高考数学压轴专题攀枝花备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编及答案

【最新】数学《计数原理与概率统计》复习资料
一、选择题
1．
若实数2a =101922810
1010222a C a C a -+-+L 等于( )
A ．32
B ．－32
C ．1 024
D ．512
【答案】A 【解析】 由题意可得：
(
)
()
1019222
10
101010
10
22222232.
a C a C a a -+-+=-==L
本题选择A 选项.
2．下列等式不正确的是（ ）
A ．111
m
m
n
n m C C n ++=+ B ．121
11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1
1m m n n A nA --=
D ．1(1)k k k
n n n nC k C kC +=++
【答案】A 【解析】 【分析】
根据排列和组合公式求解即可. 【详解】
根据组合公式得1
1!1(1)!1!()!1(1)!()!1
m
m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；
根据排列公式得
1221
11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!
m m
m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=
-=+-=⋅=----，则B 正
确；
根据排列公式得1
1!(1)!()!()!
m
m n n n n A n nA n m n m ---=
=⋅=--，则C 正确；
根据组合公式得()()1
!!
(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅
=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
[]!!
()!()!!(1)!
k k
n n n n nC kC n k k n k k n k -⋅
=--+-=
即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；
故选:A
本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.
3．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为
ˆ23y
x =-； （4）“1x ≥”是“1
2x x
+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得
2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；
（2）中，已知(
)2
2,X N σ
~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所
以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12
x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“1
2x x
+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4．已知5929
0129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）
A ．9
B ．36
C ．84
D ．243
【答案】B 【解析】
()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式
定理将其拆开，求出含有7
(1)x -的项，便可得到7a ．
【详解】
解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7
(1)x -；
()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()72
9C 136-=
所以，7a 36=，故选B 【点睛】
本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．
5．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．
78
B ．
34
C ．
12
D ．
14
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】
解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，
要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥， 则相当于56
5.5
6.5x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
，即求y x ≥的概率，
如图所示：
约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：1117
12228
-
⨯⨯=， 所以对应的概率为：7
7818
=，
即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78
. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.
6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．2，5
B ．5，5
C ．5，8
D ．8，8
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得5x =，1
16.8(915101824)85
y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图
7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180
【答案】B 【解析】
试题分析：10人中任选3人的组队方案有3
10120C =，
没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用
8．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为
3
5
，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．
611
B ．
511
C ．
59
D ．
49
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】
如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，
所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =，
当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为6
11
AD BC p AD CD BC +==++.
故选：A.
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.
9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122542
2
215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故
选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
10．已知不等式5
01
x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．
14 B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.
详解：(5)(1)05
0101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩
，
∴{}|15P x x =-<<，
||111x x <⇒-<<，
∴1(1)15(1)3
P --=
=--．
选B ．
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
11．某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（ ） A ．252 B ．288
C ．360
D ．216
【答案】A 【解析】 【分析】
3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教
师确定时，则其中1人必须完成两项工作，故完成工作的方法有121
342
C C C ••种,然后再根据甲、乙、丙三人的条件要求，分三种情况讨论，得出结果. 【详解】
解：因为3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1人完成，所以当3名教师确定时，则其中1人必须完成两项工作，
故安排3名教师完成4项工作，可以先确定完成两项工作的1名人员，其方法有1
3C ， 然后再确定完成的工作，其方法有24C ，
然后再将剩下的两项工作分配给剩下的两人，其方法有1
2C ，
故当3名教师确定时，完成工作的方法有121342
C C C ••种； 因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去， 故有三种方法选择教师，
第一种方法：甲参加，乙不参加，丙参加，再从剩下的3人中选择1人，其方法有1
3C 种， 第二种方法：甲不参加，乙参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择2人，其方法有2
3C 种，
第三种方法：甲不参加，乙不参加，丙不参加，再从剩下的3人中选择3人，其方法有33C 种；
故最终选派的方法为()123121333342C C C C C C 252++•••=，故选A.
【点睛】
本题考查了排列组合的知识、分类分步的计数原理，解题的关键是要辨析清楚何时是分类，何时是分步.
12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元
C ．56万元
D ．57万元
【答案】D 【解析】
试题分析：由表格可算出1(1245)34x =
+++=,1
(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b
=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.
考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .
13．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）
A ．残差平方和变小
B ．相关系数r 变小
C ．相关指数2R 变小
D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱
【答案】A 【解析】 【分析】
由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】
∵从散点图可分析得出：
只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】
该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.
14．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）
ξ
1 2 3
A ．E E ξη<，D D ξη<
B ．E E ξη<，D D ξη>
C ．E E ξη<，
D D ξη= D ．
E E ξη=，D D ξη=
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯
+⨯+⨯=116
， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108
266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236
=⨯
+⨯+⨯=， D η＝（1316-
）216⨯+（2136-）212⨯+（3136
-）2151
3108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．
15．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）
B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）
C ．E （ξ）＜E （η），
D （ξ）＞D （η）
D ．
E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）
【答案】A 【解析】 【分析】
当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E ξ=，
()2
5
D ξ=；当4n =时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167
E η=
， ()2449
D η=，即可得解． 【详解】
当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，
()134336115C C P C ξ⋅===，()342236325C C P C ξ⋅===，()34
31361
35
C C P C ξ⋅===， ∴()131232555E ξ=
+⨯+⨯=，()112555
D ξ=+=； 当4n =时，η可取1，2，3，4，
()1434374
135C C P C η⋅===，()224374
18235C P C C η==⋅=， ()31437412335C P C C η==⋅=，()4
404375
1
43C C P C η⋅===， ∴()41812116234353535357
E η=
+⨯+⨯+⨯=， ()2
2
2
2
416181612161161234357357357549
4
372D η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ∴()()E E ξη<，()()D D ξη<． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
16．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对
应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37y
x =-，以下结论中不正确的为（ ）
A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.
【详解】
A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；
C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；
D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.
故答案为D.
【点睛】
本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
17．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()
A．280 B．320 C．400 D．1000
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果
【详解】
由题意知这是一个分层抽样问题，
Q 青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：
10200801087
⨯=++ Q 每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有
804000.2
= 故选C
【点睛】 本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。

18．若随机变量()23,X N σ
:，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ） A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3 【答案】A
【解析】
【分析】
由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果.
【详解】
由于()23,X N σ:，则正态密度曲线关于直线3x =对称，
所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A.
【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.
19．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx y
e -=，其一组数据如下表所示：
若5x =，则预测y 的值可能为（ ）
A ．5e
B ．11
2e C ．7e D ．15
2e
【答案】D
【解析】
【分析】
将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到$ 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结果.
【详解】
由$0.5bx y e -=，得$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，则0.5z bx =-.
1234 2.54x +++==，1346 3.54
z +++==， ∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =⨯-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5x y e
-=， 当5x =时，$151.650.52
y e
e ⨯-==， 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.
20．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ）
A ．18
B ．28
C ．38
D ．42
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．
【详解】
根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多
于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，
则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有
2 887
28 2
C
⨯
==种不同的放法，
即有28个不同的符合题意的放法；
故选B．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．。