九年级中考数学总复习课时训练： 矩形、菱形、正方形(附答案)

课时(二十二)矩形、菱形、正方形
基础练习
1.[2020·襄阳]已知四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,下列结论错误的是()
A.OA=OC,OB=OD
B.当AB=CD时,四边形ABCD是菱形
C.当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形
2.[2020·毕节]如图1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,若AB=6 cm,BC=8 cm,则EF的长是()
图1
A.2.2 cm
B.2.3 cm
C.2.4 cm
D.2.5 cm
3.[2020·黄冈]若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为()
A.4∶1
B.5∶1
C.6∶1
D.7∶1
4.如图2所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离,若A,E间的距离调节到60 cm,菱形的边长AB=20 cm,则∠DAB的度数是()
图2
A.90°
B.100°
C.120°
D.150°
AD,则图中阴5.[2020·海南]如图3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E,F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF=1
2
影部分的面积为()
图3
A.25
B.30
C.35
D.40
6.[2020·青岛]如图4,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO 的长为()
图4
A.√5
B.3
√5C.2√5D.4√5
2
7.如图5,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2√3),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C 的对应点的坐标为()
图5
A.(-2,-2√3)或(2√3,-2)
B.(2,2√3)
C.(-2,2√3)
D.(-2,-2√3)或(2,2√3)
8.[2020·青海]如图6,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知∠BOC=120°,DC=3 cm,则AC的长为
cm.
图6
9.[2020·玉林]如图7,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD
菱形(填“是”或“不是”).
图7
10.[2020·包头]如图8 ,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若
∠BAE=56°,则∠CEF=°.
图8
11.[2020·毕节]如图9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE 的最小值是.
图9
12.[2020·遂宁]如图10,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:△BDE≌△F AE;
(2)求证:四边形ADCF为矩形.
图10
13.[2020·扬州]如图11,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.
(1)若OE=3
,求EF的长;
2
(2)判断四边形AECF的形状,并说明理由.
图11
14.[2020·北京]如图12,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
图12
能力提升
15.[2020·龙东地区]如图13,以Rt△ABC的两边AB,AC为边,向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,过点A作AM⊥BC于M,延长MA交EG于点N.
(1)如图①,若∠BAC=90°,AB=AC,求证:EN=GN.
(2)如图②,∠BAC=90°;如图③,∠BAC≠90°,(1)中结论是否成立?若成立,选择一个图形进行证明;若不成立,写出你的结论,并说明理由.
图13
【答案】
1.B
2.D
3.B [解析]如图,AH 为菱形ABCD 的高,AH=2,
∵菱形的周长为16,∴AB=4. 在Rt △ABH 中,sin B=AH AB =24=1
2, ∴∠B=30°.∵AB ∥CD ,∴∠C=150°, ∴∠C ∶∠B=5∶1.故选B . 4.C
5.C [解析]连接BE ,CF ,如图.
∵四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC ,AD ∥BC , ∴EF=1
2BC=5,且△EFG ∽△CBG , ∴
S △BEG S △EFG
=BG FG
=BC EF =2
1,
∴S △BEG =23
S △BEF =23×12
×5×6=10.同理S △CFG =10.又∵S △ABE +S △CDF =12
(AE+DF )×AB=12
×5×6=15, ∴S 阴影=15+10+10=35.
6.C [解析]由折叠得AD'=CD ,D'E=DE=AD -AE ,∠D'=∠D=90°,AO=OC=1
2AC.
∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD ,AD ∥BC , ∴∠OAE=∠OCF ,∠OEA=∠OFC , ∴△OAE ≌△OCF (AAS),∴CF=AE=5. ∴AD=BC=BF+CF=3+5=8, ∴D'E=DE=AD -AE=8-5=3,
∴AB=CD=AD'=√AE 2-D 'E 2=√52-32=4. 又∵∠D=90°,
∴AC=√AD 2+CD 2=√82+42=4√5, ∴AO=1
2AC=1
2×4√5=2√5.
7.D [解析]菱形OABC 中,点A 的坐标为(2,2√3),所以OA=4,∠A=∠C=60°,分类讨论.
①若顺时针旋转,旋转后的图形如图①所示,则OC=OA=4,∠C=60°,可求出点C 对应点的坐标为(-2,-2√3);
②若逆时针旋转,旋转后的图形如图②所示,则OC=OA=4,∠C=60°,可求出点C 对应点的坐标为(2,2√3).
8.6
9.是 [解析]如图,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,作AF ⊥CD 于点F .
∵两张纸条宽度相同,∴AE=AF.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF,AE=AF,∴BC=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
10.22[解析]由四边形ABCD是正方形,可得△ADE≌△CDE,∴∠DAE=∠DCE=90°-56°=34°,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DFE.∵∠DFE=∠FCE+∠FEC,∴56°=34°+∠CEF,∴∠CEF=22°.
11.2√5[解析]∵正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,∴BE=2.
∵点P是对角线BD上的动点,连接PC,则PC=P A.
连接EC交BD于点P,此时AP+PE=PC+PE=EC为最小值,最小值EC=√EB2+BC2=√42+22=2√5.
故答案为2√5.
12.证明:(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
∵E是线段AD的中点,∴AE=DE.
∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△F AE(AAS).
(2)∵△BDE≌△F AE,∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,
∴AF=CD.
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴四边形ADCF为矩形.
13.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AB∥DC,∴∠OAE=∠OCF,
∵EF⊥AC,
∴∠AOE=∠COF=90°,
在△AEO和△CFO中,∠OAE=∠OCF,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO,∴OE=OF,
,
又OE=3
2
,
∴OE=OF=3
2
∴EF=OE+OF=3.
(2)四边形AECF是菱形.
理由:由(1)得OE=OF,
又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴点O为BD的中点,
∵点E为AD中点,
∴OE为△ABD的中位线,∴OE∥FG.
∵OG∥EF,
∴四边形OEFG为平行四边形.
∵EF⊥AB,∴平行四边形OEFG为矩形.
(2)∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
在Rt△AOD中,∵点E为AD的中点,AD=10,
AD=5.
∴OE=AE=1
2
∵∠EF A=90°,EF=4,
∴在Rt△AEF中,AF=22=√522=3.
∵四边形OEFG为矩形,∴FG=OE=5,
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
15.解:(1)证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=45°,
∵AM⊥BC,∴∠MAC=45°.
∴∠EAN=∠MAC=45°.
同理∠NAG=45°,
∴∠EAN=∠NAG.
∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形,
∴AE=AB=AC=AG,∴EN=GN.
(2)①如图①,∠BAC=90°时,(1)中结论成立.
证明:过点E作EP⊥AN交AN的延长线于点P,过点G作GQ⊥AM于点Q.
∵四边形ABDE 是正方形,
∴AB=AE ,∠BAE=90°,
∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°. ∵AM ⊥BC ,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠ABM=∠EAP .
在△ABM 和△EAP 中,{∠ABM =∠EAP ,
∠AMB =∠P =90°,AB =AE , ∴△ABM ≌△EAP (AAS),∴EP=AM , 同理可得GQ=AM ,
∴EP=GQ.
在△EPN 和△GQN 中,{∠P =∠GQN ,
∠ENP =∠GNQ ,EP =GQ , ∴△EPN ≌△GQN (AAS),
∴EN=GN.
②如图②,∠BAC ≠90°时,(1)中结论成立.
证明:过点E 作EP ⊥AN 交AN 的延长线于点P ,过点G 作GQ ⊥AM 于点Q.
∵四边形ABDE 是正方形,
∴AB=AE ,∠BAE=90°,
∴∠EAP+∠BAM=180°-90°=90°. ∵AM ⊥BC ,∴∠ABM+∠BAM=90°, ∴∠ABM=∠EAP .
在△ABM 和△EAP 中,{∠ABM =∠EAP ,
∠AMB =∠P =90°,AB =AE , ∴△ABM ≌△EAP (AAS),∴EP=AM. 同理可得:GQ=AM ,∴EP=GQ.
在△EPN 和△GQN 中,{∠P =∠NQG ,
∠ENP =∠GNQ ,EP =GQ , ∴△EPN ≌△GQN (AAS),∴EN=GN.。