2020-2021学年山西省朔州市新进疃中学高三数学理期末试题含解析

2020-2021学年山西省朔州市新进疃中学高三数学理期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包括边界）为E，为该区域内的一动点，则目标函数的最小值为
A． B． C．0 D．
参考答案：
答案：D
2. △ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )
A．必要不充分条件B．充分必要条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：解三角形．
分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．
解答：解：在△ABC中，“sinA＞”?“＞A＞”?“A＞”．必要性成立；
反之，“A＞不能?“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，
即sinA，即充分性不成立，
∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．
故选A．
点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．
3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
A
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，
所以，所以当n=6时，S n取最小值．
故选A．
【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．
4. 已知命题：，；命题：，.
则下列判断正确的是
A．是假命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命
题
参考答案：
5. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为（A）4 （B）8 （C）16 （D）32
参考答案：
D
双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。

所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设,
过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理
得，即，所以，所以,选D.
6. 设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）
A．1 B．C．5 D．9
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，0）的距离的平方，
由图象知A到直线x+y﹣2=0的距离最小，
此时距离d==，
则距离的平方d2=（）2=，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的距离公式是解决本题的关键．
7. 已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）
A．B．1 C．D．
参考答案：
C
8. 已知，其中i是虚数单位，那么实数a等于（）
A．3 B． C．-3 D．-
参考答案：
A
9. 若变量x，y满足约束条件，那么的最小值是（）A．－2 B．－3 C.1 D．－4
参考答案：
B
实数满足的线性区域如图所示：
可化为，由图可知当直线经过点时，截距取最小值，即. 故选B.
10. 某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少选中一个，则不同的选择方法有
A．91种 B．90种 C．89种 D．86种
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，且，则向量与向量的夹角是 . 参考答案：
12. 已知角的终边经过点（-4,3），则= ，
= ；
参考答案：
;
试题分析：由题意可得.
考点：任意角三角函数的定义.
13. 函数在处的切线方程为_______．
参考答案：
【分析】
求得函数的导数，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，则，
则，
所以在点处的切线方程为，即.
14. 已知关于x的方程只有一个实数解，则实数的值
为▲ .
参考答案：
3
15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
,，且，则A=____;若△ABC的面积为，则△ABC的周长的最小值为_____.
参考答案：
6
【分析】
先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解的值；根据面积以及在余弦定理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）.
【详解】由得
得,∴∴；
∴又
所以（当且仅当时等号成立）
【点睛】（1），若垂直，则有：；
（2）取等号的条件是：.
16. 在平面直角坐标系中，动点M(x，y)满足条件动点Q在曲
线(x－1)2＋y2＝上，则|MQ|的最小值为
A． B． C．1－ D．－
参考答案：
C
作出平面区域，由图形可知|MQ|的最小值为1－.
17. 已知函数满足，则=______ 参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，，且的解集为.[KS5UKS5U]（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，，且，求证：.
参考答案：
（Ⅰ）
的解集为可知.
（Ⅱ）则
当且仅当时等号成立，即，，时等号成立.
19. (本小题满分12分)
已知点F（1，0），直线,设动点P到直线的距离为,已知，
且．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若，求向量的夹角；
（3）如图所示，若点G满足，点Ｍ满足，且线段ＭＧ的垂直平分线经过点P，求的面积．
参考答案：
解：（1）设动点P的坐标为（x,y）,则
化简得
即动点的轨迹方程
夹角
**ks5u
略
20. 已知数列满足：其中
（1）当时，求的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列中，且求证：对于恒成立；
（3）对于设的前项和为，试比较与的大小．参考答案：
解：（1）当时，
即分
故数列是首项为公比为的等比数列．
故数列的通项公式为分
（2）由（1）得，当时，有
分
也满足上式，故当时，
，
即分
（3）解法一：由得：
即
是首项为公比为的等比数列，故
分
＝
＝分
因此，－＝－
＝
＝
＝
＜．分
解法二：同解法一得分
分
＝
＜．分
略
21. （本小题满分16分）已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
(2)若对且，，试证明，使
成立。

(3)是否存在，使同时满足以下条件①对，且；②对,都有。

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

参考答案：
解：（1）
当时，
函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。

………4分（2）令，则
，
在内必有一个实根。

即，使成立。

………………10分
(3)假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且
∴
由②知对,都有
令得……………13分
由得，………………………………………………15分
当时，，其顶点为（－1，0）满足条
件①，又对,都有，满足条件②。

∴存在，使同时满足条件①、②。

…………………………16分
22. (本题14分)已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在轴上，左右焦点分别为，且=2,点在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C上的一点在第一象限，且满足,圆的方程为
．求点坐标，并判断直线与圆的位置关系；
（3）设点为椭圆的左顶点，是否存在不同于点的定点,对于圆上任意一点
,都有为常数，若存在，求所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为， ----------------------1分
由点在该椭圆上，.
又得， ---------------------------3分
故椭圆的方程为. -----------------------------------4分
（2）解法1：设点P的坐标为,则-----------①由得，
∴，即-------② ---------------5分
由①②联立结合解得：，即点P的坐标为---7分
∴直线的方程为
∵圆的圆心O到直线的距离
∴直线与相切-------------------------------------------9分
[解法2：设点P的坐标为
∵，∴＝20
又∵∴
∵∴
∴，，即点P的坐标为，下同解法1.]
(3)设点M的坐标为，则
假设存在点，对于上任意一点,都有为常数，则
,
∴(常数)恒成立-----------------------------11分可得
∴∴或（不合舍去）--------13分
∴存在满足条件的点B，它的坐标为．------------------------14分。