查二项式定理、二项式某项的系数,考查考生应用二项式定理解决与二项式某项有关的问题,考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力.
【解析】-的第r+1项为
T
=(2x)8-r-=(-1)r28-4r x8-4r,
r+1
令8-4r=0,解得r=2,即T3=T2+1=(-1)220x0=28.
答案:28
3.(2019·浙江高考·T13)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.
【命题意图】本题主要考查二项展开式中的特定项.
【解析】展开式通项是:T r+1=()9-r x r,所以常数项是T1=()9=16,若系数为有理数,则9-r为偶数,所以r为奇数,所以r可取1,3,5,7,9.
答案:16 5
三、解答题
4.(2019·江苏高考·T22)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n,n≥4,n∈N*.已知=2a2a4.
(1)求n的值.
(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.
【命题意图】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.
【解题指南】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定a2,a3,a4的值,然后求解关于n的方程可得n的值.
(2)方法一:利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值,然后计算a2-3b2的值即可;
方法二:利用(1)中求得的n的值,由题意得到(1-)5的展开式,最后结合平方差公式即可确定a2-3b2的值.
【解析】(1)因为(1+x)n=+x+x2+…+x n,n≥4,
所以a2==-,a3==--,
a
==---.
4
因为=2a2a4,
所以--=2×-×---,
解得n=5.
(2)由(1)知,n=5.
(1+)n=(1+)5
=++()2+()3+()4+()5
=a+b.
方法一:
因为a,b∈N*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,
从而a2-3b2=762-3×442=-32.
方法二:
(1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+
(-)4+(-)5
=-+()2-()3+()4-()5.
因为a,b∈N*,所以(1-)5=a-b.
因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5×(1-)5=(-2)5=-32.。