2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.3空间的角的计算1

3.2.3空间的角的计算
［学习目标］1•理解直线与平面所成角的概念2能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题3掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
产知识梳理自主学可
知识点一两条异面直线所成的角
(1)定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任意一点0,作直线a'// a, b'// b,贝U a'
与b'所成的锐角(或直角)叫做a与b所成的角.
n
⑵范围：两条异面直线所成角B的取值范围是0< n
⑶向量求法：设直线a, b的方向向量分别为a, b,其夹角为購则a, b所成角的余弦值为
cos 0= |cos 0=|a b|
|a||b「
知识点二直线与平面所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.
n
⑵范围：直线和平面所成角0的取值范围是0w 0W ~2
⑶向量求法：设直线I的方向向量为a,平面的法向量为U,直线与平面所成的角为0, a与u的夹角为0,则有
l a u| 亠.
sin 0= |cos 0|= 或cos 0= sin 0
1 1 |a| |u-|
知识点三二面角
(1)二面角的取值范围：［0, n］
⑵二面角的向量求法:
①若AB, CD分别是二面角a-l- 3的两个面内与棱I垂直的异面直线
图，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角.
②设n i、n2是二面角a-l- 3的两个面a, 3的法向量，则向量山与向量
n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.
冃题型探究莹点突破
题型一两条异面直线所成角的向量求法
例1 女口图，在直三棱柱A1BQ1 —ABC 中，AB ±AC, AB = AC= 2, A J A= 4, 点
D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
解 以A 为坐标原点，分别以 AB , AC , AA i 为x , y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 —xy z ,
则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(1,1,0), A i (0,0,4), C i (0,2,4),所以 A T B = (2,0 , — 4) , CD = (1, — 1, — 4).
严「
|A ?B CD| 18
因为 cos 〈 A i B , C i D 〉「T 」
18
|A i B||C i D| V 2°X *18 3「10
10 ,
反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线 所成角的计算思路简便，要注意角的范围.
跟踪训练1 如图，在长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，AD = AA 1= 1 , AB = 2，点E 是棱AB 上的动点.若异面直线 AD 1与EC 所成角为60°试确 定此时动点E 的位置.
以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为 角坐标系，如图所示. 设 E(1, t,0)(0 w t w 2),
则 A(1,0,0), D(0,0,0), D 1(0,0,1), C(0,2,0), D 1A = (1,0, — 1) , CE = (1, t — 2,0),
1 + 0X (t — 2)+ 0= ,2X - 1+ t —
2 2 cos 60 °
所以t = 1,所以点E 的位置是AB 的中点.
题型二 直线与平面所成角的向量求法 例2已知正三棱柱 ABCA 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为，2a , M
为A 1B 1的中点，求BC 1
与平面AMC 1所成角的正弦值.
解 建立如图所示的空间直角坐标系，贝U
A(0,0,0) , M(0 , 2, ,2a),
C* — ~2 a , 2 ,
2a)
, B(0 , a,0),
所以异面直线 A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为
3「10
10
根据数量积的定义及已知得:
z 轴，建立空间直
故AC i = (--23a , a ,
2a),
f a -
AM = (0 , 2， ,2a), BC i = (-^a ,- 2,
.2a )・
设平面AMC i 的法向量为 n = (x , y , z).
又 B C i = (-~23a ,
设BC i 与平面AMC i 所成的角为0, 则 sin 0= |cos 〈 B C i , n > | = 1 2^6.
反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注 意向量夹角与线面角的区别和联系.
跟踪训练2 如图，四棱锥 P - ABCD 中，PA 丄底面 ABCD , AD // BC , AB = AD = AC = 3, FA
1 证明MN //平面FAB ;
2 求直线AN 与平面FMN 所成角的正弦值. 2
(1)证明 由已知得 AM = 3AD = 2.
AC i n = 0,
则f
A M n = 0,
23
ax + + 2az = 0, |y + .2az = 0,
令 y =2,则一壬 xe n = (0,2,
_2) 2丿.
cos 〈 B C 1, n >
BC i n
― a ― a
2,6 9 .
=BC = 4, M 为线段 AD 上一点,
|BC i ||n | 3a x
(1)求证：BF 丄平面 ACFD ;
⑵求二面角B — AD — F 的平面角的余弦值.
1
取BP 的中点T ,连接AT , TN ,由N 为PC 中点知TN // BC , TN = ^BC = 2. 又AD // BC ,故TN 綊AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN / AT. 因为AT?平面PAB , MN?平面PAB ,所以 MN //平面PAB. ⑵解取BC 的中点E ,连接AE. 由 AB = AC 得 AE 丄 BC , 从而 AE 丄AD , AE = AB 2— BE 2=
AB 2 —
以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A — xyz.
由题意知,P(0 , 0 , 4) , M(0 , 2 , 0) , C( 5 , 2 , 0) , N -2, 1 ,
,PM = (0, 2, — 4) , PN =
, 1, — 2 , A N =
设n = (x , y , z)为平面PMN 的法向量，则
2y — 4z = 0 , 即
n PM = 0,
可取 n = (0 , 2 , 1).
+ y — 2z = 0 ,
是cos 〈n ,晶 >=譽=储.
|n |AN|
设AN 与平面PMN 所成的角为e,则sin e=鲁, •••直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为雰
题型三 二面角的向量求法
例3 如图，在三棱台 ABC — DEF 中，平面 BCFE 丄平面 ABC ,/ ACB = 90° BE = EF = FC =1 , BC = 2, AC = 3.
=5.
(1)证明 延长AD , BE , CF 相交于一点K ，如图所示.
因为平面 BCFE 丄平面ABC ，且AC 丄BC ,所以，AC 丄平面BCK ，因此BF 丄AC.
又因为EF // BC , BE = EF = FC = 1, BC = 2,所以△ BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点, 贝U BF 丄CK , 且 CK n AC = C , 所以BF 丄平面ACFD.
⑵解 如图，延长 AD , BE , CF 相交于一点K ，则△ BCK 为等边三角形.
取BC 的中点 0,贝U KO 丄BC ,又平面 BCFE 丄平面ABC ，所以KO 丄平面ABC. 以点0为原点，分别以射线 OB , 0K 的方向为x , z 的正方向, 建立空间直角坐标系 0— xyz. B(1,0,0) ,C(— 1,0,0) ,K(0,0, 3) ,A(— 1 , — 3,0), E 1 , 0 ,
因此，A C = (0 , 3 , 0) , A K = (1, 3 , .3) , A B =(2 , 3 , 0).
设平面ACK 的法向量为 m = (X 1 , y 1 ,乙),平面ABK 的法向量为n = (X 2 , y , Z 2). AC m = 0 , 3y 1 = 0 , 由「 得$
A K m =0 , X 1+ 3y 1+ 3z 1=0 , 取 m = ( .3 , 0, — 1); 2x 2+ 3y 2= 0 ,
1x 2+ 3y 2 + .3Z 2= 0 , 取 n = (3 , — 2 ,
由题意得
AB n =0, 由 [AK
B
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O — xy z.
反思与感悟设n 1, n 2分别是平面a, B 的法向量，则向量n 1与n 2的夹 角(或其补角)就是两个平面所成角的大小，如图.用坐标法的解题步骤 如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. ⑵求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量 n 1, n 2.
⑶计算：求n 1与n 2所成锐角0, cos 0= ,|n 1 n 2|,. |n 1| |n 2|
(4)定值：若二面角为锐角，则为
0;若二面角为钝角，则为 n — 0
跟踪训练3在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O 的直径，FB 是圆台的一
条母线.
(1)已知G , H 分别为EC , FB 的中点，求证： GH //平面 ABC ;
1
⑵已知EF = FB = 2AC = 2 3, AB = BC ,求二面角 F — BC — A 的余弦值.
(1)证明 设FC 中点为I ，连接GI , HI ，在△ CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI // EF.
又 EF // OB ，所以 GI // OB.
在厶CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI // BC ,又HI n GI = I ,所以平面 GHI //平面ABC. 因为GH?平面GHI ，所以 GH //平面ABC.
⑵连接OO',贝U OO'丄平面ABC.又AB = BC ,且AC 是圆O 的直径，所以 BO 丄AC.
于是，cos 〈 m , n >
m n 羽 |m | |n 「4 .
所以，二面角
B — AD — F 的平面角的余弦值为
_3
芳.
由题意得B(0, 2 3, 0),
C(— 2 3, 0, 0).过点F 作FM 垂直0B 于点M , 所以 FM = FB 2— BM 2= 3,可得 F(0, .3, 3). 故BC = (— 2 3,— 2 3, 0), EBF = (0，——3, 3).
设m = (x , y , z)是平面BCF 的一个法向量.
m n 二
所以 cos 〈m
, n >= |m ||n |= 7 . 所以二面角F — BC — A 的余弦值为
r 当堂检测
面角的大小为 45°或135°
m BC = 0, ‘― 2羽x — 2佝=0, 由 可得
m BF = 0. — 3y + 3z = 0. 可得平面BCF 的一个法向量 m = — 1, 1, 因为平面 ABC 的一个法向量 n = (0, 0,
1),
解析■/ cos < m ,
1亚 n
>=匚=〒
自杳自纠
5.在长方体ABCD — A i B i C i D i 中，已知DA = DC = 4, DD i = 3,则异面直线 A i B 与B i C 所成 角的余弦值为 _________________ . 答案25
解析如图，建立空间直角坐标系.
由已知得 A i (4,0,0), B(4,4,3), B i (4, 4,0), C(0,4,3).
3.在正三棱柱 ABCA i B i C i 中，若AB ={2BB I ，贝V AB i 与C i B 所成角的大小为 _______________ 答案 90°
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 BB i = i ,则A(O,O,i),
B i
，~2，0，C i (o ， 2，o )，
B 中，訂
-AB i = 4，乎，- i ， CB =申，-舟,i ,
--AB i C i B = 4— 4 — i = 0,二 A B I 丄 C i B.
即AB i 与C i B 所成角的大小为 90 °
4 .正方体ABCD — A i B i C i D i 中，BB i 与平面ACD i 所成角的余弦值为 答案f 解析设正方体的棱长为i ，建系如图. 则 D(0,0,0)，B(i,i,0)， B i (i,i,i).
平面ACD i 的一个法向量为 D B i = (i,i,i).
又BB i =
(0,0,i)，
贝U cos 〈 DB ,
BB i 〉 DB i BB i = i = V3 |D B i ||B B i |
''3X i 3
故BB i 与平面ACD i 所成角的余弦值为
二 A i B = (0,4,3),
B i
C = (— 4,0,3),
「课堂小结
利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系•首先要找出并利用 空间直角坐标系或基向量 （有明显的线面垂直关系时尽量建系 ）表示出向量；其次理清要求角
和两个向量夹角之间的关系.
1 r,
1 .已知向量 m , n 分别是直线l 和平面a 的方向向量和法向量，若 cos < m , n >= — ~，则
直线I 与平面a 所成的角为 ___________ . 答案 30°
1 解析 由cos < m, n >=— 1 2知，
直线I 与平面a 所成的角为90°— 60°= 30°. 2 .已知两平面的法向量分别为
m = (0,1,0), n = (0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为
答案 45°或135°
••• cos 〈A 1B , B i C > 9
25.。