人教新课标版数学高二-数学选修2-1专项训练2.1曲线与方程

1．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上
解析：选B.将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2
＝2，所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上，故选B.
2．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)、(－1，－1)
D ．(0,0)
解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，xy ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1.
3．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B.方程x ＋|y －1|＝0可化为|y －1|＝－x ≥0， ∴x ≤0，因此选B.
4．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( )
A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0
B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0
C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0
D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0
解析：选A.设P (x ，y )，则|PA |＝3|PO | 可化为
(x －1)2＋(y ＋2)2＝3
x 2＋y 2，
化简得8x 2＋2x ＋8y 2－4y －5＝0，故选A.
5．“点M 在曲线y ＝|x |上”是“点M 到两坐标轴距离相等”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.“点M 在曲线y ＝|x |上”⇒
⇐/“点M 到两坐标轴距离相等”．故选B. 6．若点P (2，－3)在曲线x 2－ky 2＝1上，则实数k ＝________. 解析：将P (2，－3)代入曲线方程得4－9k ＝1，∴k ＝1
3.
答案：13
7．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．
解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1. 又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0＋x
02，
y ＝y 0
－12，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x ，
y 0＝2y ＋1， 将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2(2x )2
＋1，
即y ＝4x 2. 答案：y ＝4x 2 8．给出下列结论： ①方程
y
x －2
＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2； ③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点． 其中正确的结论的序号是__________．
解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，∴原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2,0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y ＝2或
y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2
－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝±
2y ＝±
2，
∴方程表示四个点，所以③正确． 答案：③
9．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．
解：由x ＝
4－y 2，得x 2＋y 2＝4.
又x ≥0，∴方程x ＝
4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该
曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝1
2
π·4＝2π，所以所求图形的面积为2π.
10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN →
＝4，求动点P 的轨迹方程．
解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，∴MN →
＝(x ，－2y )， ∴OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2， 依题意知，x 2－2y 2＝4，
因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.
1．方程x 2|x |＋y 2
|y |＝1表示的图形是( )
A ．一条直线
B ．两条平行线段
C ．一个正方形
D ．一个正方形(除去四个顶点)
解析：选D.由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称 ，且x ≠0，y ≠0.当x ＞0，y ＞0时，方程可化为x ＋y ＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
2．已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是__________． 解析：由两点式，得直线AB 的方程是y －0
4－0＝x ＋1
2＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度
|AB |＝
(2＋1)2＋42＝5.
设点C 的坐标为(x ，y )，则1
2×5×|4x －3y ＋4|5＝10，
即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0. 答案：4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.
3．已知A ，B 两点的坐标分别为A (0，－4)，B (0,4)，直线MA 与MB 的斜率之积为－1，求点M 的轨迹方程．
解：设点M 的坐标为(x ，y )． 由A (0，－4)，B (0,4)，得k MA ＝y ＋4x ，k MB ＝y －4
x
. 又∵k MA ·k MB ＝－1， ∴y ＋4x ·y －4
x ＝－1， 化简，得x 2＋y 2＝16.
∵MA ，MB 都存在斜率，∴x ≠0， 故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16(x ≠0)．
4．若长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →
，求动点C 的轨迹方程．
解：设A ，B 两点的坐标分别为(a,0)，(0，b )， 则AC →＝(x －a ，y )，CB →
＝(－x ，b －y )，
∵AC →＝2CB →，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －a ＝－2x ，
y ＝2b －2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3x ，
b ＝32y .
又∵|AB |＝3，
∴a 2＋b 2＝9，
即9x 2
＋94y 2＝9，即x 2
＋y 2
4
＝1.
故动点C 的轨迹方程为x 2
＋y 2
4
＝1.。