一类具有非线性发生率的时滞病毒模型Hopf分支

一类具有非线性发生率的时滞病毒模型Hopf分支
刘娟
【摘要】研究了一类具有Beddington-DeAngelis非线性发生率的时滞病毒动力学模型.以时滞为参数,研究了模型的Hopf分支,得到时滞病毒模型的局部稳定性和产生局部Hopf分支的充分条件.最后,给出仿真实例,验证了理论分析结果的正确性.【期刊名称】《河北科技师范学院学报》
【年(卷),期】2014(028)003
【总页数】4页(P49-52)
【关键词】病毒模型;非线性发生率;时滞;Hopf分支
【作者】刘娟
【作者单位】蚌埠学院数学与物理系,安徽蚌埠,233030
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
多年来，国内外许多研究学者利用微分方程建立相应的模型，对人体内的病毒感染过程进行模拟，并取得很多的成果[1～6]。

刑培旭等[1]研究了一个带有饱和发生率的病毒模型的稳定性。

Mccluskey [4]研究了一类时滞SIR传染病模型的全局稳定性。

黄刚等[5]提出了如下具有Beddington-DeAngelis功能反应的乙型肝炎病毒模型:
在系统(1)中，x(t),y(t)和v(t)分别表示未感染的肝细胞、感染的肝细胞和游离病毒在时刻t的数量。

a,b,d,k,p,s,u,β为系统(1)的参数，且均为正的常数，它们各自具有不同的生态含义。

由于病毒接触目标肝细胞到目标肝细胞被感染，需要有一定的时间间隔。

因此，黄刚等[6]研究了系统(1)具有时滞情形下的全局稳定性。

受黄刚等[5]的工作启发，笔者研究如下具有时滞的病毒模型的Hopf分支：
(2)
其中，τ表示病毒接触目标肝细胞到目标肝细胞被感染的时间间隔。

1 Hopf分支存在性
经过计算得知，当时，系统(2)存在唯一正平衡点E(x*,y*,v*)，其中
作平移变换u1(t)=x(t)-x*, u2(t)=y(t)-y*, u3(t)=v(t)-v*,仍然记u1(t)， u2(t)，
u3(t)为x(t)， y(t)和v(t)。

系统(2)在正平衡点E(x*, y*, v*)处的线性化系统为：
(3)
其中，
注意到b1b4=b2b3，可以得到系统(3)的特征方程：
λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ=0
(4)
其中，m0=-a1a2a4, m1=a1a2+a1a4+a2a4, m2=-(a1+a2+a4), n0=a1a3b4-a2a4b1, n1=a2b1+a4b1-a3b4, n2=-b1。

当τ=0时，方程(4)变为
λ3+(m2+n2)λ2+(m1+n1)λ+m0+n0=0
显然，m2+n2>0。

因此，根据赫尔维茨定理，如果
(H1):(m2+n2)(m1+n1)>m0+n0成立, 则正平衡点E(x*, y*, v*)是局部渐近稳定的。

当τ>0时，令λ=iω(ω>0)为特征方程(4)的根，代入特征方程(4)并分离实虚部得
(6)
进而，得到
ω6+e2ω4+e1ω2+e0=0
(7)
其中，
令ω2=v,方程(7)变为
v3+e2v2+e1v+e0=0
(8)
关于方程(8)根的分布，文献[7]已经给出结论。

所以，根据文献[7]的引理2.2，笔者给出如假设：(H2):方程(8)存在有3个正根，并分别表示为v1, v2和v3。

那么方程(7)存在有3个正根对于每个特定的ωk,有
令对方程(4)的左右两端分别对τ进行求导, 得到
因此，其中
显然，如果(H3):f ′(v*)≠0成立，则Re≠0。

根据文献[8]中的Hopf分支定理，可以得到下列结果。

定理 1 对于系统(2)，如果(H1)-(H3)成立，则当τ∈[0,τ0)时,系统(2)的正平衡点
E(x*, y*, v*)是渐近稳定的；当τ=τ0时，系统(2)在正平衡点E(x*, y*, v*)处产生Hopf分支。

3 数值模拟
采用和文献[3]相同的系数，取a=1， b=1， d=0.2， k=7.5， p=0.25， s=5，
u=2.5，β=1。

考虑系统(2)的如下实例：
(9)
经过计算得到系统(9)的正平衡点E(4.552 2, 16.358 2, 49.074 6)。

进而得到
ω0=0.434 0, τ0=2.286 7。

当取τ=2.05∈[0,τ0)时，系统(9)是渐近稳定的。

而当取τ=2.45>τ0时，系统(9)失去稳定性，产生Hopf分支。

仿真效果如图1，图2。

4 结论与讨论
本次研究了一类具有非线性发生率的时滞病毒动力学模型。

通过分析模型相应特征方程根的分布，确定了模型产生Hopf分支的充分条件。

当时滞小于临界值时，模型渐近稳定。

而一旦时滞的取值超过临界值，模型将失去稳定性并产生Hopf分支。

最后，利用仿真实例验证了以上理论结果的正确性。

Hopf分支是一种非常重要的非线性现象，它的产生将不利于对病毒的控制。

由此可以发现，时滞因素对病毒模型具有重要的影响。

对于病毒模型Hopf分支的性质，诸如分支方向和分支周期解的稳定性问题，有待进一步研究。

图1 当τ=2.05<τ0=2.286 7时，系统(9)渐近稳定
图2 当τ=2.45>τ0=2.286 7时，系统(9)不稳定并发生Hopf分支
参考文献：
[1] 刑培旭,陈科委.一个带有饱和发生率的病毒模型动力学性质分[J].河南师范大学
学报:自然科学版,2013,41(2):31-34.
[2] 段光爽,任磊.一类带时滞的病毒模型的全局稳定性性[J].西南民族大学学报:自然
科学版,2012,38(1):24-28.
[3] 庄科俊,温朝晖.一类分数阶的病毒动力学模型[J].北华大学学报:自然科学版，2013，14(5):508-511.
[4] Mccluskey C plete global stability for an SIR epidemic model with delay-Distributed or discrete,Nonlinear Anal[J].Real World
Appl,2010,11(1):55-59.
[5] Huang G,Ma W B,Takeuchi Y.Global Properties for Virus Dynamics Model with Beddington-Deangelis Functional Response[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(11):1 690-1 693.
[6] Huang G,Ma W B,Takeuchi Y.Global Analysis for Delay Virus Dynamics Model with Beddington-Deangelis Functional Response[J].Applied Mathematics Letters,2011,24(7):1 199-1 203.
[7] Hu G P,Li X L.Stability and Hopf bifurcation for a delayed predator-prey model with disease in the prey[J].Chaos，solitons &
Fractals,2012,45(3):229-237.
[8] Hassard B D,Kazarinoff N D,Wan Y H.Theory and Applications of Hopf Bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.。