高中数学第三章3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课时素养评价含解析新人教A版选修2_2

课时素养评价二十二复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(20分钟35分)
1.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为
( ) A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4
D.a=3,b=4
【解析】选 A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
2.在复平面上复数-1+i,0,3+2i所对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为( )
A.5
B.
C.
D.
【解析】选B.对应的复数为-1+i,对应的复数为3+2i,因为=+,
所以对应的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+3i.
所以BD的长为.
3.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
【解析】选C.由已知条件,可得z=x+yi.因为|z-i|=1,
所以|x+yi-i|=1,所以x2+(y-1)2=1.
4.若复数z满足z=|z|-3-4i,则z=________.
【解析】设复数z=a+bi(a,b∈R),则a=-3且b=-4,解得a=,b=-4,
所以z=-4i.
答案:-4i
5.设f(z)=则f(f(2i))=__________.
【解析】因为|2i|=2<3,所以f(2i)=2-3i-2i=2-5i,而|2-5i|=>3,所以f(f(2i))=f(2-5i)=2-5i+3-2i=5-7i.
答案:5-7i
6.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.
【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=
[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,
又因为z=13-2i,且x,y∈R,
所以
解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2| =|z-z3|,则z对应的点是△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】选A.设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为
z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|.可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.
2.如果复数z=3+ai满足条件|z-2|<2,那么实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,2)
B.(-2,2)
C.(-1,1)
D.(-,)
【解析】选D.|z-2|<2,即|1+ai|<2,
所以<2,所以-<a<.
3.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为( )
A.2
B.4
C.4
D.16
【解析】选C.由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,
所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
4.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2等于( )
A.10
B.25
C.100
D.200
【解析】选C.根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以,为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是线段M1M2的中点,
因为||==5.所以|M1M2|=10.
则|z1|2+|z2|2=|M1M2|2=100.
5.设z∈C且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为( )
A.0
B.1
C.
D.
【解析】选C.由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离,即为.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=______.
【解析】z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,
所以
解得a=-1.
答案:-1
【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误.
7.已知复数z1=2+3i,z2=a-2+i,若|z1-z2|<|z1|,则实数a的取值范围是________.
【解析】由条件知,z1-z2=(4-a)+2i.
又因为|z1-z2|<|z1|,
即<,解得1<a<7.
答案:1<a<7
8.已知f(z+i)=3z-2i(z∈C),则f(i)=________.
【解析】因为f(z+i)=3z-2i=3z+3i-5i=3(z+i)-5i,则f(x)=3x-5i,
所以f(i)=3i-5i=-2i.
答案:-2i
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知复平面上的四个点A,B,C,D构成平行四边形,顶点A,B,C对应复数-5-2i,-4+5i,2,求点
D对应的复数.
【解析】因为=,所以z A-z B=z D-z C,所以z D=z A-z B+z C=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i.即点D对应的复数为1-7i,如图①.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z,图②中点D对应的复数为3+7i,图③中点D对应的复数为-11+3i.
故点D对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.
10.在平行四边形ABCD中,已知,对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数;
(3)求平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)因为=+=+,
所以=-,故对应的复数为z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.
(2)因为=-=-,
所以对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中,==(-1,2),==(4,3),
所以cos∠DAB===,
因此sin∠DAB==.
于是平行四边形ABCD的面积
S=||||sin∠DAB=×5×=11.
已知z∈C,且|z-2-2i|=1,i是虚数单位,则|z+2-2i|的最小值是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【思路导引】考虑|z-2-2i|=1的几何意义,它表示以(2,2)为圆心,以1为半径的圆,则|z+2-2i|的最小值,就是圆上的点到(-2,2)距离的最小值,转化为圆心到(-2,2)距离与半径的差.
【解析】选B.|z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2,2)的距离等于1的点的轨迹,即以点A(2,2)为圆心,以1为半径的圆C,|z+2-2i|的最小值,即圆C上的点到B(-2,2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.
【一题多解】(几何法)|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1,所以复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(-2,2)为圆心,以1为半径的圆.
|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z在复平面内的对应点到点(2,2)的距离,即圆上的点到点(2,2)的距离,最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径,易求得|z-2-2i|的最小值为3.。