使用“基本不等式”解题时易错点分析

使 用 “基 本 不 等 式 ”解 题 时 易 错 点 分 析
黄翠花
摘 要:作者结合多年的教学实践,在阐述基本不等式内容的基础上,阐述了基本 不 等 式 解 题 的 易 错 点,然 后 典 型 例 题 分 析 了 基 本 不 等 式 的 正 确 解 法 ,以 期 为 学 生 提 供 些 许 指 导 .
关 键 词 :基 本 不 等 式 ;易 错 点 ;解 题 方 法
基本不等式是 高 中 数 学 的 重 要 内 容,许 多 函 数 最 值、较 为复杂的不等式、数列极限等问题都能找 到 基 本 不 等 式 的 影
子,并通过使用基本不等式的性质来 得 到 解 答. 基 本 不 等 式
内容简单,但变式多样,而且在满足特 定 限 制 条 件,即“一 正,
３ x
)
≤
－２
－x������
３ －x
＝－２ ３,
只
有
当
－x＝
－
３ x
时 ,也 即 x＝ －
３才 能 相 等 .
所以函数的最大值是２ ３,最小值是－２ ３.
现 场 纠 错 :１
函
数
y
＝８－
x ２
－
２ x
(x
＞０)的
最
大
值
是 .
(二 )忽 视 “二 定 ”条 件
例２ 若正 数 x,y 满 足x＋３y＝５xy,则 ３x＋４y 的 最
二定,三相等”时才能够使用,许多学生 由 于 对 基 本 不 等 式 的
使 用 条 件 理 解 不 透 彻 ,导 致 做 题 过 程 中 出 现 错 误 .
一 、基 本 不 等 式 的 内 容
(一)基本不等式:a２＋b≥ ab 成立条件:a＞０,b＞０,当且仅当a＝b 时取等号. (二 )利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 问 题 :
时
,f
(x)min＝
a ２
.
现场纠错:３若函数f(x)＝x＋x１－２(x＞２)在x＝a 处 取 得 最 小 值 ,则 a＝ . 三 、结 束 语
上述情况为基本不等式常见的错误,错 解 的 原 因 往 往 是
考虑情况不到位,忽 视 常 数 的 取 值 范 围 而 直 接 去 套 用 公 式.
因此学生一定要深刻 理 解 “一 正,二 定,三 相 等 ”的 本 质 含 义
且
仅当x＝xa ,即x＝ a 时取 等 号.所 以 函 数 f(x)的 最 小 值
为２ a －２.
错因:没有考虑x＝ a 是否能够成立.
分析,因x∈(０,２],所 以 只 有 当 ０＜a≤４ 时,x＝ a 才 能 成 立 ,因 此 正 确 的 解 法 为 :
f(x)＝x２
－x２x＋a＝x＋
a x
－２≥２
周刊
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已 知 x＞０,y＞０,则 １．如果积xy 是定 值p,那 么 当 且 仅 当 x＝y 时,x＋y
有最小值是２ p .(简记:积定和最小) ２．如果和x＋y 是 定 值p,那 么 当 且 仅 当 x＝y 时,xy
有最大值是p２ .(简记:和定积最大) ４
这 三 个 条 件 简 称 为 “一 正 ,二 定 ,三 相 等 ”.
选 C.
现
场
纠
错
:２
已
知 a＞０,b＞０,且 a＋b＝１,求
１ a
＋
２ b
的
最小值.
(三 )忽 视 “三 相 等 ”条 件
例３ 已知函数f(x)＝x２－x２x＋a,x∈(０,２],其 中 常
数 a＞０. 求 函 数 f(x)的 最 小 值 .
错
解
:Hale Waihona Puke (x)＝x２－x２x＋a＝x
＋
a x
－２≥２
a
－２,当
二 、典 型 例 题 剖 析
(一 )忽 视 “一 正 ”条 件
例１ 求函数f(x)＝x＋x３ 的最值.
错
解
:此
式
x
与３ x
的
积
为
定
值
３,因
此
根
据
积
定
和
最
小
可知,
f(x)＝x＋x３ ≥２ x������x３ ＝２ ３,所 以 函 数 的 最 大 值
为２ ３. 错因:忽视了 使 用 基 本 不 等 式 时 “一 正 a＞０,b＞０”的
正 解:因 为 x ＞ ０,y ＞ ０,由 x ＋ ３y ＝ ５xy,得
( ) １
５
１３ y ＋x
＝１. 所 以
( ) ３x ＋ ４y
＝
１ ５
(３x
＋ ４y )
１３ y ＋x
１３ ＝５＋
( ) １
５
３yx＋１x２y
１３ １ ≥ ５ ＋ ５ ×２
３x������１２y yx
＝５.
只有当 x＝２y 时 取 等 号,所 以 ３x＋４y 的 最 小 值 是 ５.
小值是
( )
２４
２８
A．５ B．５ C．５ D．６
错解:由基本不等 式:x＋３y≥２ x������３y ＝２ ３xy ,所
以５xy≥２ ３xy ,解得xy≥１２２５,则３x＋４y≥２ ３x������４y ≥
２
１２ １２×２５
＝２５４.
所以选 A.
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出 错原因:只有满足x 和y 为固定值的时候才能运用基 本 不 等 式 ,解 题 者 忽 视 了 这 一 条 件 ,因 此 导 致 解 题 出 错 .
条件. 正解:函数 的 定 义 域 为 (－ ∞,０)∪ (０,＋ ∞ ),当 x＞０
时 ,根 据 基 本 不 等 式 可 得 :
f(x)＝x＋x３ ≥２
x������
３ x
＝２
３,当
且
仅
当
x＝
３ x
,即
x＝ ３时,取等号;
当x
＜０
时,－ x
＞ ０,所
以
f
(x )＝ x
＋
３ x
＝
[ ] ( ) －
－x＋ (－
a
－２,当 且
仅当x
＝xa ,即x＝ a 时 取 等 号. 当 ０＜ a ≤２,即 ０＜a≤４ 时,
f(x)的最小值为２ a －２;
当 a ≥２,即a≥４时,f(x)在(０,２]上单调递减,所以当 x＝２ 时 ,
f(x)取
得
最
小
值
为a ２
.
综上所述:当０＜a≤４ 时,f (x)min＝２ a －２;当 a≥４