2019-2020学年福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高二第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．设复数z＝，则z的共轭复数＝（）
A．B．C．D．
2．抛物线y＝﹣8x2的焦点坐标是（）
A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）3．《九章算术》第三章“哀分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百，丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了480钱，乙带了300钱，丙带了220钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（）
A．50 B．32 C．31 D．30
4．“k＞9”是“曲线+＝1为双曲线”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知f（x）＝ln（2x+1）﹣ax，且f'（2）＝﹣1，则a＝（）
A．B．C．D．
6．已知圆C：与双曲线E：（a＞0，b＞0）的渐近线相切，且圆心C恰好是双曲线E的一个焦点，则双曲线E的标准方程是（）
A．B．
C．D．
7．函数f（x）＝的图象大致是（）
A．B．
C．D．
8．设F为抛物线y2＝2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝4|FB|，则直线AB的斜率为（）
A．B．C．1 D．
9．已知f（x）＝2x﹣ae x在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．
10．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随m，n变化而变化
11．利用一半径为4cm的圆形纸片（圆心为O）制作一个正四棱锥．方法如下：（1）以O为圆心制作一个小的圆；
（2）在小的圆内制作一内接正方形ABCD；
（3）以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上（如图）；
（4）将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合．
问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（）
A．B．C．D．2
12．已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B为焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率不可以是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请把答案填在答题纸的相应位置. 13．命题p：“∃x∈R，使x2﹣3x+1＜0”，则它的否定￢p为：．
14．袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“四”
“校”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 23 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为．
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为．
16．已知函数f（x）＝xlnx+2x（x﹣a）2（a∈R）．若存在x∈[1，3]，使得f（x）＞xf'（x）成立，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知曲线C：．
（1）求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在R上的极值．
18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AC与BD相交于点E，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD＝1，，BC＝3．
（1）求证：BD⊥平面PAG；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
19．某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如图的频率分布直方图：
（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数；
（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设区间Ω＝[1.85，2.15），月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元；
方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？
20．已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为G，试确定点G的位置，并证明直线GD∥面EMC；
（2）是否存在M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时的值，若不存在，说明理由．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点为短轴的一个端点，∠OF2B＝60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问k•k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
22．已知函数，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x2）﹣2f（x1）的最大值．
参考答案
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题纸的相应位置.
1．设复数z＝，则z的共轭复数＝（）
A．B．C．D．
解：复数＝＝﹣+i，故它的共轭复数为﹣﹣i，
故选：C．
2．抛物线y＝﹣8x2的焦点坐标是（）
A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）解：抛物线y＝﹣8x2的标准方程为：x2＝﹣y，所以抛物线的焦点坐标（0，﹣）．故选：C．
3．《九章算术》第三章“哀分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百，丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了480钱，乙带了300钱，丙带了220钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（）
A．50 B．32 C．31 D．30
解：根据分层抽样原理，抽样比例为：＝
所以乙应交关税为300×＝30（钱）．
故选：D．
4．“k＞9”是“曲线+＝1为双曲线”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：曲线+＝1为双曲线（k﹣3）（k﹣9）＜0，
即k＞9或者k＜3，
故“k＞9”是“曲线+＝1为双曲线”的充分不必要条件，
故选：A．
5．已知f（x）＝ln（2x+1）﹣ax，且f'（2）＝﹣1，则a＝（）
A．B．C．D．
解：，
∴，解得．
故选：A．
6．已知圆C：与双曲线E：（a＞0，b＞0）的渐近线相切，且圆心C恰好是双曲线E的一个焦点，则双曲线E的标准方程是（）
A．B．
C．D．
解：如图，
圆C：的圆心坐标为（，0），半径为1，
双曲线E：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝，
由题意可得，，解得a2＝2，b2＝1．
∴双曲线E的标准方程是．
故选：B．
7．函数f（x）＝的图象大致是（）
A．B．
C．D．
解：定义域为（0，1）∪（1，+∞），故排除A；f（100）＞0，故排除C；，故排除D．
故选：B．
8．设F为抛物线y2＝2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝4|FB|，则直线AB的斜率为（）
A．B．C．1 D．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得排污池的焦点F（，0），设直线AB的方程为：y＝k（x﹣），
联立直线与抛物线的方程可得：，整理可得：4k2x2﹣（4k2p+8p）x+k2p＝0，x1+x2＝＝①，y1+y2＝k（x1+x2﹣p）＝②，
若|FA|＝4|FB|可得，即（x1，y1）＝4（﹣x2，﹣y2）可得x1＝﹣4x2+③，y1＝﹣4y2④，
由①②③④可得：x2＝p（﹣），y2＝，
因为B在抛物线上可得（）2＝2p•p（﹣）整理可得：＝1﹣，即9k2＝16，k＞0，解得k＝，
故选：D．
9．已知f（x）＝2x﹣ae x在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．
解：令f（x）＝2x﹣ae x＝0，即，
依题意，函数与直线y＝a有两个交点，
由得，易知函数g（x）在（﹣∞，1）上单增，在（1，+∞）上单减，
故，且当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→0，要使函数与直线y＝a有两个交点，则需．
故选：D．
10．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随m，n变化而变化
解：由题意，不妨设P是双曲线右支上的一点，|PF1|＝x，|PF2|＝y，则x+y＝2，x ﹣y＝2
∴x2+y2＝2（m+n）
∵两曲线有相同的焦点
∴m﹣1＝n+1
∴m＝n+2
∴x2+y2＝4（n+1）
即|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形
故选：B．
11．利用一半径为4cm的圆形纸片（圆心为O）制作一个正四棱锥．方法如下：（1）以O为圆心制作一个小的圆；
（2）在小的圆内制作一内接正方形ABCD；
（3）以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上（如图）；
（4）将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合．
问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（）
A．B．C．D．2
解：设小圆的半径为r，（0＜r＜4），连结OD，OH，
OH与AD交于点M，则|AD|＝，|OM|＝r，
∵大圆半径R＝4，∴|MH|＝4﹣r，
在正四棱锥中，如图所示，
|HO|＝＝
＝＝，
∴V＝
＝，
记t＝，则＝（16﹣5）r3，
令t′＝0，得，
∴当r＝时，t＝4r4﹣取最大值，
∴小圆半径为时，V最大．
故选：C．
12．已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B为焦点，并经过顶点C，该圆锥曲线E的离心率不可以是（）
A．B．C．D．
解：①△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，圆锥曲线E为椭圆，e＝；
②△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，A或B为直角，圆锥曲线E为椭圆，
e＝＝；
③△ABC为等腰直角三角形，如果C＝，A或B为直角，圆锥曲线为双曲线，
e＝＝．
∴该圆锥曲线E的离心率不可以是．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请把答案填在答题纸的相应位置. 13．命题p：“∃x∈R，使x2﹣3x+1＜0”，则它的否定￢p为：∀x∈R，使x2﹣3x+1≥0 ．解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题：
即∀x∈R，使x2﹣3x+1≥0，
故答案为：∀x∈R，使x2﹣3x+1≥0
14．袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“四”
“校”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 23 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为0.3 ．
解：经随机模拟产生的20组随机数中，
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 23 34，
恰好第二次就停止包含的基本事件有：
13，43，23，13，13，23，共6个，
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为p＝＝0.3．
故答案为：0.3．
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为（2，）．．
解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），
准线l方程为x＝﹣1．设A（t2，t），则
根据抛物线的定义，得|AM|＝t2+1，
∵△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3：1，
∴|AM|：|OF|＝t2+1＝3，可得t2＝8，解之得t＝
∴点A的坐标为（2，）．
故答案为：（2，）．
16．已知函数f（x）＝xlnx+2x（x﹣a）2（a∈R）．若存在x∈[1，3]，使得f（x）＞xf'（x）成立，则实数a的取值范围是（）．
解：令g（x）＝＝lnx+2（x﹣a）2，
则，
∵存在x∈[1，3]，使得f（x）＞xf'（x）成立，
∴存在x∈[1，3]，使得g′（x）＜0成立，即＜0在[1，3]上有解，
即4a在[1，3]上有解，即4a＞（4x+）min，
又当x＝1时，4x+取得最小值5，
故4a＞5，即a＞．
故答案为：（）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知曲线C：．
（1）求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在R上的极值．
解：（1）f′（x）＝x2﹣2x﹣3，
∴k＝f′（1）＝﹣4，f（1）＝﹣3，
所以f（x）在点P处的切线方程为y+3＝4（x﹣1）即4x+y﹣1＝0，
（2）：f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），
令f′（x）＝0可得x＝﹣1或x＝3，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表
x（﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）f′（x）+ 0 _ 0 +
f（x）递增极大值递减极小值递增所以f（x）在x＝﹣1处取得极大值f（﹣1）＝，在x＝3处取得极小值f（3）＝．18．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AC与BD相交于点E，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD＝1，，BC＝3．
（1）求证：BD⊥平面PAG；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
解：（1）由PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，
又tan∠ABD＝，tan∠BAC＝，
所以∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
所以BD⊥AC，
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC；
（2）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（，0，0），C（，3，0），D（0，1，0），P（0，0，2），
，，，
设平面PCD的法向量为，
则，
可取x＝4，得，
由（1）知平面PAC的一个法向量为，
，所以cos＜＞＝，
由题意可知二面角A﹣PC﹣D为锐二面角，
∴故二面角的余弦值为．
19．某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100
人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如图的频率分布直方图：
（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数；
（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设区间Ω＝[1.85，2.15），月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元；
方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？
解：（1）计算这100人月薪收入的样本平均数是
；
（2）方案一：月薪落在区间Ω左侧收活动费用约为（0.02+0.10）×400×50÷10000＝
0.24（万元）；
月薪落在区间Ω收活动费用约为（0.24+0.31+0.20）×600×50÷10000＝2.25（万元）；
月薪落在区间Ω右侧收活动费用约为（0.09+0.04）×800×50÷10000＝0.52（万元）；
因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元），
方案二：这50人共收活动费用约为（万元）；
所以方案一能收到更多的费用．
20．已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上．
（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为G，试确定点G的位置，并证明直线GD∥面EMC；
（2）是否存在M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时的值，若不存在，说明理由．
解：（1）因为直线MF在平面ABFE，
故点G在平面ABFE内也在平面ADE内，
所以点G在平面ABFE与平面ADE的交线上，（如图所示）
因为AG∥BF，M为AB的中点，所以△GAM≌△MBF，
所以GM＝MF，AG＝BF，所以点G在EA的延长线上，且AG＝2，
连结DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点，
连结MN，因为MN为△DGF的中位线，所以MN∥GD，
又因为MN在平面EMC内，所以直线GD∥面EMC；
（2）由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，所以EF⊥平面ADE，
所以平面ABEF⊥平面GDE，取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，
设M（1，t，0）（0≤t≤4），则，
设平面EMC的法向量，则，
可取，
又DE与平面EMC所成的角为60°，所以，
解得t＝1或t＝3，
此时或，
所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°．
21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点为短轴
的一个端点，∠OF2B＝60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问k•k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
解：（1）由条件可知，故所求椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣
（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y＝k（x﹣1）．
由可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0
因为点F2（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即△＞0恒成立．
设点E（x1，y1），D（x2，y2），
则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为直线AE的方程为：，直线AD的方程为：，
令x＝3，可得，，所以点P的坐标
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
直线PF2的斜率为＝＝
＝＝
＝，
所以k•k'为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22．已知函数，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x2）﹣2f（x1）的最大值．
解：（1）f′（x）＝2x﹣2a+＝，x＞0，
令y＝2x2﹣2ax+1，
当△＝4a2﹣8≤0，即﹣时，y≥0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣时，2x2﹣2ax+1＝0有两个负根，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞时，2x2﹣2ax+1＝0有两个正根，分别为x1＝，x2＝，
此时f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．
综上可得：a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
a＞时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，
在（，）上单调递减．
（2）由（1）可得x1+x2＝a，x1•x2＝，a＞，
2ax1＝2+1，2ax2＝2+1，
∵a＞，＞，
∴x1∈（0，），x2∈（，+∞），
f（x2）﹣2f（x1）＝﹣2ax2+lnx2﹣2（﹣2ax1+lnx1）
＝﹣+2+lnx2﹣2lnx1+1
＝﹣+2+lnx2+2ln+1＝﹣++ln+1+2ln2，
令t＝，则t＞，
g（t）＝﹣t++lnt+1+2ln2，
g′（t）＝﹣1﹣+＝＝，
当＜t＜1时，g′（t）＞0；当t＞1时，g′（t）＜0，∴g（t）在（，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减g（t）max＝g（1）＝
f（x2）﹣2f（x1）的最大值为．。