高二数学(特征值与特征向量)学案

高二数学（特征值与特征向量）学案 姓名
【知识要点】
1、特征值和特征向量的定义：设a b A c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
,存在
λ和非零向量x y α⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
满足a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=λx y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，即ax by x cx dy y λλ+=⎧⎨+=⎩()0()0a x by cx d y λλ-+=⎧⇔⎨+-=⎩() ()a b c d λλ-⎡⎤⇔⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 0α≠，则() ()a b c d λλ--=0。

设() () ()
a b
f c d λλλ-=-称为特征多项式，则λ叫A 的一个特征值，α叫特征向量。

2、求矩阵a b A c d ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的特征值和特征向量的步骤： (1)构造特征多项式() () ()
a b
f c d λλλ-=-=0；解出λ的值；
(2) 将λ代入解方程()0
()0()0a x by a x by cx d y λλλ-+=⎧⇔-+=⎨+-=⎩
，取1x =或者1y =；；
得出对应的一个特征向量.
注: 如果向量α是属于λ的特征向量, 那么t α(t ∈R , t ≠0)也是属于λ的特征向量. 3.如何求n M β的步骤： （1）求M αλα=，即M 的特征值λ和特征向量α；（2）用特征向量12,αα线性表示向量x y
β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，即12,,m n m n βαα=+是常数，但一般不是12,λλ；（3）代
入12()M M m n βαα=+=12mM nM αα+,因为111M αλα=222M αλα=，12mM nM αα+=1122m n λαλα+，
依此，n
M β=1122n n m n λαλα+；
【例题选讲】
例1．求矩阵M=⎢⎢⎣⎡251- ⎥
⎥⎦⎤
32的特征值和特征向量。

例2、求矩阵A ＝00a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
的特征值及其对应的所有特征向量。

例3．已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为111α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，属于特征值－1的一个特征向量为211α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，求矩阵A ．
例4．已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为
1
3
⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
，属于特征值3的一个
特征向量为
1
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，求矩阵A．
例5、已知M=
23
32
-
⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
, β=
10
4
⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
, 求M2β.
例6．设矩阵M的特征值为λ1=3，λ2=－1，其对应的一个特征向量分别为
11 1
α
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，
21 1
α
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
．若
1
7
β
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，试求M20β．
例7．已知M=
12
21
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
,β=
1
7
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
, 计算M50β.
高二数学（特征值与特征向量）作业 姓名
1.下列说法错误的是 .①矩阵A 的一个特征向量只能属于A 的一个特征值 ②每个二阶矩阵均有特征向量；③属于矩阵A 的不同特征值的特征向量一定不共线；④ 如果ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，k ξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。

2.设1λ，2λ分别是恒等变换与零变换的特征值，则1λ－2λ＝
3.投影变换:σ0001⎛⎫
⎪⎝⎭
的所有特征值组成的集合为 4.矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的特征多项式为
5.已知A 是二阶矩阵，且A 2
＝0，则A 的特征值为
6.若0是矩阵A ＝110x ⎛⎫
⎪⎝⎭
的一个特征值，则A 的属于0的特征向量为 7.已知1、2是矩阵A ＝13m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的特征值，则1
A -＝
8.若向量12⎛⎫ ⎪⎝⎭是矩阵122m ⎛⎫
⎪⎝⎭
的一个特征向量，则m ＝
9.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：
①0140⎛⎫ ⎪⎝⎭ ②1011-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ③3452⎛⎫
⎪⎝⎭
10.已知向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭是矩阵102m ⎛⎫
⎪⎝⎭
的一个特征向量，求m 的值。

11．已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3-1，属于特征值3 的一个特征向量为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡11，求矩阵A ．
12.设A ＝23a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求满足下列条件的所有矩阵A ：①12-⎛⎫
⎪⎝⎭是A 的属于2的一个特
征向量。

②12-⎛⎫
⎪⎝⎭
是A 的一个特征向量。

13.对任意实数x ，矩阵322x m m +⎛⎫
⎪-⎝⎭
总存在特征向量，求m 的取值范围。

14．设矩阵M 的特征值为λ1=3，λ2=－1，其对应的一个特征向量分别为111α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
211α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．若17β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，试求M 20β．
15.已知矩阵M 221a ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，
（1）求实数a 的值； （2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.
【例题选讲】
例3．解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
可得a b c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝311⎡⎤⎢⎥
⎣⎦，即3
3
a b c d +=⎧⎨+=⎩； -----------------4分 由矩阵A 属于特征值2的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦，可得a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝（－1）11⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
， 即1
1
a b c d -=-⎧⎨
-=⎩ -------------6分
解得1
221
a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即矩阵1
221A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
-------------10分 例4．解：设A=a
b c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，由题知a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=311⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
………4分 即31
3333a b c d a b c d -=-⎧⎪
-=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩， ……………6分 解之得：2
130
a b c d =⎧⎪
=⎪⎨
=⎪⎪=⎩ ……………9分
∴A=2130⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
……………10分 例6．解 设12m n βαα=+，解得4,3m n ==-，所以
M 20β= M 201243αα-=4（M 201α）－3（M 202α）=4（λ1201α）－3（λ2202α）
=2020
2020
11433433(1)11433⎡⎤⋅-⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
． 说明：考查矩阵的特征值与特征向量的应用．
高二数学（特征值与特征向量）作业
1. ②
2.１
3.｛0，1｝
4.2
()()f a d ad bc λλλ=-++- 5.0 6.k k ⎛⎫
⎪-⎝⎭
7. 103122⎛⎫
⎪ ⎪-⎝⎭ 8.１ 9.①2,02k k k λ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ 或2,02k k k λ⎛⎫=-≠ ⎪-⎝⎭
；②01,0k k λ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭或21,0k k k λ⎛⎫=-≠ ⎪-⎝⎭③7,0k k k λ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭或42,05k k k λ⎛⎫=-≠ ⎪-⎝⎭
10.ｍ＝0
11．设A =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由题知a b c
d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a
b c d ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=311⎡⎤⎢⎥
⎣⎦ ……… 5分
即313333a b c d a b c d -=-⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解之得：213
0a b c d =⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪
=⎩ ∴A =2130⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ………10分
12.①02732⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭②12233
2λλ⎛
⎫- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭
13.－3≤ｍ≤2
14.解 设12m n βαα=+，解得4,3m n ==-，所以
M 20β= M 201243αα-=4（M 201α）－3（M 202α）=4（λ1201α）－3（λ2202α）
=2020
2020
11433433(1)11433⎡⎤⋅-⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
． 15.解：（1）由221a ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=40-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
（2分） ∴2243a a -=-⇒=. （3分） （2）由（1）知M 2321⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，则矩阵M 的特征多项式为 223()(2)(1)63421
f λλλλλλλ--==---=---- （5分）
令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4. （6分）
当1-=λ时， (2)30
02(1)0
x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩
∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
; （8分）
当4λ=时， (2)30
2302(1)0
x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨
-+-=⎩
∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. （10分）12.已知矩阵A ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=111a ，
其中R a ∈，若点)1,1(P 在矩阵A 的变换下得到)3,0('-P ． （1）求实数a 的值；
（2）矩阵A 的特征值和特征向量． （B ） （1）a=-4 （4分）
（2）特征值 3，-1 特征向量（1，-2） （1，2）（6分）。