安徽省明光市一中2017_2018学年高二数学上学期期末考试卷理(含解析)

明光中学2017-2018学年度高二期末考试卷
理科数学
第I卷（选择题）
一、选择题
1. 命题“，”的否定是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以量词和结论一同否定.
考点：全称命题和特称命题.
2. 已知两条直线：，：平行，则（）
A. -1
B. 2
C. 0或-2
D. -1或2
【答案】D
【解析】试题分析：由于两直线平行，故，解得，当时，两直线
重合，不符合题意，故.
考点：两直线的位置关系.
3. 双曲线的顶点到渐近线的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由题意，得，不妨设双曲线的一个顶点为，一条渐近
线方程为，所以所求距离为，故选D．
考点：1、双曲线的性质；2、点到直线的距离公式．
4. 设函数，则（）
A. 2
B. -2
C. 5
D.
【答案】D
【解析】∵
∴
∴
∴
故选D
5. 已知双曲线：，为坐标原点，点是双曲线上异于顶点的关于
原点对称的两点，是双曲线上任意一点，的斜率都存在，则的值为（
）
A. B. C. D. 以上答案都不对
【答案】B
【解析】设 ,则 ,因为
所以,即,选B.
点睛：求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
6. 如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，是以为圆心，1为半径的圆
上一动点，连结，则面积的最大值是（）
A. 8
B. 12
C.
D.
【答案】C
【解析】试题分析：因为直线与轴、轴分别交于两点，所以，，
即
，
，所以
．根据题意分析可得要面积的最大则点到直线的距
离最远，所以点在过点的的垂线上，过点作
于点，易证，所
以
，所以
，所以
，所以点到直线
的距离为
，所以
面积的最大值为，故选C ．
考点：1、一次函数；2、相似三角形的判定与性质．
7. 已知
是椭圆
的两个交点，过点F 2的直线与椭圆交于
两点，则
的周
长为（ ）
A. 16
B. 8
C. 25
D. 32 【答案】A
【解析】因为椭圆的方程我
，所以
，由题意的定义可得
的周长
，故选A.
8. 设
，则
是
的（ ）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要 【答案】A
..................
考点：充分必要条件．
9. 抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的交点，
且轴，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线的另一焦点为E，
因为抛物线y2=4px（p＞0）的焦点F（p，0），
把x=p代入y2=4px，解得y=±2p，
可取A（p，2p），又E（﹣p，0）．
故|AE|=2p，|AF|=2p，|EF|=2p．
所以2a=|AE|﹣|AF|=（2﹣2）p，2c=2p．
则双曲线的离心率e==+1．
故答案为：B。

10. 抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由得令，易得切点的横坐标为即切点
利用点到直线的距离公式得
故选C
11. 若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知圆（x+2）2+（y﹣1）2=1的圆心（﹣2，1），半径为1，
关于原点对称的圆心（2，﹣1），半径也是1，所求对称圆的方程：（x﹣2）2+（y+1）2=1 故答案为：A．
12. 已知函数（，），若对任意的，都有成立，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】f′（x）=2ax+b﹣，
由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；
∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1﹣4a；
令g（x）=2﹣4x+lnx（x＞0），则g′（x）=；
∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上单调递增；
当x＞时，g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）上单调递减；
∴g（x）≤g（）=1+ln=1﹣ln4＜0；
∴g（a）＜0，即2﹣4a+lna=lna+b+1＜0；
故lna＜﹣b﹣1，
故答案为：C。

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最
值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化
为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为
（需在同一处取得最值） .
第II卷（非选择题）
二、填空题
13. 过点的直线与圆交于两点，为圆心，当最小时，直线的
方程为____________．
【答案】
【解析】试题分析：根据余弦定理，所以当最小时，余弦值取得最大值
，对应角取得最小值.而最小，圆心到直线的距离最大，此时，所以
，所以直线的方程为.
考点：直线与圆的位置关系.
【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归
与转化的数学思想方法.题目的目标是最小值，利用余弦定理，先求出的余弦值，
即，通过分析可知，当最小时，余弦值取得最大值，对应角取得
最小值.而最小，圆心到直线的距离最大，此时，由此.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则
不等式的解集为__________．
【答案】或
【解析】由，得，即，令，
则当时，，即在上是减函数，，
，即不等式等价为，在是减函数，偶函数
是定义在上的可导函数，
，在
递增，由
得，，
或
，故答案为
或
.
15. 椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线
与双曲线
的一条渐近线平行，若椭圆于双曲线的离心率分别为，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设椭圆的长轴为，短轴为，双曲线的实轴
为
，虚轴为
，
椭圆的一个短轴端点为，直线
与双曲线的一条渐近线平行，
，即，平方可得，，由此得到，即，，
由，都是正数，
，当且仅当
，
即
时，等号成立，
的最小值
，故答案为
.
【易错点晴】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，
二是多次用或
时等号能否同时成立）.
16. 设经过点
的等轴双曲线的焦点为
，此双曲线上一点满足
，则
的面积___________．
【答案】15
【解析】设双曲线的方程为
，代入点
，可得
，
∴双曲线的方程为 ，即
设
，则
，
的面积为
即答案为3 三、解答题
17. 已知函数.
（1）当时，求
的图象在
处的切线方程；
（2）若函数
在上有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据切线的几何意义得到，
，根据点斜式可得到方程
；（2）根据题意研究函数的单调性，从而得到函数的图像的变化趋势，寻求和x 轴的交
点个数即可。

解析：
（1）∵， ，
∴
，
∴切线方程为，即
（2）∵
，
∴，
当时， ， 在上单调递增；
当时，
，
在
上单调递减.
因
在
上有两个零点，
所以，即.
∵，∴，即.
18. 已知圆，直线，且直线与圆交于两点.
（1）若，求直线的倾斜角；
（2）若点满足，求此时直线的方程.
【答案】（1）或；（2）或.
【解析】(1)由圆C：x2＋(y－1)2＝5，得圆的半径r＝，
又|AB|＝，故弦心距d＝＝.
再由点到直线的距离公式可得d＝，
∴＝，解得m＝±.
即直线l的斜率等于±，故直线l的倾斜角等于或.
(2)设A(x1，mx1－m＋1)，B(x2，mx2－m＋1)，由题意2＝可得2(1－x1，－mx1＋m)＝(x2－1，mx2－m)，
∴2－2x1＝x2－1，即2x1＋x2＝3.①
再把直线方程y－1＝m(x－1)代入圆C：x2＋(y－1)2＝5，化简可得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝
0，由根与系数关系可得x1＋x2＝.②
由①②解得x1＝，故点A的坐标为(，)．
把点A的坐标代入圆C的方程可得m2＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
19. 已知椭圆（﹥﹥0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为可得从
而求得的值，进而可得求椭圆的方程；（2）直线的方程为，由点到直线距
离公式可得与椭圆方程联立可得，再根据弦长公式
可得，从而可得，进而可得△面积的最大值.
试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，
∴所求椭圆方程为．
（2）设，，
①当⊥轴时，为，代入，得，∴；
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，
由已知，得，
把代入椭圆方程，整理，
，，，
∴
，
当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
综上所述．
∴当最大时，△面积取最大值．
考点：1、待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式；2、点到直线距离公式及基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式、点到直线距离公式及基本不等式求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
20. 已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为，当
时，求的值。

【答案】（1）；（2）3.
【解析】试题分析：（1）由右顶点为得a，由渐近线方程解得b.（2）将直线方程与双曲
线联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用中点坐标公式求，代入
直线方程得，最后求比值
试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为:，所以
，又右顶点为，所以，即 （2）直线与双曲线联立方程
组消y 得 的值为
21. 如图所示，已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点，过点作轴
的平行线与直线
相交于点
为坐标原点)．
（1）证明: 动点在定直线上；
（2）作的任意一条切线(不含轴), 与直线相交于点
与（1）中的定直线相交于点
．证明:
为定值, 并求此定值．
【答案】（1） ；（2）8.
【解析】试题分析：（1）依题意可设
的方程为
，代人
，得即
，
设，则有，直线的方程为的方程为，解得交点的
坐标，利用，即可求得点在定直线上；（2）依据题意得，切线的方程为
，代入
得即
．由
得
，分别令得得
的坐标为
，从而可知为定值．
试题解析：（1）依题意可设
的方程为
，代人
，得
，
即，设，则有，
直线的方程为的方程为，解得交点的坐标为，
注意到及，则有，
因此点在定直线上．
（2）依题意,切线的斜率存在且不等于．
设切线的方程为，代人得，即．
由得，化简整理得．故切线的方程可写为．
分别令，得的坐标为，
则，即为定值．
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，其中解答中涉及到抛物线的方程及其几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题能力，以及推理与论证能力和数形结合思想，此类问题的解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，转化为根与系数的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
视频。