基于非参数DEA前沿的参数生产函数估计模型

ρn λj yj
=1
;
n
ρ
λj xj
j=1
≤ x} ,
其中 λ满足
Ki3
的限制 。并且
g
3 n
( x) 具有最小外推前
沿[3] 的性质 ,即对于任意相同规模报酬的生产函数 g ( x) ,
其中
x ∈K ,成立
g ( x)
≥g
3 n
( x)
, Π x ∈Ki3
<
K。
21DEA 模型的统计性质
假设
g ( x) 和
0 < l ( x) ≤inf j hj ( x) ≤sup j hj ( x) ≤L ( x) , Π x ∈ K;
(b) 对于效率的密度函数 fj (ε) ,成立 :
F( u) = inf j Fj ( u) > 0 , 其中 Fj ( u) = ∫0u f j (ε) dε,且 u > 0 ;
n
n
K23 = { x ∈ K ; x ≥ ρλj xj ,λj ≥0 , ρλj ≥1} ,
j =1
j=1
K33
n
n
= { x ∈ K; x ≥ ρλj xj ,λj ≥0 , ρλj ≤1} ,
j =1
j=1
n
n
K43
=
{x
∈ K; x
≥ ρλj xj ,λj
≥0
,
ρ
λ j
=
1} ,
j =1
j=1
g ( x) 的非参数最大似然估计[2] 。
(2) 此外 ,若假定 yj = g ( xj ) - εj 中的 ( xj ,εj ) 独立的
取自乘积概率密度函数 hj ( x) f j (ε) ,且满足 :
(a) 对于生产投入的密度函数 hj ( x) ,存在可积函数
l ( x) 和 L ( x) ,成立 :
在传统参数方法的研究中 ,通常利用回归分析来估 计生产函数的参数 ,显然这是一种对全部样本数据进行 平均化的结果 ,得到的是一个穿过所有样本观测点“中 心”的平均生产函数 ,估计出来的结果并不符合生产函数 最优性的定义 ,因此也不能称之为生产前沿 。
生产前沿研究的一个划时代里程碑是 Charnes、Cooper 和 Rhodes 于 1978 年提出的数据包络分析 (DEA ,Data En2 velopment Analysis) 的非参数方法 。该方法是在经济学家 Farrell 关于私人企业企业效率评估工作的基础上 ,以工程 上单输入单输出的效率概念为基础发展起来的评估具有 多输 入 多 产 出 同 类 型 决 策 单 元 ( DMU , Decision Making Units) 相对有效性的效率评估体系 。与前沿生产函数的参 数方法相比 ,非参数方法的最大特点是无须对生产系统
即得对于任意 j ,成立 0 < p ≤pj < 1 。基于 DEA 方法
的定义 ,可知对于任何规模报酬的模型均成立
g
3 n
( x)
≥
Minj yj 。因此 ,当 ( xj ,εj ) ∈A (δ) 成立 :
yj
=
g ( xj)
-
ε j
>
g ( x0 )
- Δ,
并且
g
3 n
( x)
≥Minj yj
L ( x) 可积 ,且当 x ∈B ( x0 ,δ0 ) 时 ,成立 g ( x) - g ( x0 ) + Δ
∫ > 0 ,故选取 0 <δ<δ0 ,使得满足 0 <
L ( x) dx < 1 ,
B ( x0 ,δ)
∫ ^
并且 0 <
p=
l ( x) F( g ( x) -
B ( x0 ,δ)
g ( x0 ) + Δ) dx < 1 。
输入输出之间进行明确的生产函数表达式的假定 ,仅仅 依靠 DMU 的实际观测数据 ,利用线性规划方法将有效的 DMU 线性组合起来 ,构造出包络整个观测样本点的分段 超平面即生产前沿面 ,并由此来评估 DMU 的相对效率 。 DEA 构造的生产前沿面紧紧包络着全部观测数据 ,它反 映了生产系统输入输出之间的最优关系 ,可以理解为具 有隐形函数关系的前沿生产函数 。
g
3 n
( x) 对应相同的规模报酬 。此外 ,令
( xj , yj ) 满足 ① 统计模型 yj = g ( xj ) - εj ,其中技术效率εj
为非负随机变量 ,服从定义于 R + 的单调递减概率密度
fj (ε) 。通常建立前沿模型时 ,效率的密度函数均选择为
满足该假定 ,该类型密度的一个明显例子就是指数分布 ,
2004
年第
3
期
统计研究
No. 3 2004
Statistical Research
51
基于非参数 DEA 前沿的 参数生产函数估计模型
郑方贤 杨科威
ABSTRACT
Research on product function is always a attractive field to economists. Based on frame of theoretical product function ,we develop mathematical models by which the frontier product function can be deter2 mined underlying the actual product states of a production system by means of DEA. And with proper sta2 tistical hypothesis ,a new parametric estimate model which has strong consistency is presented.
( tx + (1 - t)ω) ≥tg ( x) + (1 - t) g (ω) 。
(3) 极值性 : Π j = 1 , …, n , g ( xj ) ≥yj 。
(4) 考虑不同生产技术规模条件 ,再作如下定义 :
(a) 规模报酬不变 ( CRS ,从 Cons tant Returns to Scale) 若 g (ηx) =ηg ( x) , Πη≥0 , x ∈K 且ηx ∈K。
>
g ( x0 )
- Δ,
进一步可得 :
n
P{ g ( x) -
g
3 n
(
x)
≥Δ} ≤ P{ ( Y Aj (δ) ) c }
j=1
n
=
P{
I
A
c j
(δ)
}
≤ (1
-
p) n 。
j=1
∞
由此可得 ρ P{ g ( x) n =1
-
g
3 n
( x)
≥Δ}
≤1
p
p
<
∞,
根 据 Borel2Cantelli 引 理 , 故 对 任 意 Δ > 0 , 成 立
再令 pj = P{ ( xj ,εj ) ∈A (δ) } ,可以推得 :
∫ ∫ ∫ 1 >
L ( x) d x ≥
B ( x0 ,δ)
B ( x0 ,δ) hi ( x) (
g ( x)
-
g ( x0 )
+Δ
fj
(ε)
dε)
d
x
0
∫ ≥
l ( x) F( g ( x) -
B ( x0 ,δ)
g ( x0 ) + Δ) d x ,
另外还有对于均值小于 0 的半正态模型 。
生产投入 xj 相互独立 ,且服从集合 K 上的概率密度 函数 hj ( x) 。且 xj 和εj 也独立 。故该统计模型的似然函 数为 :
n
7 L ( g) =
f j ( g ( xj ) - yj ) hj ( xj )
j=1
(1) 可得
g
3 n
( x) 是
因此 ,为了避免参数方法和非参数方法各自的局限 性 ,本文考虑将两种方法结合起来估计前沿生产函数 。 首先利用 DEA 方法确定生产可能集前沿 ,将各单元向前 沿投影以消除生产的非效率偏差 ,然后采用 OLS 直接对 DEA 前沿的样本进行回归来获得参数估计值 。
11 生产函数性质及 DEA 模型介绍 生产前沿的非参数方法是由 Farrell 测度的基础上发 展起来的 DEA 方法 ,作为生产有效性分析的有力工具 , DEA 方法已经成为运筹学研究的一个新领域 。为了便于 讨论 ,首先介绍一些有关生产可能集的一些基本概念 ,然 后探讨一些主要的 DEA 模型 。 生产可能集的概念是 DEA 方法的理论基础 。假设生 产系 统 中 有 n 个 生 产 单 位 ( 即 决 策 单 元 DMU , Decision Making Units) ,每个 DMU 使用 s 种投入要素来生产一种产 品。 令 Y = ( y1 , …, yn ) 为 1 ×n 维产出向量 , X = ( x1 , …, xn ) 为 s ×n 维投入矩阵 。类似的 ,ω1 和 ω2 也为 1 ×n 维 向量 ,并且 ω1 ≥ω2 意味着 ωi1 ≥ωi2 , Π i 。此外 ,规定第 r 个 DMU 的产出 yr > 0 ,对应生产出 yr 的 s ×1 维投入向量 xr ≥0 (至少一个严格为正值) 。
关键词 : 生产函数 ; DEA ; 强收敛性
本文结合参数方法和非参数方法的估计模型的方法 对确定前沿生产函数进行估计 ,并从理论上验证了两者 结合的估计方法的强收敛性 ,并结合实证结果证明了两 种方法结合的合理性和广阔前景 。
一 、生产函数估计方法
前沿生产函数作为经济系统最优行为组合的有效边 界 ,从理沦上讲是唯一存在的 。从前沿生产函数的外在 表现形式是否为显式数学表达式 ,前沿生产函数的研究 方法可分为参数方法和非参数方法 。从前沿生产函数估 计的具体模型上看 ,如果不考虑实际观测中随机误差的 影响 ,则前沿生产函数紧密包络全部样本数据 ,则称为确 定性生产前沿 ;反之 ,若考虑到观测样本受到随机因素的 影响 ,则为随机性生产前沿 。
① 该处通常假定为广义的线性模型 ,包括对数线性 ,对数 二次线性以及其他线性模型的变形 。
© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
x ∈B ( x0 ,δ0 ) ,成立 g ( x) > g ( x0 ) - Δ。
令集合 A (δ) = { ( x ,ε) : x ∈B ( x0 ,δ) ,且 g ( x) - ε>
g ( x0 ) - Δ} 。
考虑事件 Aj (δ) = { ( xj ,εj ) ∈A (δ) } ; 因为 l ( x) 和
(d) 可变规模报酬 (VRS ,从 Variable Returns to Scale)
若 (a) , (b) , (c) 均不满足 。
在下文中 ,我们将可以根据观测值 ( xj , yj ) 运用 DEA 方法在以下的某个集合中估计 g ( x) :
n
K13 = { x ∈ K ; x ≥ ρλj xj ,λj ≥0} , j =1
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52
统计研究
设 K 为 Rs 的非负实数空间上的凸集和紧集[2] 。对
于任意 x ∈K ,所能获得的最大产出 (前沿产出) ,定义为
பைடு நூலகம்
生产函数 g ( x) 。假定 g ( x) 连续 ,并且满足 : (1) 单调性 :若 x ≥ω,且 x ,ω∈K ,则 g ( x) ≥g (ω) 。 (2) 凹函数 :若 x ≥ω,且 x ,ω∈K ,且 Π t ∈[0 ,1 ] ,则 g
其中每一个集合对应生产函数 g ( x) 的 DEA 估计的
不同规模效应 : K13 对应 CRS , K23 对应 IRS , K33 对应 NRS ,
K43 对应 VRS。[1]
因此 ,对应任意 Ki3 ,对于 x ∈Ki3 可以定义 DEA 前沿
生产函数 :
g
3 n
( x)
=
sup{ λ
j
(b) 规模报酬递增 ( IRS ,从 Increa sin g Returns to Scale) 若 g (ηx) ≥ηg ( x) , Πη≥1 , x ∈K 且ηx ∈K。
(c) 规 模 报 酬 递 减 ( DRS , 从 Decrea sin g Returns to
Scale)
若 g (ηx) ≤ηg ( x) , Πη≥1 , x ∈K 且ηx ∈K。
则 Π x0
∈ Ki3
<
K,
g
3 n
( x0 )
a. s.
g ( x0 ) , 即
lim P{
n →+ ∞
g
3 n
( x0 )
=
g ( x0 ) }
=
1
,
g
3 n
( x) 以概率
1 、强收敛到
g ( x) 。
证明 :令 B ( x ,δ) 为以 x 为中心 ,半径为 δ的开区间 。
因为 g ( x) 连续 ,故对于任意 Δ > 0 ,存在 δ0 > 0 ,使得对于