换面法

换面法
一、 换面法概述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。

当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。

换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。

1．换面法的基本概念
换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。

然后找出其在新投影面上的投影。

2．新投影面的选择原则
（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；
（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；
（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。

二、 点的换面
点是一切几何元素的基本元素。

因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。

1．点的一次换面
（1）换V 面
图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。

过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1
a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。

a 和1
a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（
b ）所示的投影图。

由于在
（a）（b）（c）
图2-25点的一次变换（换V面）
新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。

所以有如下关系：
1
a'a⊥O1X1轴；
1
a'
1x
a=a'
x
a=A a，即：换V面时Z坐标不变。

由此得出点的投影变换规律是：
①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；
②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。

换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示：
①在被保留的H投影a附近（适当的位置）作O1X1轴；
②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取1a'1x a=a'x a，点1a'即为所求。

（2）换H面
换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：
a'a⊥O1X1轴；
1
a
1x
a=a
x
a=A a'，换H面是Y坐标不变。

其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。

2．点的二次换面
由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。

如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。

但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。

如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。

二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示：
（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影
1
a，而
1
a
1x
a=a
x
a =A a'，作图方法与点的一次换面完全相同；
（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影
2
a'，而
2
a'
2x
a=a' 1x
a=A
1
a，作图方法与点的一次换面类似。

（1） （2）
图2-26点的二次换面
注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：H
V →H V 1→21H V →23H V ……。

三、几个基本作图问题
1．将一般位置直线变换为投影面的平行线
如图2-27（a ）为把一般位置直线AB 变换为投影面平行线的情况。

用V 1面代替V 面，使V 1面∥AB 并垂直于H 面。

此时，AB 在新投影体系V 1/H 中为正平线。

图2-27（b ）为投影图。

作图时，先在适当位置画出与不变投影ab 平行的新投影轴O 1X 1（O 1X 1∥ab ），然后根据
点的投影变换规律和作图方法，求出A 、B 两点在新投影面V 1上的新投影1
a '、1
b '，再连接直线1
a '1
b '。

则1a '1b '反应线段AB 的实长，即1a '1b '=AB ，并且新投影11b a ''和新投影轴（O 1X 1轴）的夹角即为直线AB 对H 面的倾角α，如图2-27（b ）。

如图2-27（c ）所示若求线段AB 的实长和与V 面的倾角β，应将直线AB 变换成水平线（AB ∥H 1面）也即应该换H 面，建立V/H 1新投影体系，，基本原理和作图方法同上。

（a ） （b ） （c ）
图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线
2．将投影面的平行线变换为投影面垂直线
将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。

应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。

即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。

如图2-28（a）表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。

图2-28（b）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB，而AB为水平线，所以新投影面一定垂直于H面，故应换V面，用新投影体系V1/H更换旧投影体系V/H，其中O1X1⊥ab。

（a）（b）
图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线
3．将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）
如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。

先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。

如图2-29所示，先换V面，使直线AB在新投影体系V1/H中成为正平线，然后再换H 面，使直线AB在新投影体系V1/H2中成为铅垂线。

其作图方法详见图2-29（b），其中O1X1
a''。

∥ab，O2X2⊥11b
（a）（b）
图2-29直线的二次换面
4．将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）
将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。

我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线，必须经过两次变换，而将投影面平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。

因此，在平面内不取一般位置直线，而是取一条投影
面的平行线为辅助线，再取与辅助线垂直的平面为新投影面，则平面也就和新投影面垂直了。

如图2-30表示将一般位置平面△ABC 变换为新投影体系中的正平线段的情况。

由于新投影面V 1既要垂直于△ABC 平面，又要垂直于原有投影面H 面，因此，它必须垂直于△ABC 平面内的水平线。

作图步骤（如图2-30（b ））：
（1）在△ABC 平面内作一条水平线AD 线作为辅助线及其投影ad 、d a ''；
（2）作O 1X 1⊥ad ；
（3）求出△ABC 在新投影面V 1面上的投影1
a '、1
b '、1
c '，1a '、1b '、1c ' 三点连线必积聚为一条直线，即为所求。

而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面△ABC 与H 面的倾角α。

同理，也可以将△ABC 平面变换为新投影体系V/H 1中的铅垂面，并同时求出一般位置平面△ABC 与V 面的倾角β。

（a ） （b ）
（c ）
图2-30平面的一次换面（求倾角）
5．将投影面的垂直面变换为投影面平行面（求实形问题）
如图表示将铅垂面△ABC 变为投影面平行面（求实形）的情况。

由于新投影面平行于△ABC ，因此它必定垂直于投影面H ，并与H 面组成V 1/H 新投影体系。

△ABC 在新投影体系中是正平面。

图2-30（b ）为它的投影图。

作图步骤（如图2-31（b ））：
（1）在适当位置作O 1X 1∥1
a '1
b '1
c '； （2）求出△ABC 在H 1面的投影1a 、1b 、1c ，连接此三点，得△1a 1b 1c 即为△ABC 的实形。

（a ） （b ）
图2-31将投影面的垂直面变换为投影面平行面
6．将一般位置平面变换为投影面平行面（二次换面）
要将一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。

因为如果取新投影面平行于一般位置平面，则这个投影面也一定是一般位置平面，它和原体系V/H 中的哪个投影面都不垂直而无法构成新投影体系。

因此，一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。

如图2-32（a ）所示，先换V 面，其变换顺序为X H V →X 1H
V 1→X 221H V ，在H 2面上得到△222c b a =△ABC ，即△222c b a 是△ABC 的实形；
如图2-32（b ）所示，先换H 面，其变换顺序为X H V →X 11
H V →X 212H V ，在V 2面上得到△222
c b a '''=△ABC ，即△222c b a '''是△ABC 的实形。

（a ） （b ）
图2-32平面的二次换面 四、 应用举例
1. 点到平面的距离
确定点到平面的距离，只要把已知的平面变换成垂直面，点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。

图2-33，用变换V 面的方法，确定点D 到△ABC 的距离，作图步骤如下：
（1）由于△ABC 中的AC 为水平线，故直接取新轴O 1X 1⊥ac ；
（2）再作出D 面和△ABC 的新投影1d '和1a '1b '1c '（为一直线）；
（3）过点1
d '向直线1a '1b '1c '作垂线，得垂足的新投影1k '，投影1d '1k '之长即为所求的距离。

图2-33点到平面的距离
2. 点到直线的距离及其投影
例 如图2-34（a ）所示：
已知线段AB 和线外一点C 的两个投影，求点C 到直线AB 的距离，并作出C 点对AB 的垂线的投影。

分析：要使新投影直接反映C 点到直线AB 的距离，过C 点对直线AB 的垂线必须平行于新投影面。

即直线AB 或垂直于新的投影面，或与点C 所决定的平面平行于新投影面。

要将一般位置直线变为投影面的垂直线，必须经过二次换面，因为垂直一般位置直线的平面不可能又垂直于投影面。

因此要先将一般位置直线变换为投影面的平行线，再由投影面平行线变换为投影面的垂直线。

作图步骤：
（1）求C 点到直线AB 的距离。

在图2-34（b ）中先将直线AB 变换为投影面的正平线（∥V 1面），再将正平线变换为铅垂线（⊥H 2面），C 点的投影也随着变换过去，线段22k c 即等于C 点到直线AB 的距离；
（2）作出C 点对直线AB 的垂线的旧投影。

如图2-34（c ），由于直线AB 的垂线CK 在
新投影体系V 1H 2中平行于H 2面，因此CK 在V 1面上的投影11
d c ''∥O 2X 2轴，而与11d c ''⊥11b a ''。

据此，过1
c '点作O 2X 2轴的平行线，就可得到1k '点，利用直线上点的投影规律，由1k '点返回去，在直线AB 的相应投影上，先后求得垂足K 点的两个旧投影k 点和k '点，连接c 'k '、c k 。

c 'k '、c k 即为C 点对直线AB 的垂线的旧投影。

（a ） （b ）
图2-34求点到直线的距离及其投影
3. 两交叉直线之间的距离
两交叉直线之间的距离，应该用它们的公垂线来度量。

分析：
（1）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的垂直线时，不必换面即可直接求出两交叉直线之间的距离；
（2）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的平行线段时，只需要一次换面即可求
出两交叉直线之间的距离；
（3）当当两交叉直线都是一般位置直线时，则需要进行二次换面才能求出两交叉直线之间的距离。

例 如图2-35所示：
已知两条交叉直线AB 、CD ，求两直线间的距离。

作图方法和步骤：
（1）因为AB 、CD 两直线在V/H 体系中均为一般位置直线，所以需要二次换面。

先用V 1面代替V 面，使V 1面∥AB ，同时V 1⊥H 面。

此时AB 在新投影体系V 1/H 中为新投影面的平
行线。

在新投影体系中求出AC 、CD 的新投影11
b a ''、11d
c ''； （2）在适当的位置引新投影轴O 2X 2⊥11
b a ''，用H 2代替H 面，使H 2面⊥11b a ''，
图2-35两交叉直线之间的距离
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