四川省资阳市乐至县19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)

四川省资阳市乐至县19-20学年九年级(上)期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.若二次根式√4−2a有意义，则()
A. a>2
B. a≥2
C. a<2
D. a≤2
2.下列二次根式中的最简的二次根式是()
A. √35
B. √18
C. √8
D. √1
3
3.已知1是关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是()
A. 1
B. −1
C. 0
D. 无法确定
4.下列说法正确的是()
A. 哥哥的身高比弟弟高是必然事件
B. 今年中秋节有雨是不确定事件
C. 随机抛一枚均匀的硬币两次，都是正面朝上是不可能事件
D. “彩票中奖的概率为1
”表示买5张彩票肯定会中奖
5
5.一元二次方程x2−3x=0的解为()
A. x=0
B. x=3
C. x1=x2=−3
D. x1=0，x2=3．
6.如图，已知直线a//b//c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，
AE=10，BD=3，则DF的值是()
A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 5.5
7.一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为()
A. 1:√3
B. √3:1
C. √3:2
D. 1︰2
8.某市2017年国内生产总值(GDP)比2016年增长了12%，预计2018年比2017年增长7%，若这
两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是()
A. 12%+7%=x%
B. (1+12%)(1+7%)=2(1+x%)
C. 12%+7%=2x%
D. (1+12%)(1+7%)=(1+x%)2
9.过△ABC的重心G作GE//BC交AC于点E，线段BC=12，线段GE长为()
A. 4
B. 4.5
C. 6
D. 8
10.将正方形ABCD与等腰直角三角形EFG如图摆放，若点M、N刚
好是AD的三等分点，下列结论正确的是()
①△AMH≌△NME；②AM
BF =1
2
；③GH⊥EF；④S△EMN：S△EFG=1：
16．
A. ①②③④
B. ①②③
C. ①③④
D. ①②④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.已知|a+2|+√3−b=0，则(a+b)2014=______ ．
12.方程(m+2)x|m|+mx−8=0是关于x的一元二次方程，则m=．
13.已知2a=3b，则a
b
=______．
14.如图，正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组
成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概
率为______．
15.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=3
4
，点D是AC边上的动点(不与点C重合)，过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是
BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之
间的函数关系式为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，
按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1
为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形
AB n C n C n−1的面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分）
)−1
17.计算：(√2)0+√18−|√2−3|−(
√2
18.用适当的方法解下列方程：
(1)x2−3x−2=0
(2)x2−2√2x+2=0
(3)3x(x−2)=5(2−x)
(4)x2−(2m+1)x+m2+m=0
19.如图，在直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别是O(0,0)，A(3,0)，B(2,3)．
(1)在网格中以原点O为位似中心画△EFO，使它与△ABO位似，且相似比为2．
)是△ABO上的一点，直接写出它在△EFO上的对应点的坐标是______ ．
(2)点(1,3
2
20.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为
了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
(1)降价前商场每月销售该商品的总利润是多少元？
(2)要使商场每月销售这种商品的总利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降
价多少元？
21.为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白
塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB.(参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数)
22.小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透
明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
23.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的两个实数根分别为x1，x2．
(1)求m的取值范围；
(x1+x2)+x1x2=0，求m的值．
(2)若1
2
24.(1)【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为______．
(2)【拓展探究】
在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，请判断线段BE与AF的数量关系，并就图2的情形说明理由．
(3)【问题解决】
当AB=AC=2，且第(2)中的正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请直接写出线段AF 的长．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得4−2a≥0，再解不等式即可．
解：由题意，二次根式√4−2a有意义，
则4−2a≥0，
解得：a≤2，
故选：D．
2.答案：A
解析：解：A、√35是最简二次根式，正确；
B、√18=3√2不是最简二次根式，错误；
C、√8=2√2不是最简二次根式，错误；
D、√1
3=√3
3
不是最简二次根式，错误；
故选A．
根据最简二次根式的概念进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3.答案：B
解析：解：根据题意得：(m−1)+1+1=0，
解得：m=−1．
故选：B．
把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
4.答案：B
解析：解：A、哥哥的身高比弟弟高是随机事件，故A错误；
B、今年中秋节有雨是不确定事件，故B正确；
C、随机抛一枚均匀的硬币两次，都是正面朝上是随机事件，故C错误；
D、“彩票中奖的概率为1
”表示买5张彩票可能中奖，可能不中奖，故D错误；
5
故选：B．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.答案：D
解析：[分析]
利用因式分解法解方程即可．
[详解]
解：原式=x(x−3)=0,
x=0或x−3=0
所以x1=0,x2=3.
故选D．
[点睛]
本题考查了解一元二次方程−因式分解法．
6.答案：B
解析：
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出BF，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．解：∵a//b//c，
∴AC
AE =BD
BF
，即4
10
=3
BF
，
解得，BF=15
2
，
则DF=BF−BD=4.5，
故选：B．
7.答案：A
解析：
本题主要考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键明确坡度是指斜坡的铅直高度与水平距离的比值，也就是知道tan30°的值，就可以得出答案．
解：因为tan30°=√3
3
，
即坡度为1：√3．
故选A．
8.答案：D
解析：解：设这两年的年平均增长率为x，
由题意得，(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2．
故选：D．
设这两年的年平均增长率为x，根据题意可得：2016年的GDP×(1+平均增长率)2=2018年GDP，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9.答案：A
解析：解：如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的中线，AG
AD =2
3
，
∴CD=1
2
BC=6，∵GE//BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴GE
CD =AG
AD
=2
3
，即GE
6
=2
3
，
解得，GE=4，故选：A．
根据三角形的重心的性质得到AD是△ABC的中线，AG
AD =2
3
，根据相似三角形的性质列出比例式，计
算即可．
本题考查的是三角形的重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
10.答案：A
解析：
设AM=x，由三等分点知AM=MN=ND=x、AD=AB=BC=3x，根据△EFG是等腰直角三角形知△BHF、△AHM、△EMN均为等腰直角三角形，再根据矩形和正方形、等腰直角三角形的性质逐一判断可得．
本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质、矩形和全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质．
解：设AM=x，
∵点M、N刚好是AD的三等分点，
∴AM=MN=ND=x，则AD=AB=BC=3x，
∵△EFG是等腰直角三角形，
∴∠E=∠F=45°，∠EGF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BGN=∠ABF=90°，
∴四边形ABGN是矩形，
∴∠AHM=∠BHF=∠AMH=∠NME=45°，∴△AMH≌△NMH(ASA)，故①正确；
∵∠AHM=∠AMH=45°，
∴AH=AM=x，则BH=AB−AH=2x，又Rt△BHF中∠F=45°，∴BF=BH=2x，
则AM
BF =1
2
，故②正确；
∵四边形ABGN是矩形，
∴BG=AN=AM+MN=2x，
∴BH=BG=2x，
∵AB⊥FG，∴△HBG是等腰直角三角形，又△FBH是等腰直角三角形，
∴∠FHB=∠GHB=45°，
∴∠FHG=90°，即GH⊥EF，故③正确；∵∠EGF=90°、∠F=45°，
∴EG=FG=BF+BG=4x，
则S△EFG=1
2⋅EG⋅FG=1
2
⋅4x⋅4x=8x2，
又S△EMN=1
2⋅EN⋅MN=1
2
⋅x⋅x=1
2
x2，
∴S△EMN：S△EFG=1：16，故④正确．综上，①②③④均正确，
故选：A．
11.答案：1
解析：解：∵|a+2|+√3−b=0，∴a+2=0，3−b=0，
∴a=−2，b=3，
∴(a+b)2014=(−2+3)2014=1．
故答案为：1．
根据绝对值得性质以及算术平方根的性质得出a+2=0，3−b=0，进而求出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了绝对值得性质以及算术平方根的性质，得出a，b的值是解题关键．
12.答案：2
解析：
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义求解，可得答案．
解：由一元二次方程的定义可得|m|=2且m+2≠0，
解得m=2．
13.答案：3
2
解析：解：∵2a=3b，∴a
b =3
2
．
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．可直接得到a
b
的结果．根据比例的基本性质能够熟练进行比例式和等积式的相互转换．
14.答案：1
3
解析：解：∵S正方形=1
2
(3+3)2=18，
S
阴影=4×1
2
×3×1=6，
∴这个点取在阴影部分的概率为：6
18=1
3
，
故答案为：1
3
．
先求出正方形的面积，阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．
本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
15.答案：S=−3
25x2+3
2
x
解析：
本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
解：(1)在Rt△CDE中，tanC=3
4
，CD=x，
∴DE=3
5x，CE=4
5
x，∴BE=10−4
5
x，
∴S△BED=1
2×(10−4
5
x)⋅3
5
x=−6
25
x2+3x．
∵DF=BF，
∴S=1
2S△BED=−3
25
x2+3
2
x，
故答案为S=−3
25x2+3
2
x．
16.答案：5n
22n−1
解析：解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC=√AD2+CD2=√22+12=√5，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为√5：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵矩形ABCD的面积=2×1=2，
∴矩形AB1C1C的面积=5
2
，
依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4
∴矩形AB2C2C1的面积=52
23
∴矩形AB3C3C2的面积=53
25
，
按此规律第n 个矩形的面积为：5n
22n−1
故答案为：
5n
22n−1
．
根据已知和矩形的性质可分别求得AC ，AC 1，AC 2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n 个矩形的面积．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
17.答案：解：原式=1+3√2−(3−√2)−√2
=1+3√2−3+√2−√2
=3√2−2．
解析：直接利用二次根式的性质以及负指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
18.答案：解：(1)∵x 2−3x −2=0，
∴x 2−3x =2， ∴x 2−3x +9
4=2+9
4， ∴(x −3
2)2=
174，
∴x =
3±√17
2
； (2)∵x 2−2√2x +2=0， ∴(x −√2)2=0， ∴x 1=x 2=√2；
(3)∵3x(x −2)=5(2−x)， ∴3x(x −2)−5(2−x)=0， ∴(x −2)(3x +5)=0， ∴x =2或x =−5
3；
(4)x 2−(2m +1)x +m 2+m =0， ∴(x −m)(x −m −1)=0， ∴x =m 或x =m +1；
解析：(1)根据配方法即可求出答案；
(2)根据配方法即可求出答案；
(3)根据因式分解法即可求出答案；
(4)根据因式分解法即可求出答案；
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．19.答案：解：(1)如图所示：△EOF和△E′OF′即为所求；
(2)(2,3)或(−2,−3)
解析：解析：
此题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用位似图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用位似图形的性质得出对应点的坐标．
解析：
解：(1)见答案；
)是△ABO上的一点，
(2)∵点(1,3
2
∴它在△EFO上的对应点的坐标是：(2,3)或(−2,−3)．
故答案为：(2,3)或(−2,−3)．
20.答案：解：(1)由题意，得60×(360−280)=4800(元)．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，
由题意，得(360−x−280)(5x+60)=7200，
解得：x1=8，x2=60，
∵需有利于减少库存，
∴x=60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
解析：本题考查了销售问题的数量关系利润=售价−进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
(1)先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
21.答案：
解：设AE=x，
=1.1x，
在Rt△ACE中，CE=AE
tan42∘
=0.55x，
在Rt△AFE中，FE=AE
tan61∘
由题意得，CF=CE−FE=1.1x−0.55x=12，
解得：x=240
11
，
故AB=AE+BE=240
11
+1.5≈23米．
答：这个电视塔的高度AB为23米．
解析：设AE=x，在Rt△ACE中表示出CE，在Rt△AFE中表示出FE，再由DH=CF=12米，可得出关于x的方程，解出即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．
22.答案：解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有(1,1)，(2,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(3,4)，(4,4)共10种，
故小明获胜的概率为：10
16=5
8
，则小刚获胜的概率为：6
16
=3
8
，
∵5
8≠3
8
，
∴这个游戏对两人不公平．
解析：列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23.答案：解：(1)根据题意得△=(−2)2−4m≥0，解得m≤1．
故m的取值范围为m≤1；
(2)根据题意得x1+x2=2，x1⋅x2=m，
∵1
2
(x1+x2)+x1x2=0，
∴1
2
×2+m=0，解得m=−1．
解析：(1)根据一元二次方程的根的判别式的意义得到△=(−2)2−4m≥0，然后解不等式即可得到m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1⋅x2=m，代入1
2
(x1+x2)+x1x2=0，可求m的值．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+
x2=−b
a ，x1⋅x2=c
a
.也考查了一元二次方程的根的判别式．
24.答案：(1)BE=√2AF；
(2)BE=√2AF，理由如下：在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=CA
CB =√2
2
．
在正方形CDEF中，∠FEC=1
2
∠FED=45°，∠EFC=90°，
∴sin∠FEC=CF
CE =√2
2
，
∴CA
CB =CF
CE
．
又∵∠FEC=∠ACB=45°，
∴∠FEC−∠ACE=∠ACB−∠ACE．即∠FCA=∠ECB．
∴△ACF∽△BCE，
∴BE
AF =BC
AC
=√2，
∴BE=√2AF；
(3当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为√3−1或√3+1．
解析：解：(1)BE=√2AF.理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠BAD=45°．
∵点D为BC的中点，
∴△ABD为等腰直角三角形．
由勾股定理得：AB=√2AD．在正方形CDEF中，DE=EF．∵点E恰好与点A重合，
即AD=AF，BE=AB．
∴BE=√2AF；
(2)BE=√2AF，理由如下：
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=CA
CB =√2
2
．
在正方形CDEF中，∠FEC=1
2
∠FED=45°，∠EFC=90°，
∴sin∠FEC=CF
CE =√2
2
，
∴CA
CB =CF
CE
．
又∵∠FEC=∠ACB=45°，
∴∠FEC−∠ACE=∠ACB−∠ACE．即∠FCA=∠ECB．
∴△ACF∽△BCE，
∴BE
AF =BC
AC
=√2，
∴BE=√2AF；
(3)(3)当点E在线段AF上时，如图2，由(1)知，CF=EF=CD=√2，
在Rt△BCF中，CF=√2，BC=2√2，根据勾股定理得，BF=√6，
∴BE=BF−EF=√6−√2，
由(2)知，BE=√2AF，
∴AF=√3−1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=CA
CB =√2
2
，
在正方形CDEF中，∠FEC=1
2
∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=CF
CE =√2
2
，
∴CF
CE =CA
CB
，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴BE
AF =CB
CA
=√2，
∴BE=√2AF，
由(1)知，CF=EF=CD=√2，
在Rt△BCF中，CF=√2，BC=2√2，
根据勾股定理得，BF=√6，
∴BE=BF+EF=√6+√2，
由(2)知，BE=√2AF，
∴AF=√3+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为√3−1或√3+1．(1)先利用等腰直角三角形的性质得出AD=√2，再得出BE=AB=2，即可得出结论；
(2)先利用三角函数得出CA
CB =√2
2
，同理得出CF
CE
=√2
2
，夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结
论；
(3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=√2，BF=√6，即可得出BE=√6−√2，借助(2)得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解(2)(3)的关键是判断出△ACF∽△BCE.第三问要分情况讨论．。