河北省唐山市开滦二中高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

河北省唐山市开滦二中2012-2013学年高二上学期期中考试 数学
（理）试题新人教A 版
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第6页。

考试时间为120分钟，满分为150分。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1、若直线l 经过原点和点（3，-1），则直线l 的倾斜角为（ ） A. 30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒
2、如图所示的空间直角坐标系O —xyz 下，长方体OABC —D 1A 1B 1C 1中，|OA |=3，|OC |=4，|OD 1|=2，则
B 1
C 1
的中点M 的坐标是（ ） A.（ 3
2，4，2）
B.（3，2，2）
C.（3 ，4，1）
D.（ 3
2，2，1）
3、下列四个结论： ① 方程2
1
y k x -=+与方程2(1)y k x -=+可表示同一直线；② 直线l 过点11(,)P x y ，倾斜角为
2
π
，则其方程为1x x =；③ 直线l 过点11(,)P x y ，斜率为0，则其方程为1y y =；④ 所有直线都有点斜式和斜截式方程，其中正确的命题序号为( ） A. ①④ B. ③④ C. ②③ D. ①②
4、已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 （ ）
A. 2
B. 1
C. 0
D. 1-
5、如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
6、设()()()1,0,0,5,0,1,1,2,3C B A ，则AB 的中点M 到点C 的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7、正方体的外接球和内切球的表面积之比为 （ ）
A
B 、33:1
C 、3:1
D 、3:3 8．设m ，n 是两条不同的直线，，
是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．
A ．⊥，m ⊥，n ∥错误！未找到引用源。

m ⊥n
B ．∥，m ⊥，
n ∥错误！未找到引用源。

m ⊥n
C ．m ⊥，n 错误！未找到引用源。

，m ⊥n 错误！未找到引用源。

⊥
D ．⊥，∩＝m ，n ⊥m 错误！未找到引用源。

n
⊥
9、已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =（ ）
A 2
B 22-
C 12-
D 12+
10、平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 ( )
（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π
11.已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）
A.π
B.8π
C.4π
D.9π 12．平面
平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面
，β所成
的角分别为错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，过
A ，
B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′，B′，则AB ∶A ′B ′
等于( )．
A ．2∶1
B ．3∶1
C ．3∶2
D ．4∶3
(第12题)
开滦二中2012～2013学年高二年级第一学期期中考试
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上） 13、经过点)1,2(-M 作圆522=+y x 的切线，则切线的方程为 ______ 14．一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 ．
15、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2错误！未找到引用源。

，AD ＝2，CC 1＝错误！未找到引用源。

，则二面角C 1-BD -C 的大小为______。

16、已知点P 是直线0843=++y x 上的动点，PA 是圆C ：
012222=+--+y x y x 的切线，A 为切点，则PA 的最小值
为 .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。

17. （本小题满分10分）分别求过直线l 1： x +y -2=0 与2:280l x y -+=
的交点且满足下列条件的直线方程
（1）平行于3450x y +-=； （2）垂直于2360x y +-=
18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60︒，AB ＝2AD =2，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝AD ，求：平面PAB 的一个法向量．
19. （本小题满分12分）已知一圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5），且圆心C 在直线l ：230
x y --=上，此圆的标准方程.
D
A
P
C
20、（本小题满分12分）如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M
① 求证： //MN 平面PAD ② 求证：MN CD ⊥
③ 若45PDA ∠=，求证：MN ⊥平面PCD
21、（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，P 为侧棱SD 上的点。

（Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；
（Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ， 使得：EC 的值；若不存在，试说明理由。

22．（本小题满分12分）已知直线l 1：kx －y +5k =0与直线l 2：x +k y －5=0的交点为P ， (1)求点P 的轨迹方程； (2)已知点Q （3，2），直线l ：y =mx －2m +1 (m ∈R )与点P 的轨迹交于E 、F 两点，试判断QE →·QF →×tan ∠EQF 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
开滦二中2012～2013学年高二年级第一学期期中考试
数学试卷(理科答案)
三、解答题
17解：由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，
2x －y +8＝0，
解得l 1与l 2的交点为(-2，4) …………………2分
(1)设平行于3450x y +-=的直线方程为3x +4y +C=0， 则：3×(－2)+4×4+C=0 ，故C=－10
故所求直线方程为：3x +4y －10=0. …………………6分 (2)设垂直于2360x y +-=的直线方程为3x －2y +C=0， 则：3×(－2) －2×4+C=0 ，故C=14
故所求直线方程为：3x －2y +14=0. …………………10分
19解：因为A （2，－3），B （－2，－5），所以线段AB 的中点D 的坐标为（0，－4），
又 5(3)122
2
AB k ---==--， ……………2分
所以线段AB 的垂直平分线的方程是24y x =--． ………4分
联立方程组23024x y y x --=⎧⎨=--⎩，解得12
x y =-⎧⎨
=-⎩． 所以，圆心坐标为C （－1，－2）， ………………………………8分 半径||r CA
=== ……………………10分
所以，此圆的标准方程是22
(1)(2)10x y +++=．…………………………… 12分 20证明：
（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ, ∵M 、N 分别为AB 、PC
的中点 ∴NQ ∥CD//AM 且NQ= 1
2
CD=AM
∴四边形MNQA 为平行四边形 ∴NM ∥AQ 又∵AQ ⊂平面PAD ,MN ⊄平面PAD
∴MN ∥平面PAD ……………4分 （2）∵PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥CD ， 又∵CD ⊥AD, PA ∩AD=A ∴ CD ⊥平面PAD ，∴ CD ⊥AQ
∵NM ∥AQ ∴MN ⊥CD ……………8分
Q
P
B
C
D
A
M N
(3) ∵45PDA ∠=， ∴在直角三角形PAD 中有：PA=AD ，∴AQ ⊥PD 又∵CD ⊥AQ 且PD ∩CD=D ∴ AQ ⊥平面PCD
∵NM ∥AQ ∴MN ⊥平面PCD ……………… 12分 21解法一：
（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O ，由题意SO AC ⊥，
在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，
所以AC SBD ⊥平面,得AC SD ⊥. …………3分
(Ⅱ)设正方形边长a
，则SD =。

又OD =
， 所以060SOD ∠=, 连OP ，由（Ⅰ）知AC SBD ⊥平面,
所以AC OP ⊥, 且AC OD ⊥,
所以POD ∠是二面角P AC D --的平面角。

…………5分 由SD PAC ⊥平面,知SD OP ⊥，所以0
30POD ∠=, 即二面角P AC D --的大小为0
30。

………………………7分 （Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使//BE PAC 平面
由（Ⅱ）
可得PD =
，故可在SP 上取一点N ,使PN PD =,过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E 。

连BN ，在三角形BDN 中知//BN PO ，∴BN//平面PAC ，
又∵//NE PC ，∴NE//平面PAC ，故平面//BEN PAC 平面，得//BE PAC 平面,
由于21SN NP =：：
,故21SE EC =：：. ……………12分 解法二：
（Ⅰ）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知
SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、
y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图。

……2分
设底面边长为a ，则
高2
S O a
=。

于
是),(,0,0)2
S D a -
(0,,0)2C
(0,,0)2OC a =
，(,0,)22
SD =--，所以
0OC SD ⋅= B
A
S
P
O
N
故OC SD ⊥ 从而 AC SD ⊥ …………5分
(Ⅱ)由题设知，平面PAC 的一个法向量(
)2DS a =，平面DAC 的一个法向量
)OS =，设所求二面角为θ，则cos OS DS OS DS
θ⋅==
,所求二面角θ的大小为030
…………………………8分
故只要求S △EQF 的最大值即可 …………………………7分 ∵直线l ：y =mx －2m +1 (m ∈R )过定点（2，1），此点在点P 的轨迹上，不妨设为E ，
则可设直线l 与圆的另一个交点为F (5cos θ，5sin θ)，由于QE →＝（－1，－1），∴|QE
→|＝ 2 ……9分
又直线l QE ：x －y －1＝0，∴点F 到直线l QE 的距离d ＝|5cos θ－5sin θ－1|2
＝
|10sin(θ－π
4)－1|
2≤10+12(当且仅当θ=2k π－ π
4，k ∈Z 时，取等号)， (11)
分
1 2|QE→|d≤
10+1
２
，∴QE→·QF→×tan∠EQF最大值为10+1. …………12分
∴S△EQF＝。