河北省唐山市乐亭县高平中学《等差数列》单元测试题 百度文库

一、等差数列选择题
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6
12S
S =（ ） A ．
17
7
B ．
83 C ．
143
D ．
103
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62
10S S ，则34a a +=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4
D ．-4
4．设数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+. 则8a 的值为（ ）．
A ．65
B ．16
C ．15
D ．14
5．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231
n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）
A ．
13
15
B ．
2335
C ．
1117
D ．
49
6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8
B ．13
C ．26
D ．162
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
8．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前10项的和为
（ ） A ．
89
B ．
910
C ．10
11
D ．
1112
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7
B ．12
C ．14
D ．21
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921
a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21
B ．20
C ．19
D ．19或20
11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之
和为（ ） A ．24
B ．39
C ．104
D ．52
12．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12
15
a b =（ ） A ．
3
2
B ．
7059
C ．
7159
D ．85
13．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7
B ．10
C ．13
D ．16
14．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+，则6
3a b 的值为
（ ） A ．
5
11
B ．38
C ．1
D ．2
15．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
16．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列
{}n a ，已知11a =，2
2a
=，且满足()211+-=+-n
n n a a （n *∈N ），则该医院30天入
院治疗流感的共有（ ）人
A ．225
B ．255
C ．365
D ．465
17．已知数列{}n a 满足25111,,25
a a a ==且
*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51
B ．57
C ．54
D ．72
19．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）
A ．3、8、13、18、23
B ．4、8、12、16、20
C ．5、9、13、17、21
D ．6、10、14、18、22
20．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29
B ．38
C ．40
D ．58
二、多选题
21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小
B ．130S =
C ．49S S =
D ．70a =
22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ）
A ．2
3n S n n =- B ．2392
-=n n n
S
C ．36n a n =-
D ．2n a n =
23．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >
D ．若67S S >则56S S >.
24．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
25．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-
B ．310n
a n
C ．2
28n S n n =- D ．2
4n S n n =-
26．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤
D ．当且仅当0n
S <时，26n ≥
27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911
111
a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <
28．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项
29．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59S S =，则必有14S =0
B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项
C ．若67S S >，则必有78S S >
D ．若67S S >，则必有56S S >
30．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
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一、等差数列选择题 1．D 【分析】
由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】
已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且9
3
6S S =，化简解得633S S =.
又
()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而
126103
S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：
（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列， （2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且
9
3
6S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 2．B 【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】
因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6
2
10S S ，
所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=.
故选：B. 3．A 【详解】 由()()184588848162
2
2
a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.
4．C 【分析】
利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】
由2
1n S n =+得，12a =，()2
111n S n -=-+，
所以()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,1
21,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
，故828115a =⨯-=.
故选：C. 【点睛】
本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 5．C 【分析】
利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】
2121S T ＝12112121()21()22
a a
b b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝211
3111⨯⨯+＝1117.
故选C 6．B 【分析】
先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据
()
11313713132
a a S a +=
=求解出结果.
【详解】
因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =， 又()
1131371313131132
a a S a +=
==⨯=， 故选：B. 【点睛】
结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N
+=+=∈，
（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.
7．B 【分析】
设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得
728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断
D ． 【详解】
设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；
所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；
1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得10
1n d
≤-
+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d
≥-， 所以1010
1n d d
-
≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，
当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．
8．C 【分析】
首先根据()12
n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得
到答案. 【详解】
当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==，所以n a n =.
设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…. 故选：C 9．C 【分析】
判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】
∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()
1422
a a a a S ++===. 故选：C 10．B 【分析】 由题得出1392
a d =-，则2202n d
S n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
由
111019
21
a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392
a d =-
，10a <，0d ∴>，
()211+2022n n n d
S na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上，
∴当20n =时，n S 最小.
故选：B. 【点睛】
方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列
()2111+
222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫==+- ⎪⎝
⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 11．D 【分析】
根据等差数列的性质计算求解． 【详解】
由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==，
74a =，∴11313713()
13134522
a a S a +=
==⨯=． 故选：D ． 12．C 【分析】
可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】
因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且
3221
n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，
又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴
1215(6121)71(4151)59
a k
b k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 13．C 【分析】
由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
141,16a S ==，
41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.
故选：C 14．C 【分析】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则
6
3
a b 可得． 【详解】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，
可得当2n ≥时，()()2
21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，
当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，
()232n b n λ=+
故622a λ=，322b λ=，
故
6
3
1a b =. 【点睛】
由n S 求n a 时，11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符
合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 15．A 【分析】
由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得154
52252
a ⨯+
⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 16．B 【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】
解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，
2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以30132924301514
()()1515222552
S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 17．B 【分析】
由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，再由等差数列的通项公式可得
1n
n a ，进
而可得1
n a n
=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为
*12121
0,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12
211n n n a a a ++=+，
所以数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列，设其公差为d ， 由25111,25
a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以11
11
2
1145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111
a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以
()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n
=，
所以不等式100n n a a +≥即100
n a n
+≥对任意的*n N ∈恒成立，
又10020n n +
≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 18．B 【分析】
根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】
317102a a a += 1039a ∴=，即103a =
()11910
19191921935722
a a a S +⨯∴===⨯=
故选：B 19．C 【分析】
根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】
在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则71251
4716
a a d --=
==-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 20．A 【分析】
根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ;
【详解】
因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==,
∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =,
故选：A.
二、多选题
21．BCD
【分析】
由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.
【详解】
设等差数列数列{}n a 的公差为d .
由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=+
+，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确.
选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+
=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302
a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.
22．BC
【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为30S =，46a =， 所以113230236
a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，
21(1)3(1)393222
n n n n n n n S na d n ---=+=-+=， 故选：BC
23．BC
【分析】
根据等差数列的前n 项和性质判断．
【详解】
A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；
B 对：n S 对称轴为n =7；
C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；
D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=
，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 24．ABD
【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.
【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.
故选：ABD.
25．AD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得11
45460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==
所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11
45460a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：13,2a d =-=，
所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.
故选：AD.
26．AB
【分析】
根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中717S S =，
所以89161712135()0a a a a a a ++
++=+=， 又10a >，
所以12130,0a a ><，
所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +=
=<，故D 错误， 故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.
27．AC
【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212
a a e e -+-≤++，构造函数()1112
x f x e =
-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项
【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112
x f x e =-+， ()()1111101111
x
x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112
x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********
a a S +=≥；
当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()
2021202110110T a =>.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 28．ABD
【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.
【详解】
A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；
B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；
C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
不是等差数列，故C 不正确；
D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.
29．ABC
【分析】
根据等差数列性质依次分析即可得答案.
【详解】
解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402
a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；
C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．
故选：ABC ．
【点睛】
本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．
30．ABC
【分析】
由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=
所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩
时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．
故选：A B C
【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．。