新教材高中数学第1章三角函数1周期变化素养作业北师大版必修第二册

第一章1
A组·素养自测
一、选择题
1．如右图,一个质点在平衡位置O点附近摆动,如果不计阻力,可将此摆动看作周期运动,若质点从O点开始向左摆动时开始计时,且周期为1 s,则质点第5次经过O点所需要的时间为( C )
A．1．5 s B．2 s
C．2.5 s D．3 s
[解析]若质点从O点开始向左摆动,则在1个周期内2次经过O点,所以5次经过O点需要2.5个周期,又因为周期为1 s,所以需要2.5 s.
2．(多选)下列是周期现象的有( ABC )
A．地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化
B．海水在月球和太阳引力作用下发生的涨落现象
C．做简谐运动的物体的位移变化情形
D．连续掷一枚均匀骰子,出现点数为1,2,3,4,5,6的情况
[解析]D不是周期现象,A,B,C均为周期现象．
3．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,那么1949年是( A )
A．牛年B．虎年
C．兔年D．龙年
[解析]2016－1949＝67,67÷12＝5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年．4．如果今天是星期五,则58天后的那一天是星期( C )
A．五B．六
C．日D．一
[解析]因为每星期含有7天,而58＝7×8＋2,即58天后是再过8个星期后第2天,即星期日,故选C．
5．若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内,且均为正圆,又知这两种转动同向,如图所示,月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时,月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为( B )
A．24.5天B．29.5天
C．28.5天D．24天
[解析]由图知,地球从E1到E2用时29.5天,月球从月地日一条线重新回到月地日一条线,完成一个周期．
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,也是周期为4的周期函数,且在区间[0,2]上单调递减,则f(－2 021)与f(2 022)的大小关系为( A )
A．f(－2 021)>f(2 022)
B．f(－2 021)<f(2 022)
C．f(－2 021)＝f(2 022)
D．不确定
[解析]因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,也是周期为4的周期函数,
所以f(－2 021)＝f(2 021)＝f(1),
f(2 022)＝f(2＋505×4)＝f(2)
又由f(x)在区间[0,2]上单调递减,得f(1)>f(2),得f(－2 021)>f(2 022)．
二、填空题
7．把扑克牌按照红桃2张,梅花3张,方块1张,黑桃2张的顺序连续排列着,则第76张牌的花色是梅花 .
[解析]2张红桃,3张梅花,1张方块,2张黑桃按顺序排列,每隔8张又重复出现,又76＝8×9＋4,所以第76张是梅花．
8．定义域为R的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8,当x∈[－4,0]时f(x)＝x＋1,则f(25)＝ 0 .
[解析]因为定义域为R的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8.当x∈[－4,0]时,f(x)＝x＋1,
所以f(25)＝f(8×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝－1＋1＝0.
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x),则f(6)的值为 0 .
[解析]f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.
三、解答题
10．一群小朋友在课间活动时进行报数游戏,他们9个人围成一圈,按顺时针方向依次报数：王莹报“1”,马可报“2”,田雨报“3”,李舟报“4”,朱悦报“5”,严明报“6”,王志忠报“7”,林玉报“8”,王威报“9”,这样每个人报的数总比前一个人多1,问“43”是谁报
的,“84”是谁报的？
[解析]9名同学重复报数,一个周期里有9个数,计算43里面有几个9,而43÷9＝4(组)……7(个),余数7是指43是“王志忠”报的,同理84÷9＝9(组)……3(个),余数3是指84是“田雨”报的．即43是王志忠报的,84是田雨报的．
B组·素养提升
一、选择题
1．若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数值重复出现一次所需的时间T及在t＝25 s时钟摆的高度为( D )
A．2 s,10 mm B．1 s,20 mm
C．1 s,10 mm D．2 s,20 mm
[解析]图象可知,重复一次所需时间T＝2 s,当t＝25 s时,因为25＝2×12＋1,所以25 s时的高度与1 s时的高度相同,即20 mm.
2．某广场从左向右依次挂着一排小彩灯,每两盏蓝灯之间按顺序有红灯、黄灯、绿灯各一盏．若左边第一盏灯是蓝灯,那么第90盏灯是( A )
A．红灯B．蓝灯
C．黄灯D．绿灯
[解析]按顺序每4盏灯又重复前面的顺序,是周期性的．又90＝4×22＋2,所以第90盏灯是红灯．
3．已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1),若f(3)＝2,则f(2 019)的值为( A )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
[解析]∵f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1),
∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1),即f(x＋1)＝－f(x－1)．
∴f(x＋2)＝－f(x)．
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数,且周期为4.
∴f(2 019)＝f(3)＝2.
4．(多选)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋8)＝f(x),f(x)的图象关于x＝2对称,且在区间[0,2]上是增函数,若关于x的方程f(x)＝m在区间[－8,8]上有根,则所有根的和为( ABCD )
A ．0
B ．±4
C ．8
D ．－8
[解析] 由周期性,奇偶性,对称性,作图如下：
由图中m 1,m 2,m 3,m 4,m 5五条直线可知,关于x 的方程f (x )－m ＝0在区间[－8,8]上有根,则所有根的和可能为0或±4或±8.
二、填空题
5．已知地球的自转周期约为24小时,其绕太阳的公转周期约为365天．木星的自转周期约为10小时,公转周期约为12年．
(1)如果地球自转5周,那么木星自转 12 周；
(2)如果在木星上生活10年,那么等于在地球上生活 120 年． [解析] (1)5×24
10＝12；
(2)10×12
1
＝120.
6．如图所示的弹簧振子在A 、B 之间做简谐运动,振子向右运动时,先后以相同的速度通过M ,N 两点,经历的时间为t 1＝1 s,过N 点后,再经过t 2＝1 s 第一次反向通过N 点,则振子的振动周期T ＝ 4 s.
[解析] 设振子的振动周期为T ,则振子由平衡位置O 运动到B 的时间为T
4,而振子以相同
的速度通过M 、N 的时间为t 1＝1 s,则O 到N 的时间为t 1
2,又向右经N —B —N 的时间为t 2＝1,
则N 到B 的时间为t 2
2
,
∴T 4＝t 12＋t 22＝12＋1
2
＝1． ∴T ＝4 s. 三、解答题
7．如图为某简谐运动的图象,试根据图象回答下列问题：
(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次？
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？
[解析](1)由图易知这个简谐运动需要0.8 s往复一次．
(2)如果从O点算起,则到曲线上的D点完成了一次往复运动；如果从A点算起,则到曲线上的E点完成了一次往复运动．
8．毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家．有一次毕达哥拉斯处罚学生,要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上A,B,C,…,G如下表所示),一直到指出第1 999个数的柱子的标号是那一个才能够停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？
A B C D E F G
1234567
1312111098
141516171819
252423222120
[解析]发现数“2,3,4,…,1 997,1 998,1 999”按“B,C,D,E,F,G,F,E,D,C,B,A”12个数字循环出现,而1 999－1＝12×166＋6,也就是说循环出现166次后,再从B数6个,所以数到1999的那根柱子的标号是G.。