2020-2021学年浙江省衢州市柯城区巨化中学高三数学文测试题含解析

2020-2021学年浙江省衢州市柯城区巨化中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线，过其左焦点作圆的两条切线，切点记作，,原点为
,，其双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
2. 如果函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】利用余弦函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．
【解答】解：∵函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，
∴3?+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，k∈Z，
故么|φ|的最小值为，
故选：D．
3. 如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
4. 定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）
A．[1，2）B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x ﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可
【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x
所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．
由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，
如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）
所以可得k的范围为
故选C．
【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．
5. 下列各组中的两个集合和，表示同一集合的
是（） A． B．
C． D．
参考答案：
D
6. 设a=logπ3，b=20.3，c=log2，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c
参考答案：
D
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得到．
解答：解：∵0＜a=logπ3＜1，b=20.3＞1，c=log2＜0，
∴c＜a＜b．
故选：D．
点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
7. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
8. 执行下面的框图，若输出结果为1，则可输入的实数x值的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：
B
9. 已知复数纯虚数，则
．．．．
参考答案：
设，
10. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”
的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．
参考答案：考点：定积分的简单应用；几何概型．
专题：导数的综合应用；概率与统计．
分析：分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．
解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，
阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；
故答案为：．
点评：本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．
12. 已知函数，若对，，则实数m
的取值范围是
.
参考答案：
略
13. 过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标
为．
参考答案：
3
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立可得：y2﹣4my﹣4=0，利
用根与系数的关系及其弦长公式：|AB|=，解得m．再利用中点坐标公式即可得出．
解答：解：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），
若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．
设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，
化为y2﹣4my﹣4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．
∴|AB|===8，
化为m2=1，
解得m=±1，
当m=1时，联立，化为x2﹣6x+1=0，
∴x1+x2=6，因此=3．
同理可得：m=﹣1时，=3．
∴线段AB中点的横坐标为3．
故答案为：3．
点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 抛物线:上到直线:距离为的点的个数为________.
参考答案：
3 15. 已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为
．
参考答案：
【考点】7C
：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，数形结合求得t的最大值，进一步求得的最小值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，2）．
令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，
由图可知，当直线y=﹣2x+t过A时，t有最大值为4．
∴的最小值为．
故答案为：．
16. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是。

参考答案：
17. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；②；③若都有
成立；则称函数为函数．
下面有三个命题：
（1）若函数为函数，则；（2）函数是函数；
（3）若函数为函数，假定存在，使得，且，则；其中真命题是________．（填上所有真命题的序号）
参考答案：
(1)(2)(3)
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy中，已知点A，B的坐标分别为．直线AP，BP相交于点P，且它
们的斜率之积是．记点P的轨迹为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线于点M，N，轨迹在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．
参考答案：
（Ⅰ）设点坐标为，则
直线的斜率（）；直线的斜率（）．
由已知有（），化简得（）．4分
故点的轨迹的方程为（）．（注：没写或扣1分）
（Ⅱ）设（），则．5分
直线的方程为，令，得点纵坐标为；6分直线的方程为，令，得点纵坐标为；7分
设在点处的切线方程为，
由得．8分
由，得，
整理得．
将代入上式并整理得，解得，9分
所以切线方程为．
令得，点纵坐标为．10分设，所以，
所以．11分
所以．
将代入上式，，
解得，即．12分
19. （12分）已知函数在上是增函数。

（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设，求函数的最小值。

参考答案：
解析：（Ⅰ）。

∵在（0，1）上是增函数，
∴在（0，1）上恒成立，即
∵（当且仅当时取等号），所以。

（Ⅱ）设，则（显然）
当时，在区间[1，3]上是增函数，所以h(t)的最小值为。

当时，
因为函数h(t)在区间是增函数，在区间是也是增函数，又h(t)在[1，3]上为连续函数，所以h(t)在[1，3]上为增函数，所以h(t)的最小值为h(1)=
∴
20. （本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求BD与面SBC所成的角的正弦值．参考答案：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则SD=4 ,过D作SC的垂线于交SC于H
连接B H,容易知道∠DBH即为DB与面SBC所成的角。

DH=，BD=，所以
21. 已知数列和中，数列的前项和记为. 若点在函数的图象上，点在函数的图象上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和。

参考答案：
22. （13分）设函数在上的最大值为（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任何正整数n (n≥2)，都有成立；
（III）设数列的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有成立．
参考答案：
（Ⅰ）
，
当时，由知或，
当时，则，时，，在上单调递减，所以
当时，，时，，时，，
∴在处取得最大值，即
当时，由（II）知
．
所以，对任意正整数，都有成立．……13分。