2019-2020学年德州市庆云县八年级上册期末数学试卷(有答案)【优质版】

2019-2020学年山东省德州市庆云县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图形中，为轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（4分）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）
A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6
3．（4分）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（）A．不变B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的D．缩小为原来的
4．（4分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB 上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB 的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
5．（4分）下列运算正确的是（）
A．a0=0 B．a3+a2=a5 C．a2•a﹣1=a D． +=
6．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD 折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）
A．40°B．20°C．55°D．30°
7．（4分）一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（）
A．增加180°B．减少180°
C．不变D．以上三种情况都有可能
8．（4分）下列各式是最简分式的是（）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
10．（4分）已知关于x的方式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1且a≠3 C．a≥1且a≠9 D．a≤1
11．（4分）若++1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（）
A．x≥B．x≤C．x= D．x≠
12．（4分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）若分式的值为0，则x=．
14．（4分）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为．15．（4分）a2+b2=5，ab=2，则a﹣b=．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，∠BAC=150°，则S△ABC=．
17．（4分）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）=
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1）、B（4，1）、C（1，3）．与△ABC与△ABD全等，则点D坐标为．
三、简答题：（本大题7小题，共78分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（5分）化简：﹣÷
20．（5分）解方程： +=﹣1．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1；B1；C1；（3）△A1B1C1的面积为；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
22．（10分）已知，如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
（1）若∠B=30°，∠C=50°．则∠DAE的度数是．（直接写出答案）
（2）写出∠DAE、∠B、∠C的数量关系：，并证明你的结论．
23．（10分）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
24．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
（1）求证：∠OAC=∠OCA；
（2）如图2，若点P为△AOC外部一点，OP平分∠AOC，CP平分外角∠ACE，求∠P 的大小．
（3）如图3，在（2）中，若射线OP、OC满足∠POC=∠AOC，∠PCE=ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）
25．（12分）探究应用：
（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）=；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．
A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）
C．（3+n）（9﹣3n+n2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）
26．（13分）问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）
特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF．
2019-2020学年山东省德州市庆云县八年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列图形中，为轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（4分）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（）
A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6
【解答】解：A、4+2=6＜7，不能组成三角形；
B、3+3=6，不能组成三角形；
C、5+2=7＜8，不能组成三角形；
D、4+5=9＞6，能组成三角形．
故选：D．
3．（4分）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（）A．不变B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的D．缩小为原来的
【解答】解：因为分式中，x、y都扩大2得到，
而=•
所以分式中，x、y都扩大2倍，分式的值缩小为原来的．
故选：C．
4．（4分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB 上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB 的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【解答】解﹕做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS
证明如下
∵OM=ON
PM=PN
OP=OP
∴△ONP≌△OMP（SSS）
所以∠NOP=∠MOP
故OP为∠AOB的平分线．
故选：A．
5．（4分）下列运算正确的是（）
A．a0=0 B．a3+a2=a5 C．a2•a﹣1=a D． +=
【解答】解：（A）a0=1（a≠0），故A错误；
（B）a2与a3不是同类项，故B错误；
（D）原式=，故D错误；
故选：C．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD 折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）
A．40°B．20°C．55°D．30°
【解答】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A=20°，
∴∠B=60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D=∠B=60°，
∵∠DB′C=∠A+∠ADB′，
∴60°=20°+∠ADB′，
∴∠ADB′=40°，
故选：A．
7．（4分）一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（）
A．增加180°B．减少180°
C．不变D．以上三种情况都有可能
【解答】解：∵一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°．
故选：D．
8．（4分）下列各式是最简分式的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、=；
B 、分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
C 、=﹣；
D 、=；
故选：B ．
9．（4分）如图，△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则S △EDC ：S △ABC =（ ）
A ．1：2
B ．2：3
C ．1：3
D ．1：4 【解答】解：∵△ABC 中，AD 、B
E 是两条中线，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥AB ，DE=AB ，
∴△EDC ∽△ABC ，
∴S △EDC ：S △ABC =（）2=．
故选：D ．
10．（4分）已知关于x 的方式方程=的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞1
B ．a ≥1且a ≠3
C ．a ≥1且a ≠9
D ．a ≤1
【解答】解：3（3x ﹣a ）=x ﹣3，
9x ﹣3a=x ﹣3，
8x=3a ﹣3
∴x=，
由于该分式方程有解，
令x=代入x ﹣3≠0，
∴a ≠9，
∵该方程的解是非负数解，
∴≥0，
∴a≥1，
∴a的范围为：a≥1且a≠9，
故选：C．
11．（4分）若++1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（）
A．x≥B．x≤C．x= D．x≠
【解答】解：由题意可知：
解得：x=
故选：C．
12．（4分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
=S△PNF，
∴S
△PEM
=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∴S
四边形PMON
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选：B．
二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）若分式的值为0，则x=2．
【解答】解：∵x2﹣4=0，
∴x=±2，
当x=2时，x+2≠0，
当x=﹣2时，x+2=0．
∴当x=2时，分式的值是0．
故答案为：2．
14．（4分）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为40°或100°．
【解答】解：△ABC，AB=AC．
有两种情况：
（1）顶角∠A=40°，
（2）当底角是40°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．
故答案为：40°或100°．
15．（4分）a2+b2=5，ab=2，则a﹣b=±1．
【解答】解：∵a2+b2=5，ab=2，
∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=5﹣4=1，
则a﹣b=±1．
故答案为：±1．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，∠BAC=150°，则S△ABC=ab．
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵在直角三角形ACD中，∠CAD=180°﹣∠BAC=30°，
∴CD=AC=b，
=AB•CD=a•b=ab．
则S
△ABC
故答案是：ab．
17．（4分）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
【解答】解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
=（x﹣y）（9a2﹣4b2）
=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
故答案为：（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，1）、B（4，1）、C（1，3）．与△ABC与△ABD全等，则点D坐标为（1，﹣1），（5，3）或（5，﹣1）．
【解答】解：如图所示，共有3个符合条件的点，
∵△ABD与△ABC全等，
∴AB=AB，BC=AD或AC=AD，
∵A（2，1）、B（4，1）、C（1，3）．
∴D1的坐标是（1，﹣1），D2的坐标是（5，3），D3的坐标是（5，﹣1），
故答案为：（1，﹣1），（5，3）或（5，﹣1）．
三、简答题：（本大题7小题，共78分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或
演算步骤）
19．（5分）化简：﹣÷
【解答】解：原式=﹣•=﹣=1．
20．（5分）解方程： +=﹣1．
【解答】解：两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：4﹣（x+2）（x+1）=﹣（x+1）（x﹣1），解得：x=，
检验：当x=时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解为x=．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1（3，2）；B1（4，﹣3）；C1（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为 6.5；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）A1（3，2）；B1（4，﹣3）；C1（1，﹣1）；
故答案为：（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3=6.5；
（4）如图所示：P点即为所求．
22．（10分）已知，如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
（1）若∠B=30°，∠C=50°．则∠DAE的度数是10°．（直接写出答案）
（2）写出∠DAE、∠B、∠C的数量关系：（∠C﹣∠B），并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，
则∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=10°，
故答案为：10°；
（2）∠DAE=（∠C﹣∠B），
理由如下：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=90°﹣∠C，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=∠BAC，
∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C
∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC，
=∠BAC﹣（90°﹣∠C），
=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C，
=90°﹣∠B﹣∠C﹣90°+∠C，
=（∠C﹣∠B）．
故答案为：（∠C﹣∠B）．
23．（10分）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
（1）排球和足球的单价各是多少元？
（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？
【解答】解：设排球单价为x元，则足球单价为（x+30）元，由题意得：
=，
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，
则x+30=80．
答：排球单价是50元，则足球单价是80元；
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，
由题意得：50m+80n=1200，
整理得：m=24﹣n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=16，②n=10时，m=8，③n=0，时，m=24，
∴有3种方案：
①购买排球16个，购买足球5个；
②购买排球8个，购买足球10个．
③购买排球24个，购买足球0个．
24．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
（1）求证：∠OAC=∠OCA；
（2）如图2，若点P为△AOC外部一点，OP平分∠AOC，CP平分外角∠ACE，求∠P 的大小．
（3）如图3，在（2）中，若射线OP、OC满足∠POC=∠AOC，∠PCE=ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）
【解答】解：（1）∵A（0，1），B（4，1），
∴AB∥CO，
∴∠OAB=90°，
∵AC平分∠OAB．
∴∠OAC=45°，
∴∠OCA=90°﹣45°=45°，
∴∠OAC=∠OCA；
（2）∵OP、CP分别是∠AOE和∠ACE的角平分线，
∴∠ACE=2∠PCE，∠AOE=2∠POE，
∴∠PCE﹣∠POE=2（∠ACE﹣∠AOE），
∵∠A=∠ACE﹣∠AOE，∠P=∠PCE﹣∠POE，
∴∠A=2∠P．
∵∠OAC=∠OCA
∴∠P=22.5°，
（3）∵∠POC=∠AOC，
∴∠POC=×90°=（）°，
∵∠PCE=∠ACE，
∴∠PCE=（180°﹣45°）=（）°，
∵∠P+∠POC=∠PCE，
∴∠P=∠PCE﹣∠POC=（）°．
25．（12分）探究应用：
（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=8x3+y3．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是C．
A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）
C．（3+n）（9﹣3n+n2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）
【解答】解：（1）（x+1）（x2﹣x+1）=x3﹣x2+x+x2﹣x+1=x3+1，
（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=8x3﹣4x2y+2xy2+4x2y﹣2xy2+y3=8x3+y3，
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；
（3）由（2）可知选（C）；
故答案为：（1）x3+1；8x3+y3；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；（3）（C）
26．（13分）问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）
特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF．
【解答】证明：图②，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，
∴∠BDA=∠AFC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，∴∠ABD=∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∵，
∴△ABD≌△CA F（AAS）；。