改善二阶系统动态性能的方法举例
优化-二阶系统的MATLAB仿真设计
优化-二阶系统的MATLAB仿真设计随着科技的发展和应用的需求，优化控制在控制系统设计中扮演着越来越重要的角色。
在现代控制理论中，二阶系统是常见的一种模型。
本文将介绍如何利用MATLAB进行二阶系统的仿真设计，并优化其性能。
1. 二阶系统的基本原理二阶系统是指由二阶微分方程描述的动态系统。
它通常包含一个二阶传递函数，形式为：G(s) = K / (s^2 + 2ζωn s + ωn^2)其中，K是增益，ζ是阻尼比，ωn是自然频率。
2. MATLAB仿真设计MATLAB是一种功能强大的工具，可用于系统仿真与优化。
以下是使用MATLAB进行二阶系统仿真设计的基本步骤：2.1. 创建模型首先，我们需要在MATLAB中创建二阶系统的模型。
可以使用`tf`函数或`zpk`函数来定义系统的传递函数。
s = tf('s');G = K / (s^2 + 2*zeta*wn*s + wn^2);2.2. 仿真分析通过对系统进行仿真分析，可以获得系统的时域响应和频域特性。
可以使用`step`函数进行阶跃响应分析，使用`bode`函数进行频率响应分析。
step(G);bode(G);2.3. 控制器设计根据系统的性能要求，设计合适的控制器来优化系统的性能。
可以使用PID控制器等不同类型的控制器来调节系统。
2.4. 优化系统利用MATLAB提供的优化工具，对系统进行参数调节和优化。
可以使用`fmincon`函数等进行系统优化。
2.5. 仿真验证通过对优化后的系统进行仿真验证，评估其性能是否达到预期。
可以再次使用`step`函数或`bode`函数来分析系统。
3. 总结通过MATLAB进行二阶系统的仿真设计，可以帮助工程师优化系统的性能。
本文介绍了MATLAB仿真设计的基本步骤，包括模型创建、仿真分析、控制器设计、系统优化和仿真验证。
希望本文能对相关研究和工作提供一些参考和帮助。
二阶系统的时间响应及动态性能
ξ = 1 + (T1 T2 ) = 1.25 > 1 2 T1 T2
查图 3-7 可得 ts T1 = 3.3 ，计算得 ts = 3.3T1 = 3.3 × 0.5 = 1.65s 。图 3-8 给出了系统单
位阶跃响应曲线。
当阻尼比 ξ = 1时，系统处于临界阻尼状态，此时闭环极点是一对相等的实根，即
（3-9）
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为
C(s)
= Φ (s)R(s)
=
s2
+
ω
2 n
2ξωn s
+
ω
2 n
1 s
=
1 s
−
(s
s+ + ξω n )2
2ξω n + (1 − ξ
2
)ω
2 n
= 1−
s + ξωn
−ξ
1−ξ 2ωn
s (s + ξωn )2 + (1− ξ 2 )ωn2
s2 + 1 s + K = (s + 1 )2 = s2 + 2 s + 1 = 0
TT
T1
T1
T12
比较系数得
⎩⎨⎧KT1
= =
2T = T T12
2 × 0.1 = 0.2 = 0.1 0.22 =
2.5
查图 3-7，可得系统调节时间 ts = 4.75T1 = 0.95 s，满足系统要求。
3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
性。
66
例 3-3 某系统闭环传递函数 Φ(s) =
16
，计算系统的动态性能指标。
二阶系统性能改善及稳定性资料
例1 系统结构图如图所示。
求开环增益K分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。
计算过程及结果列表调整参数可以在一定程度上改善系统性能，但改善程度有限§3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施（1） 测速反馈 —— 增加阻尼 （2） 比例+微分 —— 提前控制例 2 在如图所示系统中分别采用测速反馈和比例+微分控制，其中10K =，216.0=t K 。
分别写出各系统的开环传递函数、闭环传递函数，计算动态性能指标（σ％，s t ）并进行对比分析。
原系统、测速反馈和比例+分控制方式下系统性能的计算及比较零点极点法（ P75 表3-7）9.074.273.014.3=-=-=Dtpθπ1 1.580.900004.121.44.63ptEe eFσσ--⨯===258.163.41.474.216.3ln3ln31=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=σFEDAts●改善系统性能的机理：测速反馈——增加阻尼比例+微分——提前控制[仿真计算]●附加开环零点对系统性能的影响●附加闭环零/极点对系统性能的影响§3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能§3.4.1 高阶系统单位阶跃响应mn s z s K a s a s a s a b s b s b s b s D s M s nj jm i i n n n n m m m m ≥--=++++++++==Φ∏∏==----1101110111)()()()()(λ∏∏==--=⋅Φ=n j j mi i s s z s K ss s C 11)()(1)()(λ∑==-'+⋅=n j js s s D s s M s D M j11)()(1)0()0(λλ∑==⋅'+=n j t s k je s D s s M D M t c 1)()()0()0()(λλ()∑∑±-=--=-=++⋅'+=dii i i i i ij i di t i t s t e A e s D s s M D M ωσλσαλααϕωsin )()()0()0(§3.4.2 闭环主导极点主导极点：距离虚轴最近而且附近又没有闭环零点的闭环极点§3.4.3 估算高阶系统动态性能指标的零点极点法（1） ⇒Φ)(s 闭环零极点图；（2） 略去非主导零极点和不非常靠近虚轴的“偶极子”，保留主导极点； （3） 按P75表3-7相应公式估算系统动态性能。
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
实验二 典型系统动态性能和稳定性分析
实验二典型系统动态性能和稳定性分析一．实验目的1．学习和掌握动态性能指标的测试方法。
2．研究典型系统参数对系统动态性能和稳定性的影响。
二．实验内容1．观测二阶系统的阶跃响应，测出其超调量和调节时间，并研究其参数变化对动态性能和稳定性的影响。
2．观测三阶系统的阶跃响应，测出其超调量和调节时间，并研究其参数变化对动态性能和稳定性的影响。
三．实验步骤1．熟悉实验装置，利用实验装置上的模拟电路单元，参考本实验附录中的图2.1.1和图2.1.2，设计并连接由一个积分环节和一个惯性环节组成的二阶闭环系统的模拟电路（如用U9、U15、U11和U8连成）。
注意实验接线前必须对运放仔细调零（出厂已调好，无需调节）。
信号输出采用U3单元的O1、信号检测采用U3单元的I1、运放的锁零接U3单元的G1。
2．利用实验设备观测该二阶系统模拟电路的阶跃特性，并测出其超调量和调节时间。
3．改变该二阶系统模拟电路的参数，观测参数对系统动态性能的影响。
4．利用实验装置上的模拟电路单元，参考本实验附录中的图2.2.1和图2.2.2，设计并连接由一个积分环节和两个惯性环节组成的三阶闭环系统的模拟电路（如用U9、U15、U11、U10和U8连成）。
5．利用实验设备观测该三阶系统模拟电路的阶跃特性，并测出其超调量和调节时间。
6．改变该三阶系统模拟电路的参数，观测参数对系统稳定性与动态指标的影响。
7．分析实验结果，完成实验报告。
软件界面上的操作步骤如下：①按通道接线情况:通过上位机界面中“通道选择”选择I1、I2路A/D通道作为被测环节的检测端口,选择D/A通道的O1（“测试信号1”）作为被测对象的信号发生端口.不同的通道,图形显示控件中波形的颜色将不同。
②硬件接线完毕后,检查USB口通讯连线和实验装置电源后，运行上位机软件程序,如果有问题请求指导教师帮助。
③进入实验模式后，先对显示模式进行设置：选择“X-t模式”；选择“T/DIV”为1s/1HZ。
实验四二阶系统动态特性(精)
实验四 二阶系统（振荡环节）的动态性能测试一、实验目的1、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ζ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。
定量分析ς和n ω与最大超调量p σ和调节时间s t 之间的关系；2、进一步学习实验系统的使用方法；3、学会根据系统阶跃响应曲线确定传递函数。
二、实验仪器1、EL-AT-II 型自动控制系统实验箱一台2、计算机一台三、实验原理控制系统模拟实验采用复合网络法来模拟各种典型环节，即利用运算放大器不同的输入网络和反馈网络模拟各种典型环节，然后按照给定系统的结构图将这些模拟环节连接起来，便得到了相应的模拟系统。
再将输入信号加到模拟系统的输入端，并利用计算机等测量仪器，测量系统的输出，便可得到系统的动态响应曲线及性能指标。
若改变系统的参数，还可进一步分析研究参数对系统性能的影响。
时域性能指标的测量方法：超调量p σ%：1、启动计算机，在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。
2、测试计算机与实验箱的通信是否正常,通信正常继续。
如通信不正常查找原因使通信正常后才可以继续进行实验。
3、连接被测量典型环节的模拟电路。
电路的输入U1接A/D 、D/A 卡的DA1输出，电路的输出U2接A/D 、D/A 卡的AD1输入。
检查无误后接通电源。
4、在实验课题下拉菜单中选择实验二[二阶系统阶跃响应] 。
5、鼠标单击实验课题弹出实验课题参数窗口。
在参数设置窗口中设置相应的实验参数后鼠标单击确认等待屏幕的显示区显示实验结果。
6、利用软件上的游标测量响应曲线上的最大值和稳态值，带入下式算出超调量：%100%max ⨯-=∞∞Y Y Y σ p T 与s T ： 利用软件的游标测量水平方向上从零到达最大值与从零到达95%稳态值所需的时间值，便可得到p T 与s T 。
四、实验内容典型二阶系统的闭环传递函数为 2222)(nn ns s s ωςωωϕ++= (1)其中ς和n ω对系统的动态品质有决定的影响。
二阶系统性能的改善课件
针对某智能车辆控制系统，采用深度学习和强化学习算法，学习驾驶行为和环 境感知信息，优化车辆的路径规划和驾驶决策。通过大量模拟和实际道路测试 ，提高车辆的安全性和行驶效率。
05 二阶系统性能改善的未来展望
CHAPTER
新型控制算法的应用
预测控制算法
利用模型预测和滚动优化原理， 实现系统的动态优化控制，提高 系统的响应速度和稳定性。
控制器设计优化
1 2 3
控制器增ห้องสมุดไป่ตู้调整
通过调整控制器的增益参数，优化系统的动态性 能，提高系统的响应速度和稳定性。
控制器结构优化
根据系统的特性和需求，优化控制器的结构，例 如采用串级控制、解耦控制等，提高系统的控制 精度和抗干扰能力。
智能控制算法应用
采用先进的智能控制算法，如模糊控制、神经网 络控制等，对控制器进行优化，实现更加精准和 灵活的控制。
的性能。
引入非线性环节
在系统中引入适当的非线性环 节，如饱和、死区等，以改善 系统的性能。
优化系统结构
通过改变系统的结构，如增加 或减少环节，来改善系统的性 能。
采用先进控制策略
采用现代控制理论中的先进控 制策略，如PID控制、模糊控制
等，以改善系统的性能。
03 二阶系统性能改善方法
CHAPTER
二阶系统性能的改善课件
目录
CONTENTS
• 二阶系统简介 • 二阶系统性能分析 • 二阶系统性能改善方法 • 二阶系统性能改善实例 • 二阶系统性能改善的未来展望
01 二阶系统简介
CHAPTER
二阶系统的定义
定义
二阶系统是具有两个状态变量的动态 系统，通常由一阶系统通过引入一个 积分环节演化而来。
第8讲二阶系统的性能改善
—
K
C(s)
s(Ts 1)
C(s)
K
KT
R(s) TS 2 S K S 2 1 S K T
T
n2
K T
1 T
2 n
T 1
1
1.09
2n 2 0.4 1.14
K Tn 2 1.09 1.142 1.42
例3-3 控制系统如图3-18所示，其中输入 r(t) t ，证明当 K d 时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。
将式（3-47）用部分分式展开，得
C(s) A0 q Aj r Bk (S k nk ) Ck nk 1 k 2
S j1 S Pj k 1
S 2 2 k nk S
(3 48)
q
r
r
C(t) A0
Ajepjt
B eknkt k
3.3.4 二阶系统的动态校正
对于特定的系统，位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
(s)
K
Tm S 2 S K
n
K Tm
tr d
1 1
2 Tm K
n 一定
%
h(t
p
)
h()
100%
e
1 2
100%
h()
tr
超调小，阻尼大
S2
Td n 2
(S
1 Td
)
(2n Tdn 2 )S
n2
Tdn2 2 'n
令z 1 Td
' Tdn
实验一基于MATLAB的二阶系统动态性能分析
实验一基于MATLAB 的二阶系统动态性能分析一、实验目的1、观察学习二阶控制系统的单位阶跃响应、脉冲响应。
2、记录单位阶跃响应曲线、脉冲响应曲线。
3、掌握时间响应分析的一般方法。
4、掌握系统阶跃响应曲线与传递函数参数的对应关系。
二、实验设备PC 机，MATLAB 仿真软件。
三、实验内容1、作以下二阶系统的单位阶跃响应曲线1010)(2++=s s s G 2、分别改变该系统的ζ和n ω，观察阶跃响应曲线的变化。
3、作该系统的脉冲响应曲线。
四、实验步骤1、二阶系统为10)(++=s G （1）键人程序观察并纪录阶跃响应曲线（2）健入damp（den）计算系统的闭环根、阻尼比、无阻尼振荡频率，并作记录。
记录实际测取的峰值大小、C max (t p )、峰值时间t p 、过渡时间t s 并与理论值相比较。
实际值峰值C max (t p )峰值时间t p过渡时间t s%5±%2±2、修改参数,分别实现ζ=1,ζ=2的响应曲线,并作记录。
程序为:n0=10；d0=[1110]；step（n0，d0）%原系统ζ=0．316/2hold on%保持原曲线n1=n0，d1=[16.3210]；step（n1，d1）%ζ=1n2=n0；d2=[112.6410]；step(n2,d2)%ζ=2修改参数,写出程序分别实现1n ω=01n ω和2n ω=20n ω的响应曲线,并作记录。
%100=n ω3、试作以下系统的脉冲响应曲线，分析结果10)(++=s G 102102)(21+++=s s s s G ，有系统零点情况，即s=-5。
五、实验记录1、二阶系统为10)(++=s G （1）键人程序观察并纪录阶跃响应曲线（2）健入damp（den）计算系统的闭环根、阻尼比、无阻尼振荡频率，并作记录。
记录实际测取的峰值大小、C max (t p )、峰值时间t p 、过渡时间t s 并与理论值相比较。
实验二-二阶系统的动态特性与稳定性分析
实验⼆-⼆阶系统的动态特性与稳定性分析实验⼆-⼆阶系统的动态特性与稳定性分析⾃动控制原理实验报告实验名称：⼆阶系统的动态特性与稳定性分析班级：姓名：学号：实验⼆⼆阶系统的动态特性与稳定性分析⼀、实验⽬的1、掌握⼆阶系统的电路模拟⽅法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、⽋阻尼状态）对系统动态2、分析⼆阶系统特征参量（ξω，n性能的影响；3、分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性⾄于其结构和参数有关，与外作⽤⽆关”的性质；4、了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态；5、学习⼆阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink实现⽅法。
⼆、实验内容1、构成各⼆阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。
2、⽤Matlab和simulink仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。
3、搭建典型⼆阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型⼆阶系统动态性能和稳定性的影响； 4、搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定性的影响； 5、将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做⽐较。
三、实验步骤1、⼆阶系统的模拟电路实现原理将⼆阶系统：ωωξω22)(22nn s G s s n++=可分解为⼀个⽐例环节，⼀个惯性环节和⼀个积分环节ωωξω221)()()()(2C C C C s C C 22221542322154215426316320nn s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++=++=++== 2、研究特征参量ξ对⼆阶系统性能的影响将⼆阶系统固有频率5.12n=ω保持不变，测试阻尼系数ξ不同时系统的特性，搭建模拟电路，改变电阻R6可改变ξ的值当R6=50K 时，⼆阶系统阻尼系数ξ=0.8 当R6=100K 时，⼆阶系统阻尼系数ξ=0.4 当R6=200K 时，⼆阶系统阻尼系数ξ=0.2（1）⽤Matlab 软件仿真实现⼆阶系统的阶跃响应，计算超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts 。
《自动控制原理》第三章 3-3 二阶系统性能的改善
10
2. 高阶系统的单位阶跃响应
C (s) ( s) R( s)
q
K ( s zi )
i 1
m
( s s j ) ( s 2 2 k k s k )
2 j 1 k 1 s jt r
k k
q
r
h(t ) A0 A j e t Bk e t cos( k 1 k )t
t ,n 不变， 但 K , ess
动态特性计算：同无零点的二阶系统
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
6
6. 二阶系统性能的改善…
（3）比例微分控制与测速反馈控制的比较
PD 控制 附加阻尼来源 使用环境 输入端误差速度 测速反馈控制
ess 输出端响应速度，
放大噪声，能量水 对噪声有滤波作用， 平低 能量水平高 无影响
[t 2 , t 4 ) : 修正力矩增大，制动力矩减小。
PD控制： M e(t ) Td e(t )
[0, t1 ) M , [t1 , t2 ) M , [t2 , t3 ) M
结论：常值稳态误差不变 增大阻尼
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
2
6. 二阶系统性能的改善…
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
15
4. 高阶系统的动态性能估算…
调节时间为： 2 ts ln FQ n 1 F
si
i 2
n
s1 si
i 2
n
闭环零、极点对调节时间的影响： （1）闭环零点：调节时间增大； （2）闭环非主导极点：调节时间减小。
3.3.6 二阶系统性能改善 3.4 高阶分析 (1)
U(s)
ωn2
C(s)
s(s 2ωn )
Go(s)
e(t) 0 t1
0
Td e(t)
0 u(t)
t
未超前校正
t
超前校正
t
抑制振荡， 使超调减弱， 改善系统平稳性, 调节时间减小。
0 t1'
t
(2) 性能分析
R(s) (-) Tds+1
ωn2
C(s)
s(s 2ωn)
Go(s)
开环传递函数： G(s) C(s) n2(Td s 1) K(Td s 1)
s(s
n2 2n
k t n2
)
2
n ktn
s
s/
2n
1
k t n2
1
闭环传递函数：
C(s)
n2
n2
R(s) s2 (2n k tn2 )s n2 s2 2tns n2
由上可知：
t
1 2
kt
n
1) 速度反馈使增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性； 2) 速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例—微分控制； 3) 系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统的开环增益.
MATLAB验证：一个具有实零点的2个极点的系统
(s)
(n2 / a)(s a) s2 2n s n2
,
.......z a,.... 1
a=1, 2
s1,2 0.45 j0.89
a
结论：
零点的微分作用说明如下：
(1) 引入微分，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡， 使超调减弱，改善系统平稳性；
第六次课 二阶系统性能改善及稳定性分析
2ζ
ωn
结论：二阶系统跟踪单位速度响应， 结论：二阶系统跟踪单位速度响应，其稳 2ζ 态误差为
ess =
ωn
单位速度响应
（1）无阻尼单位速度响应
c (t) = 1 −
ω
ω
1
n
sin
ω
n
t
（2）欠阻尼单位速度响应
c (t) = t − 2ζ
ω
+
1
n
n
1 − ζ
2
e
n
− ζω
n
t
sin(
ω
d
t + 2 β )
3-6 线性系统的稳态误差计算
误差与稳态误差： 误差与稳态误差： 输入端定义： 输入端定义：
E( s) = R( s) − C( s) ⋅ H ( s)
R(s )
E (s )
G (s )
C (s )
H (s )
输出端定义： 输出端定义：
E ( s ) = R′( s ) − C ( s ) = E ( s ) H ( s )
ess = lim[r (t ) − c(t )] =
t →∞
2ζ
ωn
2、临界阻尼情况（ζ =1）： 、临界阻尼情况（ ）：
1 c(t ) = t − + (1 + ωn t ) ωn ωn 2 2ζ ess = lim[r(t ) − c(t )] = t →∞ ωn 2 2e
− ωn t
3、过阻尼情况（ ζ >1）： 、过阻尼情况（ ）：
例： s + s + 3s + 3s + 2 = 0 4 1 3 2 s 3 s 1 3 2 s 0ε 2
02-课件-305 二阶系统性能的改善
比例微分 (c)
10(1 + 0.216s) s2 + 3.16s + 10
0.5 3.16 23%
1.05 2.1 －4.63
− 1.58 ± j2.74
14
◆结论：
速度反馈通过改变系统闭环极点达到改善系统的目的，增大阻尼比从而减小超 调量；自然振荡频率不变从而减小调节时间。 典型二阶和比例微分不能直接进行比较，因为不仅闭环传递函数发生变化，而 且闭环零点也不同。可以将比例微分和速度反馈进行比较，区别是比例微分带有 一个闭环零点， 闭环零点会使得系统的超调量增加，峰值时间减小，调节时间基本不变。
=
2(s + 1) s2 + 2s + 2
◆结论： 若闭环零点比共轭复数极点的实部更靠近虚 轴，则其对输出响应产生的影响就更大。
10
带闭环零点的动态性能指标
对带闭环零点的二阶系统， 其动态性能指标公式如下：
GB
= ωn2 z
⋅
(s + z )
s 2 + 2ζωns + ωn2
tr
=
π
−ϕ −θ ωd
求解系统的单位阶跃响应：
(0.4s + 1) 1
C(s)
=
GB R(s)
=
s2
+
⋅ 0.9s + 1
s
1
s + 0.45
0.05
= s − (s + 0.45)2 + 0.8932 − (s + 0.45)2 + 0.8932
c(t ) = 1 − e−0.45t [cos 0.893t + 0.056sin 0.893t]
自动控制原理二阶系统的动态性能
[例3-6]：如图所示系统， 16s 1 , T 0.25s K
试求：① 和 n ; ② d %和 t s ③若要求 d % 16%时，当T不变时K=? [解]：① n ②
R(s)
K s (Ts 1)
Y ( s)
K T
16 1 1 8s 1 , 0.25 0.25 2 KT 2 16 0.25
+ +
kd s
n 2 s ( s 2 n )
Y s
此时具有比例微分校正的二阶系统的闭环传递函数为:
n 2 (k p kd s) Y ( s) ( s ) 2 R( s) s (2n n 2 kd ) s n 2 k p
改写为:
kd 2 ( s z ) 1 ( s ) 2 z s 2 kd kd s kd 2
84.26° 78.46° 72.54° 66.42°
d% 72.9 52.7 37.23 25.38
=cos-1
46.37° 45.57° 45° 38.74°
d% 5 4.6 4.3 2
0.69 0.7 0.707 0.78
0.5
0.6
60°
53.13°
16.3
9.84
0.8
0.9
36.87°
1.6
例：未校正闭环传函
1.4 1.2 1
2
1
4 ( s) 2 s 0.8s 4
比例+微分校正后闭环 传函
y(t)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 t
0.2，n 2
k p 2，k d 0.5
5
6
二阶系统性能改善及稳定性
例1 系统结构图如图所示。
求开环增益K分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。
计算过程及结果列表K计算10 0.5 0.09开环传递函数)1(10)(1+=sssG)1(5.0)(2+=sssG)1(09.0)(3+=sssG闭环传递函数1010)(21++=Φsss5.05.0)(22++=Φsss09.009.0)(23++=Φsss特征参数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒===⨯===81arccos158.016.32116.310ξβξωn⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒===⨯===45arccos707.0707.021707.05.0ξβξωn⎪⎩⎪⎨⎧=⨯===67.13.0213.009.0ξωn特征根12.35.02,1j±-=λ5.05.02,1j±-=λ⎩⎨⎧-=-=9.01.021λλ⎩⎨⎧==11.11021TT动态性能指标22100001.01160.43.5 3.570.5pnsntetξπξπξωσξω--⎧==⎪-⎪⎪==⎨⎪⎪===⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====-=--75.35238.61122nsnptetξωσωξπξξπ()122111931,0s spT Tt t T Ttλλσ⎧==⎪=⋅=⎨⎪=∞=⎩调整参数可以在一定程度上改善系统性能，但改善程度有限§3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施（1）测速反馈——增加阻尼（2）比例+微分——提前控制例2 在如图所示系统中分别采用测速反馈和比例+微分控制，其中10K=，216.0=tK。
分别写出各系统的开环传递函数、闭环传递函数，计算动态性能指标（σ％，s t）并进行对比分析。
原系统、测速反馈和比例+分控制方式下系统性能的计算及比较原系统测速反馈比例+ 微分系统结构图开环传递函数)1(10)(+=sssGa)1()1(10)(++=sssKsG tb)1()1(10)(++=sssKsG tc闭环传递函数210()10ass sΦ=++10)101(10)(2+++=ΦsKsstb10)101()1(10)(2++++=ΦsKssKsttcξ0.158 1100.216210+⨯=0.5 1100.216210+⨯=0.5系统参数nω10 3.16=10 3.16=10 3.16=开环零点—-4.63 -4.63 极点0，-１0，-１0，-１闭环零点——110.216tzK--===-4.63 极点-0.5±j3.12 -1.58±j2.74 -1.58±j2.74动态性能pt 1.01 1.15 0.9 0σ60.4％16.3％21.4％st7 2.2 2.1零点极点法（P75 表3-7）ptDπ-θ=，%100%1p teFEσσ-=13lnsA ED Ft⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=σ9.074.273.014.3=-=-=D t p θπ1 1.580.90004.121.44.63p t E e e F σσ--⨯===258.163.41.474.216.3ln 3ln 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=σF E D A t s●改善系统性能的机理：测速反馈——增加阻尼比例+微分——提前控制[仿真计算]●附加开环零点对系统性能的影响●附加闭环零/极点对系统性能的影响§3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能§3.4.1 高阶系统单位阶跃响应mn s z s K a s a s a s a b s b s b s b s D s M s nj jm i i n n n n m m m m ≥--=++++++++==Φ∏∏==----1101110111)()()()()(λΛΛ∏∏==--=⋅Φ=n j j mi i s s z s K ss s C 11)()(1)()(λ∑==-'+⋅=n j js s s D s s M s D M j11)()(1)0()0(λλ∑==⋅'+=n j ts k je s D s s M D M t c 1)()()0()0()(λλ()∑∑±-=--=-=++⋅'+=dii i i i i ij i di t i t s t e A e s D s s M D M ωσλσαλααϕωsin )()()0()0(§3.4.2 闭环主导极点主导极点：距离虚轴最近而且附近又没有闭环零点的闭环极点§3.4.3 估算高阶系统动态性能指标的零点极点法（1） ⇒Φ)(s 闭环零极点图；（2） 略去非主导零极点和不非常靠近虚轴的“偶极子”，保留主导极点； （3） 按P75表3-7相应公式估算系统动态性能。
二阶系统瞬态性能的改善
二阶系统瞬态性能的改善在二阶系统中加入适当的附加装置，通过调整附加装置的参数，来改善系统的瞬态性能指标，这个过程称为系统校正。
下面就两种实用的校正方法进行讨论。
1.比例微分校正 具有比例微分校正的二阶系统的闭环传递函数为2222()()(2)n p d n n d n pk k s s s k s k ωςωωω+Φ=+++ （1） 式中，p k 和d k 分别称为比例系数和微分系数。
式（1）可改写为具有附加零点的形式：222()1()2kd kd kd kds z s z s s ωςωω+Φ=⋅++ （2） 式中p dk z k =，kd n ω=，()/2n dkd k ωςς=+通过推算可以得出具有附加零点的二阶系统主要性能指标如下：（1） 上升时间r tr t =（2） 超调量%δ%100%δ=⨯（3） 调整时间s t1(4ln )s n l t z ςω=+⋅， （2∆=） 1(3ln )s nl t z ςω=+⋅， （5∆=）其中，θ=arctan nβ=，l =通过分析可知，典型二阶系统引入比例微分校正后，系统的无阻尼振荡频率n ω和阻尼系数ξ都可以增加，从这个角度说，系统的超调量和调整时间可以减小。
但同时系统的表现形式变为附加了一个零点的二阶系统，附加一个零点的二阶系统相对典型二阶系统来说，当阻尼系数ξ和无阻尼自然振荡频率n ω不变时，超调量增大，响应速度加快。
综合起来，典型二阶系统引入比例微分校正后，只要比例系数p k 和微分系数d k 选择恰当，其瞬态性能指标能得到较好的改善。
基于上述分析，通过matlab 编程实现如下：将阻尼系数ξ和无阻尼自然振荡频率n ω分别设定为固定值0.2和2。
先取比例系数p k =1，微分系数d k =0，0.1，0.2，…，0.9，1，得到各组取值对应的系统的三个瞬态性能指标——上升时间、超调量、调整时间的变化趋势如下所示：由图知，当比例系数p k =1时，超调量和调整时间随微分系数d k 的增大而减小，上升时间先减小后增大，当微分系数d k ≈0.6时上升时间达到最小值。
二阶系统性能的改善
Time Respond Methods
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线性系统的时域分析法
比例—微分控制和测速反馈控制的比较：
（1）从工程的实现角度来看，比例－微分装置可以用 RC 网络或 模拟运算线路来实现，结构简单，成本低；而测速反馈装置通常要 用测速发电机，成本高。 （2）抗干扰能力方面：微分控制对噪声有明显放大作用，当系 统输入端噪声严重时，一般不宜采用微分控制，同时微分器的输 入信号是偏差信号，信号电平低，需要相当大的放大作用，为了 使信噪比不明显恶化，要求采用高质量的放大器。而测速反馈对 噪声有滤波作用。 （3）对动态性能影响：两者均能改善系统性能，增加系统阻尼 比，降低超调量。在相同的阻尼比和自然频率条件下，测速反馈 控制因不增添闭环零点，所以超调量要低些，但反应速度却慢 些。另外测速反馈控制会使系统在斜坡输入下的稳态偏差加大。
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线性系统的时域分析法
6、二阶系统性能的改善
(1) 比例—微分控制
1 h(t)
R(s) R (s) E(s) E(s) 1 Tds
C(s) C (s) n2 s( s 2 ) S(S 2 )
2 n
n
n
0 e(t) 1
t
0
e(t)
.
t
0
t1
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