备战高考数学(精讲+精练+精析)专题4.1三角函数的图象与性质试题理(含解析)

专题4.1 三角函数的图象与性质
【三年高考】
1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ωϕωϕ=>≤=-
，
为()f x 的零点,4
x π
=
为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B
2．【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=
-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212
k x k Z ππ=+∈ 【答案】B
【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12
π
个单位得2sin 2()2sin(2)126
y x x ππ
=+
=+，则
平移后函数的对称轴为2,6
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，即,6
2
k x k Z π
π
=
+
∈，故选B. 3．【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π
=-
图象上的点(,)4
P t π
向左平移s （0s >） 个单位长度
得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）
A.12t =
，s 的最小值为6π B.3t = ，s 的最小值为6π
C.12t =
，s 的最小值为3π D.32t =，s 的最小值为3
π
【答案】A
4．【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 . 【答案】7
【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666
x πππππππ
=共7个
5．【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2
x π
-)cos(3
x π
-
)-3.
(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44
ππ
-
]上的单调性.
【解析】()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z π
π⎧⎫
≠
+∈⎨⎬⎩
⎭
. 2
13=4sin cos sin 32sin cos 23322x x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭
)()=sin 231-cos 23sin 232=2sin 23
x x x x x π
+=-.所以, ()f x 的最小正周期
2.2T π
π=
=
()II 解：令2,3z x π
=-
函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦由
2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+,得5,.12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤
=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当
,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
，上单调递减.
6. 【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
3sin()6
y x k π
ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C
7.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23
x π
=
时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A
【解析】由题意，()()sin (0,0,0)f x x A ωϕωϕ=A +>>>，22||T πππωω
=
==，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=A +，而当23x π=
时，2322,32
k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()sin 2(0)6f x x A π⎛
⎫
=A +
> ⎪⎝
⎭，则当2262x k πππ+=+，即,6
x k k Z π
π=+∈时，()f x 取得最大值.要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2,2,0-与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值
越小，易知0,2与6π比较近，2-与56π-比较近，所以，当0k =时，6x π=，此时|0|0.526
π-，|2| 1.476π-，当1k =-时，56x π=-，此时5|2()|0.66
π---
，所以(2)(2)(0)f f f <-<，故选A. 8.【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2
π
ϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的
图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3
x x π
-=，则ϕ=（ ）
A.512
π
B.3π
C.4π
D.6π
【答案】D.
9.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()
cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()
g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2
个单位长度.
(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．
（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：2
2cos )
1.5
m ( 【答案】(Ⅰ) f()
2sin x x ，(k Z).2
x k
；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．
【解析】解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到
y 2cos x 的图像，再将y 2cos x 的图像向右平移
2
个单位长度后得到y 2cos()2
x 的图像，故
f()2sin x x ，从而函数f()2sin x x 图像的对称轴方程为(k
Z).2
x k
(2)1) f()g()
2sin cos 5(
sin cos )5
5
x x x x x x 5sin()x
（其中
sin
,cos 55
），依题意，sin()=
5
x 在区间[0,2)内有两个不同的解,当且仅当|15
，故m 的取值范围是(5,5).
2)因为,5)=m x
在区间[0,2)内有两个不同的解，所以sin()=
5
，sin()=
5
.当1m<5时，+=2(
),2();2当5<m<1时,
3
+=2(
),32();2
所以
2
2
22cos )cos 2()2sin (
)12()1 1.55
m m (
10. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230
()0,f x dx π=⎰
则函数()f x 的图象的一条
对称轴是( ) A.56x π=
B.712
x π= C.3x π= D.6x π=
【答案】A
11．【2014全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】如图所示，当0
2
x
π
≤≤时，在Rt OPM
∆中，cos cos
OM OP x x
==．在Rt OMD
∆中，MD= sin
OM x
1
cos sin sin2
2
x x x
==；当
2
x
π
π
<≤时，在Rt OPM
∆中，cos()cos
OM OP x x
π
=-=-，在Rt OMD
∆中，MD=sin()
OM x
π-
1
cos sin sin2
2
x x x
=-=-，所以当0xπ
≤≤时，()
y f x
=的图象大致为C．
P
O
A
M
D
12.【2014高考天津第15题】已知函数()2
cos sin
34
f x x x x
π
⎛⎫
=⋅+-+
⎪
⎝⎭
，x R
∈．（Ⅰ）求()
f x的最小正周期；
（Ⅱ）求()
f x在闭区间,
44
ππ
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上的最大值和最小值．
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 三角函数的周期性、单调性、最值，三角函数图像变换等是高考的热点，每年文理均涉及到一道三角函数性质与图像的题目，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．
【2017年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的图象与性质是本章复习的重点. 从高考试题来看，三角函数的周期性,单调性,对称性,最值,图像变换等是高考的热点，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．其特点如下：(1)考小题，重基础：小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)．(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.
从2016年高考试题来看，特别是新课标1卷第17题考察了解三角形，故预测2017年高考可能以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性为主要考点，可能出一个大题．也有可能仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性中选一个出一道选择题或填空题，难度不大.
【2017年高考考点定位】
本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下，而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势.
【考点1】三角函数的图象与简单性质 【备考知识梳理】 1.三角函数线
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便.
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==.
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有：cos OM x α== 同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，
规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.
这样,无论那种情况都有sin MP y α==.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.
O x
y
a 角的终P T
M A
如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有：tan y AT x
α==
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
性质
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域
R R
,2x x k k Z ππ⎧⎫
≠+∈⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当()22
x k k Z π
π=+
∈时，
max 1y =；当
()22
x k k Z π
π=-
∈时，min 1y =-．
当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当
()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．
既无最大值，也无最小值
周期性 2π 2π
π
奇偶性
()sin sin x x -=-,奇函数
()cos cos x x -=偶函数 ()tan tan x x -=-奇函数
单调性
在
()2,222k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
上是增函数；在
()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．
在(),2
2k k k Z π
πππ⎛
⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
上是增函数．
2.正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质
3.（五点法），先列表，令
30,
,,
,22
2
x π
π
ωϕππ+=，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图像.
【规律方法技巧】
用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或
()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T π
ω
=
；③求出振幅A ；④列出一个周期内的
五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 【考点针对训练】
1. 【河北省衡水中学2016届高三四调】函数cos tan y
x x （
2
2
x
）的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C 【解析】由于当2
2
x
时，cos 0x ，sin cos tan cos sin ,(
,)cos 22
x
y x x x
x x x
， 故选C ．
2.函数()lg |sin |f x x =是（ ）.
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
上是减函数．
对称性
对称中心()(),0k k Z π∈
对称轴()2
x k k Z π
π=+
∈，既
是中心对称又是轴对称图形.
对称中心(),02k k Z π
π⎛⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭
对称轴()x k k Z π=∈，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心(),02k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数 【答案】C
【考点2】三角函数图象的变换 【备考知识梳理】
1.函数图像的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减
把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:
把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的
1
ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1
ω
，得到函数()()1y f x ωω=>的图像;
把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()
sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才
能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
1
ω
倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的
1ω
倍
(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移
ω
ϕ|
|个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.
注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当
0ϕ<时)平行移动
ϕ
ω
个单位长度而得到. 【规律方法技巧】
1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．
4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身. 【考点针对训练】
1. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知函数sin 3y x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
向右平移
3
π
个单位后 所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ） A ．1 B ．2 C ．5
2
D ．3 【答案】D
2. 【2016年江西师大附中高三二模】已知函数sin 3y x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
向右平移
3
π
个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ） A ．1 B ．2
C ．
5
2
D ．3
【答案】D
【解析】原函数向右平移
3
π
个单位后所得函数为)33sin(ωππ-+=wx y 其与原函数关于x 轴对称，则必有
)3
sin(-)33sin(π
ωππ+=-+wx wx ，
由三角函数诱导公式可知ω的最小正值为3，故本题的正确选项为D. 【考点3】求三角函数解析式 【备考知识梳理】
1. 由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：
已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求
A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫
-
⎪⎝⎭
作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2.利用图象变换求解析式：
由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的
1
ω
倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 【规律方法技巧】
1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点
2；
(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点
2；
(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2π
ω
(ω>0)来确定ω；
(4)φ的确定：由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕ
ω
-
(即令0x ωϕ+=，x ϕ
ω
=-
)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.
2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【考点针对训练】
1. 【2016届邯郸市第一中学高三十研】已知()2sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的表达式为（ ）
A ．
3()2sin()24f x x π
=+ B ．35()2sin()24f x x π
=+
C ．42()2sin()39f x x π=+
D ．425()2sin()318
f x x π
=+
【答案】B
2. 【2016届山东省东营市胜利一中高三最后一卷】定义22⨯矩阵1
2142334a a a a a a a a ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
．若()()()sin 3cos 1x f x x ππ⎛⎫
-=
⎪ ⎪+⎝
⎭
，则()f x 的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ） A ．22sin 3
y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ B ．2sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．2cos y x =
D ．2sin y x =
【答案】D
【考点4】三角函数的单调性 【备考知识梳理】 1.三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，
-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
2.复合函数的单调性
设()y f u =，()[][],,,,u g x x a b u m n =∈∈都是单调函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在[],a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表
()y f u =
()u g x =
()y f g x =⎡⎤⎣⎦
增 增 增 增 减 减 减 增 减 减
减
增
【规律方法技巧】
1. 求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
2. 如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性
对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.
3.求函数sin()y A x ωϕ=+ (或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+)的单调区间的步骤： (1)将ω化为正．
(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 5．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k z ∈”.
【考点针对训练】
1. 【2016年安庆市高三二模】已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,π
2
ϕ<）的部分图象如图所示,则()f x 的递增区间为（ ） A ．π5π2π,2π1212k k ⎛⎫
-
++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ B ．π5ππ,π1212k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ
C ．π5π2π,2π66k k ⎛⎫-
++ ⎪⎝⎭,k ∈Ζ D ．5,66k k ππππ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
,k ∈Ζ
【答案】B
【解析】由图象可知2A =,3
11ππ3π41264T =
-=
,所以πT =,故2ω=.由11(π)212f =-,得π
2π3
k ϕ=-（k ∈Z ）. ∵π2φ=
∴π
3
φ=-,所以π()2sin(2)3f x x =-. 由πππ2(2π2π)322x k k -∈-+，（k ∈Z ）,
得π5π(ππ)1212x k k ∈-
+，（k ∈Z ）.或：311ππ3π41264T =-=,所以πT =,ππππ
646412
T -=-=-, πππ5π646412T +=+=
,所以()f x 的单增区间是π5ππ,π1212k k ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
,k ∈Ζ.故选B. 2. 【2016年河南八市高三联考】已知函数2()cos(4)2cos (2)3
f x x x π
=-
+，将函数()y f x =的图象上所
有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ） A ．[,]36ππ
-
B ．[,]44ππ-
C ．2[,]63ππ
D ．3[,]44
ππ
【答案】B
【考点5】三角函数的奇偶性 【备考知识梳理】
1．函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意x ，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有
()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数
2．奇偶函数的性质：
（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3．()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=．
4．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
5. sin y x =为奇函数，cos y x =为偶函数，tan y x =为奇函数. 【规律方法技巧】
1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
2. 如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2
k k Z π
ϕπ=+
∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；
(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2
k k Z π
ϕπ=+∈；
(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 【考点针对训练】
1. 【2016届湖北省沙市中学高三考前最后一卷】已知函数sin(),0
()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩
是偶函数，则下列结
论可能成立的是（ ） A ．,4
4
a b π
π
=
=-
B ．,36a b ππ=
= C ．2,36a b ππ== D ．52,63
a b ππ
== 【答案】B
2. 【2016年淮南高三二模】已知函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()f x f a ≤对x R ∈恒成立，则函数（ ） A ．()f x a -一定为奇函数 B ．()f x a -一定为偶函数 C ．()f x a + 一定为奇函数 D ．()f x a +一定为偶函数 【答案】D
【解析】由题意得，()sin(2)1f x a ϕ=+=时，则222
a k π
ϕπ+=+
，k ∈Z ，所以
()sin(22)sin(22)cos 22
f x a x a x k x π
ϕπ+=++=++=，此时函数为偶函数，故选D ．
【考点6】三角函数的周期性 【备考知识梳理】 1. 周期函数的定义
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都有()()f x T f x += ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 2.最小正周期
对于一个周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 就叫做()f x 的最小正周期．
2. sin y x =,cos y x =周期为2π,tan y x =周期为π.
【规律方法技巧】 1.求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T)=f (x ).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||
T πω=
，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T π
ω
=
.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；
(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如
x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为
2
π
，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626
y x y x ππ
=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.
2.使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函
数的最小正周期是2T π
ϖ
=
，正切函数的最小正周期公式是T π
ϖ
=
；注意一定要注意加绝对值. 【考点针对训练】
1. 【2016届辽宁大连八中、二十四中高三模拟】函数)6
cos()3sin()(x x x f -+=π
π
的最小正周期是
（ ） A ．π2 B ．π C ．2
π
D ．π4 【答案】B
【解析】2
1cos 2()3()sin()cos()sin()cos ()sin ()3632
332x f x x x x x x π
ππππππ++⎡⎤=+-=+-+=+=⎢⎥⎣⎦
21cos(2)32x π=++，所以最小正周期为22
T π
π==，故选B.
2. 【湖南师范大学附属中学2016届高三月考（三）
】已知函数
2()sin cos )cos f x x x x x ωωωωλ=+--的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且
1,12
ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若存在030,
5x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使0()0f x =，求λ的取值范围．
【考点7】三角函数的最值 【备考知识
sin y x =,cos y x =的值域为[]1,1-,tan y x =的值域为R .
【规律方法技巧】
掌握三种类型，顺利求解三角最值:三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型： （1）可化为sin )y A x B ωϕ=++（型函数值域：
利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到sin )y A x B ωϕ=++（的形式，然后借助题目中给定的x 的范围，确定x ωϕ+的范围，最后利用sin y x =的图象确定函数的值域. 如：
①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角2
2
2
2
(cos a b
a b
ϕϕϕ=
=
++，化为
22)y a b x c ϕ=+++求解方法同类型①；
(2)可化为(sin )y f x =型求函数的值域：
首先借助三角公式，把函数化成(sin )y f x =型，然后采用换元法，即令sin [1,1]t x =∈-，构造关于t 的
函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：2
sin sin y a x b x c =++,化为二次函数
2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+,设sin cos t x x =±化为
二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；x
a
x y sin sin +=，tan cot y a x b x =+可转化为对号函数求值域.
(3)利用数性结合思想求函数的值域：
此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，
直接观察确定函数的值域.如tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at b
y t
+=用∆法求值；当0ab >时，
还可用平均值定理求最值；sin sin a x b
y c x d
+=
+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法
或“数形结合”，转化为直线的斜率的几何含义求解.
[易错提示] (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解．(2)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把
ω的符号化为正值后求解．
【考点针对训练】
1. 【2016届浙江省杭州市高三第二次质检】函数2()3sin cos 4cos 222
x x x
f x =+（x R ∈）的最大值等于（ ）
A ．5
B ．92
C ．5
2
D ．2 【答案】B
【解析】2()3sin
cos 4cos 222x x x f x =+31cos 3
sin 4sin 2cos 2222
x x x x +=+⨯=++ ()5sin 22x φ=++，R x ∈ ，()2
9
225max =+=∴x f .故选B.
2. 【河北省衡水中学2016届高三七调】已知函数()()2
sin sin 02f x x x x πωωωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，则()f x 在区间20,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域为（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ． 13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．31,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【考点8】求函数sin )y A x B ωϕ=++（的对称性（对称轴和对称中心） 【备考知识梳理】 1.对称轴与对称中心：
sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；
cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+k Z ∈；
tan y x =对称中心为,02k π⎛⎫
⎪⎝⎭
k Z ∈. 2.对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，
可由方程()2
x k k Z π
ωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对
称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕ
ω
-=
∈，即其对称中心
为(),0k k Z πϕω-⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
．
3.相邻两对称轴间的距离为T
2，相邻两对称中心间的距离也为T
2,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低
点．
【规律方法技巧】
先化成sin
)y A x ωϕ=+（的形式再求解．其图象的对称轴是直线)(2
Z k k x ∈+=+π
πϕω，凡是该图象
与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【考点针对训练】
1. 【湖北省八校2016高三第二次联考】若()()()2cos 2+0f x x ϕϕ=>的图像关于直线3
x π
=
对称，且当ϕ
取最小值时，00,2x π⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（ ）
A. (]1,2-
B. [)2,1--
C. ()1,1-
D. [)2,1- 【答案】D
2. 【2016年江西高三三校联考】函数2
sin y x =的图像的一个对称中心为（ ） A. (0,0) B. (,0)4π
C. 1(,)42π
D. (,1)2
π
【答案】C
【解析】
21cos 2sin 2x y x -==
，令2,,242k x k k Z x k Z πππ
π=+∈∴=+∈，所以函数2sin y x =的图像的一个对称中心为1
(,)42
π,选C.
【应试技巧点拨】
1．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性
根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下： (1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2
k k Z π
ϕπ=+
∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；
(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2
k k Z π
ϕπ=+∈；
(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.
2.如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性
对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内. 3.求三角函数的周期的方法
（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T)=f (x ).利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；
（2）公式法：()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||
T πω=
，()tan()f x A x ωϕ=+的周期为T π
ω
=
.要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；
(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如
x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为
2
π
，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626
y x y x ππ
=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.
4.掌握三种类型，顺利求解三角最值
三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型：
（1）可化为sin )y A x B ωϕ=++（型函数值域：
利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到sin )y A x B ωϕ=++（的形式，然后借助题目中给定的x 的范围，确定x ωϕ+的范围，最后利用sin y x =的图象确定函数的值域. 如：sin y a x b =+、
sin cos y a x b x c =++
22sin sin cos cos y a x b x x c x =++等.
(2)可化为(sin )y f x =型求函数的值域：
首先借助三角公式，把函数化成(sin )y f x =型，然后采用换元法，即令sin [1,1]t x =∈-，构造关于t 的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如：2
sin sin y a x b x c =++、
sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+可转化为二次函数求值域；x
a
x y sin sin +
=，tan cot y a x b x =+可转化为对号函数求值域.。