湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷含答案

湖南2023-2024学年度高一第二学期入学考试
数学（答案在最后）
命题：
（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分
得分：______.
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）
1.已知全集()U {010},{1,3,5,7}
U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（
）
A
.
{}010x x ≤≤∣ B.{}010x x ∈≤≤N
∣C.
{}0,2,4,6,8,9,10 D.
{}
0,2,4,6,8,10【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.
【详解】{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U M N x x =⋃=∈≤≤=N
∣，且()
U {1,3,5,7}M N ⋂=ð，则集合N 中不包含元素1,3,5,7，即{}0,2,4,6,8,9,10N =.故选：C
2.已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取()()1f x x x =-，x ∈R ，则()00f =，但()()10,12f f =-=，即()()11f f -≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故充分性不满足；若函数()f x 为奇函数，则()()00f f =--，即()00f =，故必要性满足；
所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件.故选：B
3.为了得到函数cos
5
x
y =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（）
A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的
1
5，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的1
5
，横坐标不变
【答案】A 【解析】
【分析】根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数cos y x =图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数1
cos 5
y x =的图象．
故选：A ．
4.函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（
）
A
.
B.
C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】通过函数的定义域排除D 选项；通过函数的零点、在1x <-，10x -<<，01x <<，1x >四段范围内函数值的正负可排除AB 选项，确定C 选项.
【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}
0x x ≠，故排除D 选项；令()()1ln 0f x x x =-=，即1x =或=1x -，所以函数有两个零点1，1-，
当1x <-时，1x ->，则10x -<，()ln ln 0x x =->，则()()1ln 0f x x x =-<，故排除AB 选项；
当10x -<<时，1x -<，则10x -<，()ln ln 0x x =-<，则()()1ln 0=->f x x x ；
当01x <<时，10x -<，ln ln 0x x =<，则()()1ln 0=->f x x x ；
当1x >时，10x ->，ln ln 0x x =>，则()()1ln 0=->f x x x .
所以函数()()1ln f x x x =-的图象可能是C 选项.故选：C.
5.已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（）
A.2
B.0
C.1
D.4
【答案】A 【解析】
【分析】化简可得33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，再根据函数3y x x =+单调递增判断即可.
【详解】33(1)(1)2a b a b -+-≥--，所以33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，因为函数3y x x =+单调递增，所以11a b -≥-，即2a b +≥.故选：A ．6.已知4
cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，且2πα<，则sin21cos2αα=+（）
A.
4
3 B.
34
C.34
-
D.43
-
【答案】D 【解析】
【分析】由已知利用诱导公式可求sin α的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.
【详解】解：∵4cos sin 25παα⎛⎫
+=-= ⎪⎝⎭
且2πα<，所以4sin 5α=-
，3cos 5α==
所以
2sin22sin cos sin 4
1cos22cos cos 3
ααααααα===-
+故选：D .
7.已知函数(
))
lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则
2ab
a b +的最大值为（
）
A.
49
B.
2
9
C.
15
D.
14
【答案】B 【解析】
【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出22a b +=，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数()f x 定义域为R
，且)
()lg ()lg
f x x x
⎤-=+-=-⎦
)
()lg
x f x ==-=-，
所以)
()lg
f x x =+为R 上的奇函数，有()()0f x f x -+=，
由复合函数的单调性可知()f x 单调递增，
由()()220f a f b -+=，得220a b -+=，即22a b +=，
因为,a b 为正实数，则有1
122ab a b b a
=++，而(
)12222559a b a b b a b a ⎛⎫
++=+
+≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =即23a b ==时等号成立，所以1292b a +≥，则2ab a b +的最大值为2
9
.
故选：B.
8.已知495ln ,log 3log 17,72425b
b c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（
）
A.b c a >>
B.a c b
>> C.b a c
>> D.a b c
>>【答案】D 【解析】
【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．
【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且
()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，
由零点存在性定理可得34a <<，
49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=
+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425b
b
c
+=，72425252525
b b c
b b b +=，
22724724
(
)()()()125252525
b b +<+=，∴25125
c
b <，2525
c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．
故选：D
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（）
A.2c cd <
B.a c b d -<-
C.ac bd >
D.
c d a b
>【答案】AD 【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断BC ，利用作差法，结合不等式的性质判断D .【详解】由0c d >>可得，2c cd <，A 正确；
3,1,2,3a b c d ===-=-时，a c b d ->-，B 不正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，ac bd <，C 不正确；
因为0a b c d >>>>，所以0,,0ab bc ac c d >>->，所以
0,c d bc ad ac ad c d a b ab ab b
----=>=>所以
c d
a b
>，D 正确；故选：AD.
10.已知函数()23x
f x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（
）
A.若1a =，则函数()f x 至少有一个零点
B.存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点
C.若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点
D.对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点【答案】ABD 【解析】
【分析】同一坐标系中，作出函数2,3x
y a y kx =-=+的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A 中，当1a =时，函数()213x f x kx =---，
令()0f x =，可得213x
kx -=+，
在同一坐标系中作出21,3x
y y kx =-=+的图象，如图所示，
由图象及直线3y kx =+过定点(0,3)，可得函数()f x 至少一个零点，故A 正确；
B 中，当4a =-，0k =时，作出函数24,3x
y y =+=的图象，由图象知，函数()f x 没有零点，所以B 正确；
C 中，当16,2==-
a k 时，在同一坐标系中，作出函数126,32
x
y y x =-=-+的图象，如图所示，由图象可得，此时函数()f x 有3个零点，所以C 错误；
D 中，分别作出当0,0,0a a a =><时，函数2,3x
y a y kx =-=+的图象，由图象知，对于任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点，所以D 正确.
故选：ABD.
11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间
t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛
⎫=++>>< ⎪⎝
⎭来表示，
函数()f t 的图象如图所示，则（
）
A.π
()3sin
5(024)6
f t t t =+≤≤B.函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C.当5t =时，水深度达到6.5m
D.已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t ，则12
π
tan 3t t =+【答案】ACD 【解析】
【分析】根据图象的最值求出,A b ，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出ϕ，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.
【详解】对A ，由图知()max 8f t =，()min 2f t =，()()max min
32
f t f t A -∴=
=，()()max min
52
f t f t b +=
=，
()f t 的最小正周期12T =，2ππ
6
T ω∴=
=，()π33sin 582f ϕ⎛⎫
=++= ⎪⎝⎭ ，()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()2πk k ϕ=∈Z ，
又π
2ϕ<
，0ϕ∴=，π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤，故A 正确；对B ，令π
π6
t k =，()k ∈Z ，解得6t k =，()k ∈Z ，
当2k =时，12t =，则(12)3sin 2π55f =+=，
则函数()f t 的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；对C ，()π
3sin
55 6.56
5f ⨯+==，故C 正确；对D ，[]20,6t ∈，则[]
0,3t ∈，令(2)(2)0g t f t n =-=，
则(2)f t n =，令2t m =，则根据图象知两零点12,m m 关于直线3t =，
则126m m +=，即12226t t +=，则123t t +=，
则12ππ
tan
tan 3
t t ==+，故D 正确.故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】65
【解析】
【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为α，则120144α=，解得65
α=.故答案为：
65
.13.若π10,,tan 22⎛⎫
∈= ⎪
⎝⎭
θθ，则sin cos θθ-=________．
【答案】5
-【解析】
【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1
tan cos 2
θθθ=
=，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5
sin 5θ=
或5sin 5
θ=-（舍去），
所以sin cos sin 2sin sin 5
-=-=-=-
θθθθθ.
故答案为：5
-
.
14.如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为______.
【答案】π4
【解析】
【分析】设出角,PCB QCD αβ∠=∠=，然后求得,AP AQ ，再根据APQ △的周长求得αβ+，即可得解.
【详解】设,PCB QCD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==，
则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-，PQ =
，
21tan 1tan αβ∴=-+-
即tan tan αβ+=
，
将上式两边平方，整理得tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅，即tan()1αβ+=，因为π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝
⎭，所以π4αβ+=，所以π4
PCQ ∠=.故答案为：
π4
.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出,PCB QCD αβ∠=∠=，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．
四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.已知集合2{|1327},{|log 1}x
A x
B x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；
（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}
3x x ≤；（2）1a ≤.
【解析】【分析】
（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．
【详解】解：（1）{}
03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}
2R B x x =≤ð，
(){}3R
B A x x ⋃=≤ð.
（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；
当C ≠∅时，1110
0113a a
a a a -<+⎧⎪
-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩
成立.综上所述，1a ≤．
【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数(
)πsin cos 44
f x x x ⎛
⎫=++ ⎪
⎝
⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若5π122414f θ⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，求cos θ的值.
【答案】（1）π（2）
13
14
【解析】
【分析】（1）利用恒等变换得到()1πsin 224f x x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，再利用正弦函数的性质求解；（2）由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π1sin 67θ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，再由ππcos cos 66θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝
⎭⎣⎦，
利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】
解：()π2222
sin cos sin cos sin 44224
f x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=+
+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
2222221πsin cos sin2cos2sin 22244424x x x x x x ⎛⎫=
-+=+=+ ⎪⎝
⎭，所以最小正周期2π2
T π
==；【小问2详解】由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 67θ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
因为π0,
2θ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，πππ,663θ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭，
所以πcos 67θ⎛
⎫-
== ⎪⎝
⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-
+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭
⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，1113
727214
⎛⎫=
--⨯=
⎪⎝⎭.17.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛
⎫=++>>-
<< ⎪⎝
⎭
.
（1）求,,,A K ωϕ的值；
（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6
π
分钟后，盛水筒W 是否在水中？【答案】（1）4,2,,26
A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.
【解析】【分析】
（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛
⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫++
-=-+ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即
2π
πω
=，所以2ω=，
由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==，当0=t 时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1
sin 2
ϕ=-，因为22
ππϕ-
<<，所以6πϕ=-；
（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，所以22,Z 62t k k πππ-
=+∈，解得,Z 3
t k k π
π=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3
t π
=，所以盛水筒出水后至少经过3
π
分钟就可达到最高点；
（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭，即03sin 264
t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛
⎫
-
< ⎪⎝
⎭
，
所以0cos 264t π⎛⎫-
=- ⎪⎝
⎭，
所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+
-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，
所以，再经过
6π分钟后32172142082
d --=⨯+=>，所以再经过
6
π
分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.
18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数()2
4()3h x x a a ⎛
⎫=-≥
⎪⎝
⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得对任意的t ∈R ，不等式()()2
4h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.
【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19.
41
12
.【解析】
【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；
（2）分类讨论解决函数不等式()()2
4h x t s t x ≥-+-+恒成立的问题，分离参数26532
4339s x x
⎛
⎫+
≤+ ⎪⎝
⎭，转化为求函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的最小值问题即可.【小问1详解】
对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在1π
6
x =，而()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】①若
4
43
a ≤≤，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；
②若4a >，故()2
()h x x a =-’在4
,43⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
从而()4413h h ⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，解得1a =（舍）或133a =.从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的t ∈R ，有不等式()2
21343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝
⎭都成立，
即2
2
26133039t xt x s x ⎛⎫++-+
+≥ ⎪⎝
⎭对R t ∈恒成立，则2
226133Δ4039x x s x ⎡⎤⎛⎫=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，得2265324339s x x ⎛
⎫+≤+ ⎪⎝
⎭，
由存在4
,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使26532
4339s x x ⎛
⎫+≤+
⎪⎝⎭能成立，又53239y x x =+
在4,43x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+
≤ ⎪⎝
⎭，解得41
12
s ≤，综上，故实数s 的最大值为
41
12
.19.已知e 是自然对数的底数，()e e
1x
x f x =+
．（1）判断函数()f x 在[
)0+∞，
上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记()(){}
ln 3()e
1ln 32x
g x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实
数a 的取值范围．
【答案】（1）函数()f x 在[
)0+∞，
上单调递增，证明见解析（2）[1,3]【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，可证
()()()
1212
121e e 10e e
x x x x f x f x ⎛
⎫
-=--< ⎪⎝⎭
，即()()12f x f x <，则可判断函数单调性；（2）将()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为ln (3)e 1ln 32x
a a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】
解：函数()f x 在[
)0+∞，
上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121211e e e e x
x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+
-+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭()()
12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-+-=-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥，所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12
1
10e e x x -
>，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】
()ln (3)e 1ln 32x
g x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，
问题即为ln (3)e 1ln 32x
a a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，
首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,
x
a a ⎧
<+⎪
⎨⎪>⎩因为[0,)x ∈+∞，则1
334e
x <
+≤，所以03a <≤.其次，ln (3)e 1ln 32x
a a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦
，即为2(3)e 13e x x
a a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即(
)(
)
3e 1e 10x
x
a +-≥成立,因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max
1e x a ⎛⎫
≥
⎪⎝⎭，所以1a ≥.。