(通用版)2019版高考数学二轮复习 专题检测(九)三角恒等变换与解三角形 理(普通生,含解析)

专题检测（九） 三角恒等变换与解三角形
A 组——“6＋3＋3”考点落实练
一、选择题
1．(2019届高三·益阳、湘潭调研)已知sin α＝2
5，则cos(π＋2α)＝( )
A.7
25 B ．－7
25
C.
1725
D ．－17
25
解析：选D ∵sin α＝25，∴cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－825＝1725，∴cos(π＋2α)＝－
cos 2α＝－17
25
，故选D.
2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为
a 2＋
b 2－
c 2
4，则C ＝( )
A.π2
B.π3
C.
π4
D.π6
解析：选C ∵S ＝12ab sin C ＝a 2
＋b 2
－c 2
4＝2ab cos C 4＝1
2ab cos C ，
∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1. ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
4
.故选C.
3．若0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－3
5，则cos β＝( )
A ．－7
25
B.725
C ．－2425
D ．±24
25
解析：选C cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
因为α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2，所以cos(α＋β)<0，
则cos(α＋β)＝－4
5
，
因为α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，
所以sin α＝45，cos β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×4
5
＝－2425.
4．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝55，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝
31010，则β－α＝( )
A.π
6 B.π4
C.π3
D.π12
解析：选B 由sin α＝
55，及α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，得
cos α＝255，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β＝31010，
及β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos β＝1010， 所以sin(β－α)＝sin βcos α－cos βsin α＝31010×255－1010×55＝2
2.
又因为β－α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，所以β－α＝π4.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c
b
<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形
D ．等边三角形
解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin C
sin B
<cos A ，
即sin C <sin B cos A .
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.
又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π
2<B <π，
∴△ABC 为钝角三角形．
6．(2018·南昌一模)已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以
v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米
处，若cos α＝3
4
cos β，则v ＝( )
A ．60
B ．80
C ．100
D ．125
解析：选C 如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C ，
则在△ABC 中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝4
3sin β，
又cos α＝3
4
cos β，
∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916
cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2
β，
∴sin β＝34cos β，∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝3
5，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π
2，
∴BC 2
＝AB 2
＋AC 2
，∴(2.5v )2
＝1502
＋2002
，解得v ＝100，故选C. 二、填空题
7．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②
∴①2
＋②2
得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－1
2，
∴sin(α＋β)＝－1
2.
答案：－1
2
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2
＝3b 2
＋3c 2
－23bc sin A ，则
C 等于________．
解析：由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 所以b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝3b 2
＋3c 2
－23bc sin A ，
即3sin A －cos A ＝b 2＋c 2bc ，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝b 2＋c 2bc ≥2，因此b ＝c ，A －π6＝π2⇒A ＝2π3，
所以C ＝π－
2π
32＝π
6.
答案：π
6
9．(2018·长春质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝
b 2sin A ，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，AD ＝
23
3
，a ＝3，则b ＝________.
解析：由面积公式S ＝12bc sin A ＝b 2
sin A ，可得c ＝2b ，即c b ＝2.由a ＝3，并结合角
平分线定理可得，BD ＝233，CD ＝33， 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝4b 2
＋3－b
2
2×2b ×3
，
在△ABD 中， cos B ＝
4b 2
＋43－
43
2×2b ×233，即4b 2
＋3－b
2
2×2b ×3＝4b 2
＋43－
43
2×2b ×
23
3
，化简得b 2
＝1，解得b
＝1.
答案：1 三、解答题
10．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .
解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB
sin ∠ADB ，
即
5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝2
5
.
由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝
1－225＝23
5
. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝2
5
. 在△BCD 中，由余弦定理得
BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC
＝25＋8－2×5×22×2
5
＝25， 所以BC ＝5.
11．(2018·昆明调研)在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝6，∠ACB ＝150°. (1)求AB 的长；
(2)延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°，求△ACD 的面积． 解：(1)由余弦定理AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC cos ∠ACB ， 得AB 2
＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84， 所以AB ＝221.
(2)因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°， 所以∠CAD ＝150°－45°＝105°，
由正弦定理CD sin ∠CAD ＝AC sin ∠ADC ，得CD ＝23sin 105°
sin 45°
，又sin 105°＝sin(60°＋45°)
＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝
2＋6
4
，所以CD ＝3＋3， 又∠ACD ＝180°－∠ACB ＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×
1
2＝3
2
(3＋1)． 12．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2
x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；
(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314
，求bc 的值．
解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2
x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
因此f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π
2(k ∈Z)，
得k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12
(k ∈Z)，
所以f (x )的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．
(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3，且A 为锐角，所以A ＝π3.
由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732
＝14
3
，
sin B ＋sin C ＝
b ＋
c 2R ＝133
14
， 则b ＋c ＝13314×14
3
＝13，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c 2－2bc －a 22bc ＝1
2
，
所以bc ＝40.
B 组——大题专攻补短练
1．(2018·天津五区县联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
8 sin
2
A ＋B
2
－2cos 2C ＝7.
(1)求tan C 的值；
(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以
A ＋
B 2＝π2－
C 2，则sin A ＋B 2＝cos C
2
. 由8sin
2
A ＋B
2－2cos 2C ＝7，得8cos 2
C
2
－2cos 2C ＝7， 所以4(1＋cos C )－2(2cos 2
C －1)＝7， 即(2cos C －1)2
＝0，所以cos C ＝12.
因为0＜C ＜π，所以C ＝π
3，
于是tan C ＝tan π
3
＝ 3.
(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a .①
又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos π3，
即a 2
＋b 2
－ab ＝3.② 联立①②，解得a ＝1，b ＝2.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足a 2
＋c 2
－b 2
＋2bc cos A －4c ＝0，且c cos A ＝b (1－cos C )．
(1)求c 的值及判断△ABC 的形状； (2)若C ＝π
6
，求△ABC 的面积．
解：(1)由a 2
＋c 2
－b 2
＋2bc cos A －4c ＝0及正弦定理得
a 2
＋c 2
－b 2
＋2bc ·b 2＋c 2－a 2
2bc
－4c ＝0，
整理，得c ＝2.
由c cos A ＝b (1－cos C )及正弦定理，得 sin C cos A ＝sin B (1－cos C )， 即sin B ＝sin C cos A ＋sin B cos C ＝ sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin B cos C ＝sin A cos C ， 故cos C ＝0或sin A ＝sin B .
当cos C ＝0时，C ＝π
2，故△ABC 为直角三角形；
当sin A ＝sin B 时，A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知c ＝2，A ＝B ，则a ＝b ， 因为C ＝π
6，所以由余弦定理，得
4＝a 2＋a 2－2a 2cos π6，解得a 2
＝8＋43，
所以△ABC 的面积S ＝12a 2sin π
6＝2＋ 3.
3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S ＝
3
2
ac cos B .
(1)若c ＝2a ，求角A ，B ，C 的大小；
(2)若a ＝2，且π4≤A ≤π
3，求边c 的取值范围．
解：由已知及三角形面积公式得
S ＝1
2ac sin B ＝
3
2
ac cos B ， 化简得sin B ＝3cos B ，
即tan B ＝3，又0<B <π，∴B ＝π
3
.
(1)法一：由c ＝2a 及正弦定理得，sin C ＝2sin A ， 又∵A ＋C ＝2π
3，
∴sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3－A ＝2sin A ，
化简可得tan A ＝33，而0<A <2π
3
， ∴A ＝π6，C ＝π
2
.
法二：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2
， ∴b ＝3a ，
∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2， ∴A ＝π6，C ＝π2
.
(2)由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，
即c ＝
a sin C sin A ＝2sin C
sin A
， 由C ＝2π
3
－A ，得
c ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2cos A ＋12sin A sin A
＝
3cos A ＋sin A sin A ＝3
tan A
＋1.
又由π4≤A ≤π
3
，知1≤tan A ≤3，
∴2≤c ≤3＋1，故边c 的取值范围为[2，3＋1]．
4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，
b ＝2.
(1)求c 的值；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)因为sin A ＋3cos A ＝0， 所以sin A ＝－3cos A ， 所以tan A ＝－ 3. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝
2π
3
. 由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 代入a ＝27，b ＝2得c 2
＋2c －24＝0， 解得c ＝4或c ＝－6(舍去)， 所以c ＝4. (2)由(1)知c ＝4.
因为c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ，
所以16＝28＋4－2×27×2×cos C ， 所以cos C ＝277，所以sin C ＝21
7，
所以tan C ＝
32
. 在Rt △CAD 中，tan C ＝AD AC
，
所以
32＝AD
2
，即AD ＝ 3. 即S △ADC ＝1
2
×2×3＝3，
由(1)知S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×3
2＝23，
所以S △ABD ＝S △ABC －S △ADC ＝23－3＝ 3.。