2022高考数学一轮复习第一部分考点通关练鸭内容考点测试57坐标系与参数方程含解析苏教版

选考内容
考点测试57 坐标系与参数方程
高考概览
本考点是高考必考知识点，题型为解答题，分值10分，中等难度 考纲研读
1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况
2．了解极坐标的根本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化
3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 4．了解参数方程，了解参数的意义
5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程
一、根底小题
1．参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3t 2
＋2，
y ＝t 2
－1(0≤t ≤5)的曲线为( )
A ．线段
B ．双曲线的一支
C ．圆弧
D ．射线
答案 A
解析 化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2
＋2∈[2,77]，故曲线为线段．应选A ．
2．直线⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2＋t cos30°，
y ＝3－t sin60°(t 为参数)的倾斜角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．135°
答案 D
解析 将直线参数方程化为普通方程为x ＋y －1＝0，其斜率k ＝－1，故倾斜角为135°.应选D ．
3．在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，那么切线的极坐标方程是
( )
A ．ρsin θ＝2
B ．ρcos θ＝2
C ．ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2
D ．ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2
答案 B
解析 ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2
＝4，而点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4化为直角坐标是(2,2)，过(2,2)作圆的切线，其方程为x ＝2，即ρcos θ＝2.应选B ．
4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．
答案 ρcos θ＝3
解析 把ρ＝6cos θ两边同乘ρ，得ρ2
＝6ρcos θ，所以圆的普通方程为x 2
＋y 2
－6x ＝0，即(x －3)2
＋y 2
＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.
5．在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．
答案 4 3
解析 分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x ＋y －22＝0，x 2
＋y 2
＝16，那么圆心O 到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|
2＝2，半弦长为16－4＝23，所以弦长
为4 3.
6．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲
线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝t 2
，
y ＝22t
(t 为参数)，
那么C 1与C 2交点的直角坐标为________．
答案 (2，－4)
解析 曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2
＝8x ，由
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝－2，y 2
＝8x 得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．
二、高考小题
7．(2022·北京高考)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t
(t 为参数)，那么点(1,0)到直
线l 的距离是( )
A ．1
5 B ．25 C ．45 D ．65
答案 D
解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式可得点
(1,0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋－3
2
＝6
5.应选D ． 8．(2022·天津高考)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝1＋2sin θ(θ为参数)
相切，那么a 的值为________．
答案 3
4
解析 把圆的参数方程化为标准方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4，即圆心为(2,1)，半径为r ＝2.又直线方程为ax －y ＋2＝0，且直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|2a －1＋2|
a 2＋－1
2
＝2，所以a ＝3
4
.
9．(2022·北京高考)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，那么a ＝________.
答案 1＋ 2
解析 由⎩⎪⎨⎪
⎧
ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，
ρ2＝x 2＋y 2，
可将直线ρcos θ＋ρsin θ＝a 化为x ＋y －a ＝0，将ρ＝
2cos θ，即ρ2
＝2ρcos θ化为x 2
＋y 2＝2x ，整理成标准方程为(x －1)2＋y 2
＝1.又直线与圆相切，∴圆心(1,0)到直线x ＋y －a ＝0的距离d ＝|1－a |
2＝1，解得a ＝1±2，∵a >0，∴a ＝1
＋ 2.
10．(2022·天津高考)圆x 2
＋y 2
－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1＋2
2
t ，y ＝3－2
2
t (t 为
参数)与该圆相交于A ，B 两点，那么△ABC 的面积为________．
答案 1
2
解析 由题意可得圆的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，那么圆心到直线的距离d ＝|1＋0－2|2＝2
2，由弦长公式可得|AB |＝2×
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝2，那么S △ABC ＝12×2×22＝1
2
.
11．(2022·北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，
点P 的坐标为(1,0)，那么|AP |的最小值为________．
答案 1
解析 由ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2
＋y 2
－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外．又点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.
12．(2022·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．
答案 2
解析 由4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋1＝0得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标
方程为23x ＋2y ＋1＝0.由ρ＝2sin θ得ρ2
＝2ρsin θ，故圆的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2y ，即x 2
＋(y －1)2
＝1.圆心为(0,1)，半径为 1.∵圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|23
2＋2
2＝3
4＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点． 一、高考大题
1．(2022·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－t 2
1＋t
2，y ＝4t
1＋t
2
(t
为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.
(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 解 (1)因为－1<1－t
2
1＋t
2≤1，
且x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2
1＋t 2
2
＝1，
所以C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
4
＝1(x ≠－1)，
l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.
(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos α，
y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．
C 上的点到l 的距离为
|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.
当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，
故C 上的点到l 距离的最小值为7.
2．(2022·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .
(1)当θ0＝π
3
时，求ρ0及l 的极坐标方程；
(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π
3＝2 3.
由得|OP |＝|OA |cos π
3
＝2.
设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点． 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，
所以l 的极坐标方程为ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.
(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，
所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2.
所以P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2. 3．(2022·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧
，
，
所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝
⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧
，曲线
M 2是弧，曲线M 3是弧
.
(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；
(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，假设点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解 (1)由题设可得，弧
，
，
所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝
2sin θ，ρ＝－2cos θ，
所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝
⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4， M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π
4≤θ≤
3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π4≤θ≤π.
(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知
假设0≤θ≤π4，那么2cos θ＝3，解得θ＝π
6
；
假设π4≤θ≤3π4，那么2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π
3；
假设3π4≤θ≤π，那么－2cos θ＝3，解得θ＝5π6
.
综上，P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.
4．(2022·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2
＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)假设C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．
解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．
由题设，知C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
kx ＋2，x ≥0，
－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故
C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．
当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－
4
3或k ＝0.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－4
3
时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与
C 2有两个公共点．
当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以
|k ＋2|
k 2＋1
＝2，故k ＝0或
k ＝43
.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝4
3时，l 2与C 2没有公共点.
综上，所求C 1的方程为y ＝－4
3
|x |＋2.
5．(2022·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝4sin θ(θ为
参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝2＋t sin α(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
16
＝1.
当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2
α)t 2
＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，那么
t 1＋t 2＝0.
又由①得t 1＋t 2＝－4
2cos α＋sin α
1＋3cos 2
α
，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.
6．(2022·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O
的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ
(θ
为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝1. 当α＝π
2
时，l 与⊙O 交于两点．
当α≠π
2
时，记tan α＝k ，那么l 的方程为y ＝kx － 2.
l 与⊙O 交于两点当且仅当|
－21＋k
2
|<1，解得k <－1或k >1，
即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π4.
综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4.
(2)l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝t cos α，
y ＝－2＋t sin α
⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，那么t P ＝t A ＋t B
2
，且t A ，t B 满足t 2
－22t sin α
＋1＝0.
于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.
又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨
⎧
x ＝t P cos α，
y ＝－2＋t P sin α，
所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
2
sin2α，y ＝－22－2
2
cos2α
⎝ ⎛⎭
⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.
二、模拟大题
7．(2022·山东郓城三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α
(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，
点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＋22＝0.
(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
(2)假设N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解 (1)因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋22＝0，即ρsin θ－ρcos θ＋4
＝0.
由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0. 将曲线C 的参数方程⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α，
消去参数α，
得曲线C 的普通方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)设N (3cos α，sin α)，α∈[0,2π)．
点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，化为直角坐标为(－2,2)． 那么P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
32cos α－1，12sin α＋1.
所以点P 到直线l 的距离
d ＝|32cos α－12sin α－6|2＝|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π
3＋6|2≤722，
所以当α＝5π6时，点P 到直线l 的距离的最大值为72
2
.
8．(2022·武汉二诊)在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2
＝2px (p >0)，以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，l 与x
轴交于点M .
(1)求l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；
(2)设l 与C 相交于A ，B 两点，假设|MA |，|AB |，|MB |成等比数列，求p 的值． 解 (1)由2ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，
得ρsin θ－3ρcos θ＝3，将ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x 代入，得y ＝3x ＋3， ∴l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋ 3. 令y ＝0得点M 的直角坐标为(－1,0)， ∴点M 的极坐标为(1，π)． (2)由(1)知l 的倾斜角为π
3，
参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－1＋1
2t ，y ＝32t (t 为参数)，代入y 2
＝2px ，
得3t 2
－4pt ＋8p ＝0， ∴t 1＋t 2＝4p 3，t 1t 2＝8p
3.
∵|AB |2＝|MB |·|MA |， ∴(t 1－t 2)2＝t 1t 2， ∴(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2. ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫4p 32
＝5×8p 3，
∴p ＝152
.
9．(2022·湖南七校联考)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3－12，曲线C 的极坐标方程为ρ(1－cos 2
θ)－2cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系．
(1)写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；
(2)假设直线l ′：y ＝3(x －2)与曲线C 交于P ，Q 两点，M (2,0)，求|MP |2
＋|MQ |2
的值． 解 (1)因为直线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3－12，
故3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0，
即直线l 的直角坐标方程为3x －y －3＋1＝0；
因为曲线C ：ρ(1－cos 2
θ)－2cos θ＝0，那么曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x . (2)设直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋12t ，y ＝32
t (t 为参数)．
将其代入曲线C 的直角坐标方程得3t 2
－4t －16＝0， 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，那么
t 1t 2＝－16
3，t 1＋t 2＝43
，
所以|MP |2＋|MQ |2＝|t 1|2＋|t 2|2＝(t 1＋t 2)2
－2t 1t 2＝1129.
10．(2022·安阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3cos θ，
y ＝1＋3sin θ
(θ
为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
ρsin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
θ＋π6
＝2 3.
(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)射线OP 的极坐标方程为θ＝π
6，假设射线OP 与曲线C 的交点为A ，与直线l 的交点
为B ，求线段AB 的长．
解 (1)由⎩⎨
⎧
x ＝3cos θ，
y ＝1＋3sin θ，
可得⎩⎨
⎧
x ＝3cos θ，
y －1＝3sin θ，
所以x 2
＋(y －1)2
＝3cos 2
θ＋3sin 2
θ＝3，所以曲线C 的普通方程为x 2
＋(y －1)2
＝3.
由ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23， 可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ＋12cos θ＝23， 所以32ρsin θ＋12
ρcos θ－23＝0， 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0.
(2)解法一：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2
－2y －2＝0，
所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－2＝0.
由题意设A ⎝
⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 将θ＝π6
代入ρ2－2ρsin θ－2＝0，可得ρ21－ρ1－2＝0， 所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)，
将θ＝π6代入ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，可得ρ2＝4， 所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2.
解法二：因为射线OP 的极坐标方程为θ＝π6
， 所以射线OP 的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y －12
＝3，y ＝33x x ≥0，解得A (3，1)， 由⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －43＝0，y ＝33x x ≥0，解得B (23，2)， 所以|AB |＝ 23－32＋2－12＝2.
11．(2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
射线l 的极坐标方程为θ＝
π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)当0<r <2时，假设曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |
的取值范围．
解 (1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2
，
令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
化简得曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.
(2)解法一：把θ＝π3
代入曲线C 的极坐标方程，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0. 令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4.
方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2， ρ1ρ2＝4－r 2>0，
∴1
|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3<r 2<4，∴0<4－r 2<1，
∴1
|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)． 解法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12
t ，y ＝32t
(t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2，得 t 2－2t ＋4－r 2＝0， 令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4，
方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1>0，t 2>0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3<r 2<4，∴0<4－r 2<1，
∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．。