三大尺规作图问题

引人入胜的千古难题

——三大尺规作图问题

尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。

公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。

传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。

任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。

正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。

古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许多努力，后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击，可是，这三大问题却在长达2000多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，似乎应该可以用尺规作图来完成，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。

尺规三大作图难题的研究在数学史上持续了二千年，耗费了许多数学家的聪明才智，甚至是毕生的精力。屡遭失败以后，人们一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面很自然地考虑不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可以解决这些问题呢？

十八世纪，人们应用代数方法对尺规作图的可能性进行了深入的研究，数学家们把一个几何作图问题化归为一个代数方程来加以考虑，一个尺规作图问题能否解决，要看与此问题相应的代数方程的根能否通过对系数进行加减乘除和开平方运算求出。1637年，笛卡尔首先提出立方倍积问题不可能用尺规作图得出。1837年，法国数学家旺策尔给出三等分任意角和立方倍积问题都是尺规作图不可能问题的证明。后来人们发现，早在1830年前后，18岁的法国中学生伽罗华首创的后来称为“伽罗华理论”的理论，能证明三大作图问题都是尺规作图不能做到的问题，但证明“化圆为方”的不可能时，还必须先证明圆周率π是“超越数”。1882年，德国数学家林德曼证明了π是超越数，于是“化圆为方”问题获得解决。至此，困扰人们2000多年的三大作图问题都被证明为尺规作图不可能问题。认识到有些事情确实是不可能的，并不比证明这些事情是可能的轻松，这是数学思想的一大飞跃。

人们发现，一旦改变了作图工具的限制，问题就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上演绎出很多故事。在求解三等分任意角时，希腊数学家相继发展了高等几何。门奈赫莫斯发明用蚌线，希皮亚斯发明用割圆曲线，以及阿基米德发明用螺线求解的方法。因研究化圆为方问题而出名的安蒂丰直觉地认识到当圆的内接正多边形的边数不断倍增时，这个内接正多边形将越来越接近圆，“最后”的正多边形必将与圆周重合，即多边形与圆的“差”必将“穷竭”。因此，后人认为是安蒂丰首先提出了“穷竭法”，虽然事实上“最后”的正多边形是无法达到的，“重合”是不可能实现的，但是作为一种求圆的面积的近似方法，安蒂丰提出的穷竭法是很有价值的。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”（即半径固定的圆规）的两个作图问题，为尺规作图又添了精彩的一笔。

三大尺规作图问题能给我们一点启示，这就是对待一个未解决的问题的意义的认识，特别是历史长、影响深，得到过一些著名数学家钻研而尚未解决的那些著名问题，这些问题往往不是通常的方法所能解决的。对此，往往要越出通常的方法才能解决问题。于是，解决这个问题本身的意义又不仅在于这个问题的解，更在于一个问题的解决可望得到不少新的成果和发现新的方法。

【附录】

一、【伽罗华简介】

伽罗华（1811年～1832年）英年夭折的法国数学家。伽罗华中学时即因阅读了大量

数学名家的著作而有很高的数学修养。16岁时就开始研究一般五次或五次以上高次方程的代数解法问题。

1828年，17岁的伽罗华声称解决了这一问题，并将论文送交法兰西科学院审查。由于保管不善，论文被负责审查的柯西丢失。

1830年，伽罗华第二次将论文送交科学院审查，这次负责审查的是著名数学家富里叶。不久富里叶去世，在富里叶的遗留文稿中，没有找到伽罗华的原稿，论文第二次被丢失。

1831年，在数学家泊松的劝说下，伽罗华第三次将论文送交法兰西科学院审查。四个月后，泊松提出的审查意见是：“完全不能理解”。数学大师不能理解，论文只能退稿了。

伽罗华因反对国王而两次被捕监禁。因爱情纠纷与人决斗而受重伤，1832年5月31日清晨死去。

14年后的1846年，法国数学家刘维尔从伽罗华的弟弟手中收集到一些尚未发表的手稿，其中包括伽罗华的杰出论文《关于用根式解代数方程的可解性条件》，陆续发表在自己创办并主编的《理论数学与应用数学》杂志上，伽罗华的研究才为人所知。1852年起，有人首先读懂了伽罗华的论文并弄清了他的思想。

历史证明，伽罗华的工作不仅解决了方程具有代数解的等价条件，更重要的是第一次在方程研究中引进了一个非常新的概念——群，这一理论在整个数学以及近代物理化学、量子化学中都产生了重大的影响，后来人们为了纪念伽罗华，把他发现的群称为“伽罗华群”。

1866年起“伽罗华理论”被编入大学数学教材。伽罗华所开创的工作及群、环、域等代数结构的研究发展成为“近世代数学”。

伽罗华的工作使五次代数方程不可能有普遍的根式解及平面几何尺规作图三大难题等迎刃而解；伽罗华的工作使代数学乃至整个数学来了个划时代的变革。伽罗华被后人誉为卓越的数学家。

二、【“化圆为方”问题诞生的故事】

阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者，在天文学中，他曾因解释日、月食的成因而闻名遐迩，并且认识到月球自身并不发光。正是他出色的研究成果给他带来了不幸，在他大约50岁的时候，横祸从天而降，蒙受了冤狱之苦。灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头。由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵，而这位学者却无视宗教的权威，说太阳是一块石头，因而被投入监狱。