专题1.8概率精讲精练-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 (解析版)【人教版】

专题1.8概率精讲精练
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【知识梳理】
一、确定事件和随机事件
1、确定事件
必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

二、频率与概率
1. 概率的概念
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为
P(A).
2. 频率与概率的关系
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网
三、概率的计算
1. 公式法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结
果,那么事件A发生的概率为P(A)＝n m
2. 列表法
当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
3. 画树状图
当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.
4. 几何概型
一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝
A
事件发生的面积
总面积
,解这类题除了掌握概率的
计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.
5. 游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.
【典例剖析】
【考点1】随机事件
【例1】（2021•扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．3天内将下雨
B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号
D．没有水分，种子发芽
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、3天内将下雨，是随机事件；
B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；
D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；
故选：D．
【变式1.1】（2021•东湖区模拟）掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是（ ）A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上
C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上
【分析】根据等可能事件发生的可能性，以及可能性的大小进行判断即可．
【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，可能性是均等的，不会受到前一次的影响，
掷一枚质地均匀的硬币6次，不一定3次正面朝上，因此A选项不符合题意，“可能有3次正面朝上”是正确的，因此B选项正确；
可能6次都是反面向上，因此C不符合题意，有可能6次正面向上，因此D选项不符合题意；
故选：B．
【变式1.2】（2020秋•饶平县校级期末）下列事件中，属于必然事件的为（ ）
A．打开电视机，正在播放广告
B．任意画一个三角形，它的内角和等于180°
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．在只有红球的盒子里摸到白球
【分析】打开电视机，正在播放广告是随机事件；任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；在只有红球的盒子里摸到白球是不可能事件，综合做出判断即可．
【解答】解：打开电视机，可能在播广告，也可能不在播放广告，因此A选项不符合题意，
任意三角形的内角和都是180°，因此选项B符合题意，
掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面向上，因此选项C不符合题意，
在只有红球的盒子里是摸不到白球的，因此选项D不符合题意，
故选：B．
【变式1.3】（2021•越秀区模拟）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）
A．这两个图形都是轴对称图形
B．这两个图形都不是轴对称图形
C．这两个图形都是中心对称图形
D．这两个图形都不是中心对称图形
【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义、结合不可能事件的定义分析得出答案．【解答】解：A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意；
B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意；
C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意；
D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【考点2】事件的可能性
【例2】（2020秋•徐汇区期末）从标有1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，可能性最大的是（ ）
A．卡片上的数字是合数
B．卡片上的数字是2的倍数
C．卡片上的数字是素数
D．卡片上的数字是3的倍数
【分析】可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的．
【解答】解：A、卡片上的数字是合数：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张；
B、卡片上的数字是2的倍数2×1，2×2，2×3，2×4，2×5，2×6，2×7，2×8，2×9，2×10，共10
张；
C、卡片上的数字是素数的有2，3，5，7，11，13，17，19，共8张；
D、卡片上的数字是3的倍数3×1，3×2，3×3，3×4，3×5，3×6，共6张．
故选：A．
【变式2.1】（2020秋•瑞安市期中）某班有25名男生和20名女生，现随机抽签确定一名学生做代表参加学代会，则下列选项中说法正确的是（ ）
A．男、女生做代表的可能性一样大
B．男生做代表的可能性较大
C．女生做代表的可能性较大
D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定
【分析】求出男、女生做代表的可能性，判断即可．
【解答】解：A、错误．男、女生做代表的可能性分别为25
45
=
5
9
，
20
45
=
4
9
，男生的可能性大．本选项不符
合题意．
B、正确．本选项符合题意．
C、错误．男生的可能性大．本选项不符合题意．
D．错误．本选项不符合题意．
故选：B．
【变式2.2】（2021秋•利川市期末）在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是（ ）
A．他这个队赢的可能性较大
B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场
C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场
D．他这个队必赢
【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
【解答】解：A、根据概率的意义，正确；
B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会赢7场，但不
会是肯定的，所以错误；
C、和B一样，所以错误；
D、根据概率的意义，错误．
故选：A．
【变式2.3】（2022秋•丰顺县校级月考）宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示子聿》有如下四句：
①纸上得来终觉浅；
②少壮工夫老始成；
③绝知此事要躬行；
④古人学问无遗力．
这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性大小是（ ）A ．
112
B ．
118
C ．
124
D ．
130
【分析】根据四句诗随机排列组合的情况得出结论即可．【解答】解：四句诗随机排列组合共有4×3×2＝24（种），正确的顺序只有一种，
故第一次就调整正确的可能性大小是1
24
，故选：C ．
【考点3】
概率公式
【例3】（2021秋•松山区期末）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是（ ）
A ．
1
2B ．
25C ．
47
D ．
37
【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【解答】解：如图，C 1，C 2，C 3，C 4均可与点A 和B 组成直角三角形．P =47
，
故选：C ．
【变式3.1】（2021秋•牟平区期末）下列计算3②3a 2﹣2a ＝a ③（2a 2）3＝6a 6④a 8÷a 4＝a 2⑤
−3，其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（ ）
A ．
35B ．
25C ．
15
D ．
45
【分析】随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是1
5
，
故选：C ．
【变式3.2】（2021秋•紫阳县期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成灰色，则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是（ ）
A ．
213B ．
313C ．
413D ．
513
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，再利用概率公式求解即可．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是413
．故选：C ．
【变式3.3】（2022秋•成安县期中）如图所示的是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是（ ）
A ．
14B ．
112C ．
16D ．
712
【分析】由图知，“Ⅲ”所在区域读音的圆心角度数为360°﹣90°﹣60°＝210°，再根据概率公式求
解即可．
【解答】解：由图知，“Ⅲ”所在区域读音的圆心角度数为360°﹣90°﹣60°＝210°，所以指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是210°
360°=712
，故选：D ．【考点5】几何概率
【例4】（2022秋•玄武区期中）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（ ）
A ．
13B ．
49C ．
12D ．
23
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：如图，根据等边三角形和正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，
∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为69=2
3
．
故选：D ．
【变式4.1】（2022秋•湖口县期中）如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
4
D．
1
2
【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，
则地板的总面积为3a×4a＝12a2，黑砖的面积为1
2
×2a×3a＝3a2，
∴小球最终停留在黑砖上的概率是
3a2
12a2
=
1
4
，
故选：C．
【变式4.2】（2022秋•明山区校级月考）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A．1
8
B．
1
4
C．
3
8
D．
1
2
【分析】根据几何面积得出概率即可．
【解答】解：由图知，黑色区域的面积占大正方形面积的
6
16
=
3
8
，
∴它最终停留在黑色区域的概率是3 8，
故选：C．
【变式4.3】（2022•南京模拟）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A．1
2
B．
1
3
C．
2
5
D．
3
5
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积除以一次试验涉及的图形面积，设
正六边形的边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，先求出△ABC的面积，阴影的面积
＝3S
△ABC
，再求出△BCE的面积，代入公式计算即可．
【解答】解：设正六边形边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，如图所示：
∵正六边形的内角为180°−360°
6
=120°，在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AC ＝a ，
则AD =12a ，CD =，
∴BC =2CD =，
∴在Rt △BCE 中，∠BEC =90°，∠BCE =60°，BC =，
则CE ，BE =32a ，
则灰色部分面积为3S △ABC =3×12BC ⋅AD =3×12××12a 2，
白色区域面积为2S △BCE =2×12CE ⋅BE ×32a =2，
2，
飞镖落在白色区域的概率P 2
1
2
，故选：A ．
【考点5】用频率估计概率
【例5】（2022秋•金水区校级期中）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A ．28个
B ．29个
C ．30个
D ．32个
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．【解答】解：设盒子里有白球x 个，得：6
6x =66
400
，解得：x ≈30．经检验结果符合题意．
答：盒中大约有白球30个．
故选：C．
【变式5.1】（2021秋•禹州市期末）木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）
A．6张B．8张C．10张D．4张
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设木箱中蓝色卡片有x个，根据题意得：
x
=1﹣0.6，
x9
解得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的解，
则估计木箱中蓝色卡片有6张．
故选：A．
【变式5.2】（2021秋•无为市期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【分析】用球的总个数分别乘以摸到红色球和黑色球的频率求出其对应个数，继而可得答案．
【解答】解：由题意知，红色球的个数为40×25%＝10（个），黑色球的个数为40×45%＝18（个），所以口袋中白色球的个数为40﹣10﹣18＝12（个），
故选：C．
【变式5.3】（2021秋•宛城区期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A ．从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球
B ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C ．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D ．抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P ＝0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A 、从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球，取到的红球的概率是3
5
=0.6，不符合题意；B 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为1
3≈0.33，符合题意；
C 、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率是1
4=0.25，不符合题意；
D 、抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7的概率15
36
，不符合题意．
故选：B ．
【考点6】树状图与列表法求概率
【例6】（2021秋•宜城市期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4．先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m ，n ）可能的结果；
（2）若m ，n 都是方程x 2﹣7x +12＝0的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程x 2﹣5x +6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m ，n 都是方程x 2﹣5x +6＝0的解的结果有4个，m ，n 都不是方程x 2﹣5x +6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：
（2）∵m ，n 都是方程x 2﹣7x +12＝0的解，
∴m＝3，n＝4，或m＝4，n＝3，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解的结果有4个（包括m＝n＝3，和m＝n＝4两种情况），同理m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解（m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2）的结果有2个，
小明获胜的概率为
4
12
=
1
3
，小利获胜的概率为
2
12
=
1
6
，
∴小明获胜的概率大．
【变式6.1】（2021秋•利川市期末）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，用列表法或画树状图法求下列事件的概率：（1）取出的2个球都是黄球；
（2）取出的2个球中1个白球、1个黄球．
【分析】（1）列表展示所有6种等可能的结果数，找出2个球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）找出2个球中1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：列表如下：
第一个盒子
第二个盒子
白球白球黄球
白球（白球，白球）（白球，白球）（白球，黄球）
黄球（白球，黄球）（白球，黄球）（黄球，黄球）
所有可能情况有6种，
（1）所有可能情况有6种．其中2个黄球的可况有1种，P=1 6；
（2）所有可能情况有6种，其中1个黄球一个白球的可能情况有3种，P=1 2．
【变式6.2】（2021秋•平泉市期末）佳佳和琪琪两位同学玩抽数字游戏，5张卡片上分别写有2，4，6，8，
x这5个数字，其中两张卡片上的数字是相同的．从中随机抽出一张，已知P(抽到数字6的卡片)=2 5．
（1）求这5张卡片上的数字的众数．
（2）若佳佳已抽走一张数字2的卡片，琪琪准备从剩余4张卡片中抽出一张．
①所剩的4张卡片上数字的中位数与原来5张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由．
②琪琪先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出1张，用列表法（或树状图）求琪琪两次都抽到数
字6的概率．
【分析】（1）根据抽到数字6的卡片的概率为2
5
可得x值，从而可得众数；
（2）①分别求出前后两次的中位数即可；
②画出树状图，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵2、4、6、8、x这五个数字中，P（抽到数字6的卡片）=2 5，
则数字6的卡片有2张，即x＝6，
∴五个数字分别为2、4、6、6、8，
则众数为：6；
（2）①相同，理由是：
原来五个数字的中位数为：6，
抽走数字2后，剩余数字为4、6、6、8，
则中位数为：66
2
=6，
所以前后两次的中位数相同；
②根据题意画树状图如下：
可得共有16种等可能的结果，其中两次都抽到数字6的情况有4种，
则琪琪两次都抽到数字6的概率为：
4
16
=
1
4
．
【变式6.3】（2022秋•福鼎市期中）某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）杨老师采用的调查方式是　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数　150°　．（3）如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得
一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率．
【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品总数为：6÷90
360
=24（件），C 班作品的件数为：24﹣4﹣6﹣4＝10（件）；继而可补全条形统计图；用C 班作品数除以总作品数再乘360°即可求出扇形统计图中C 班作品数量所对应的圆心角度数．
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．故答案为：抽样调查．
（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷90
360
=24（件），C 班有24﹣（4+6+4）＝10（件），补全条形图如图所示，
扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°×10
24
=150°；
故答案为：150°；
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两名学生性别不同的有12种情况，
∴恰好选取的两名学生性别不同的概率为12
20
=
3
5
．
【考点7】概率与函数方程综合题
【例7】（2020秋•兰州期中）已知a，b可以取﹣2，﹣1，1，2中的任意一个值（a≠b），则直线y＝ax+b 经过第一、二、四象限的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的情况数，即可求出所求的概率．
【解析】列表如下：
﹣2﹣112
﹣2（﹣1，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2）
﹣1（﹣2，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1）
1（﹣2，1）（﹣1，1）（2，1）
2（﹣2，2）（﹣1，2）（1，2）
所有等可能的情况数有12种，其中直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的情况数有4种，
则P=
4
12
=
1
3
．
故答案为：1 3．
【变式7.1】（2020秋•金牛区校级期中）从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，记为a，那么
使关于x的方程2x a
2
=1有解，且使关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根的概率
为 ．
【分析】由题意得使关于x 的方程
2x a
2
=1有解，且使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根的a 的值有4个，由概率公式即可得出答案．【解析】∵使关于x 的方程2x a
2
=1有解，∴a 可取﹣1，0，1，2，3这五个数，
∵一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×a ＝9﹣4a ＞0，解得：a ＜9
4
，
∴a 可取﹣1、0、1、2，共有四个，
∴从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，符合条件的有4个，
∴使关于x 的方程2x a
2=1有解，且使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根的概率为45，
故答案为：4
5
．
【变式7.2】（2020秋•金牛区校级期中）有五张大小形状相同的卡片，分别写有1～5这五个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a ，则a 的值使得关于x 的分式方程ax−2x−2
−1=
6
x−2有整数解的概率为 ．【分析】解分式方程得出x =
6
a−1
，根据分式方程有整数解得出a ≠4且a ≠1，再分别求出a ＝2、3、5时x 的值，利用概率公式即可得出答案．【解析】∵
ax−2x−2
−1=6
x−2，
∴ax ﹣2﹣（x ﹣2）＝6，∴（a ﹣1）x ＝6，则x =
6
a−1
，∵分式方程有整数解，∴6
a−1
≠2且a ﹣1≠0，∴a ≠4且a ≠1，当a ＝2时，x ＝6；
当a ＝3时，x ＝3；当a ＝5时，x =3
2
（舍），
∴使分式方程有整数解的a 的值有两个，
∴a 的值使得关于x 的分式方程ax−2x−2−1=6
x−2有整数解的概率为25，
故答案为：2
5
．
【变式7.3】（2020秋•武侯区校级期中）有六张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不
≥x−5
的解的概率为 ．
【分析】先求出不等式组的整数解，再由概率公式可求解．
≥x−5
，
∴1＜x ≤4，
∴不等式组的整数解为2，3，4，
≥x−5
的解的概率=36=12，
故答案为1
2
．
【变式7.4】（2020秋•锦江区校级期中）已知a 为正整数，且二次函数y ＝x 2+（a ﹣7）x +3的对称轴在y 轴右侧，则a 使关于y 的分式方程ay−4
y−1−2=y 1−y 有正整数解的概率为 ．
【分析】利用二次函数的性质得到−a−7
2
＞0，解得a ＜7，求得a 的值为1，2，3，4，5，6，再把分式方程化为1﹣ay +4y ﹣12＝1，解得y =2a−1
，接着分别把a 的值代入确定分式方程为整数解所对应的a 的值，然后根据概率公式求解．
【解析】∵二次函数y ＝x 2+（a ﹣7）x +3的对称轴在y 轴右侧．∴−a−72
＞0，
∴a ﹣7＜0，∴a ＜7，∵a 是正整数，
∴a 的值为1，2，3，4，5，6，
分式方程ay−4
y−1−2=y 1−y 可化为ay ﹣4﹣2（y ﹣1）＝﹣y ，
解得y =
2a−1
，∵关于y 的分式方程ay−4
y−1−2=y 1−y 有正整数解，
∴a ﹣1＞0，解得a ＞1，
当a ＝2时，y ＝2，当a ＝3时，y ＝1；
∴a 使关于y 的分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 有正整数解的概率为=26=1
3．
故答案为：1
3
．
【变式7.5】（2020秋•青羊区校级期中）从﹣3，0，1
2
，1，2这5个数中任取一个数记为m ，则能使二次函
数
y ＝（x ﹣2）2+m
的顶点在x 轴上方的概率为　3
5
　．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解析】∵在﹣3，0，1
2，1，2这5个数中，能使二次函数y ＝（x ﹣2）2+m 的顶点在x 轴上方的3个，
分别是1
2
，1，2，
∴能使二次函数y ＝（x ﹣2）2+m 的顶点在x 轴上方的概率为3
5；
故答案为：3
5
．
【考点8】游戏的公平性
【例8】（2021秋•古丈县期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A 、B 两组卡片共5张，A 组三张分别写有数字2，4，6，B 组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：
（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（3）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．【分析】（1）A 组共有3张卡片，其中2有1张，据此解答．（2）根据题意画出树状图即可；
（3）根据（1）计算出各自获胜的概率即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A组共有3张卡片，其中2有1张，
∴P
（抽到数字为2）=
1 3
．
（2）画树状图如下：
∴有六种等可能的结果；
（3）不公平，理由如下：
由（1）知，2×3＝6是3的倍数；2×5＝10不是3的倍数；
4×3＝12是3的倍数；
4×5＝20不是3的倍数；
6×3＝18是3的倍数；
6×5＝30是3的倍数；
故小诚获胜的概率为4
6
=
2
3
，小明获胜的概率是
1
3
，
∴这样的游戏规则对小诚、小明双方不公平．
【变式8.1】（2021秋•逊克县期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
（1）请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
（2）请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．（列出一种即可）
【分析】（1）用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式求出淘淘和明明赢的概率，然后进行比较，即可得出答案；
（2）根据概率公式进行设计，设计出两个人的概率相等即可．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
和123456。