初三数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题含答案

初三数学反比例函数的专项培优易错难题练习题含答案
一、反比例函数
1．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y= （k≠0）（x＞0）相交于点A、C，与x轴相交于点B、D，连接AC．已知点A、B的刻度分别为5，2（单位：cm），直尺的宽度为2cm，OB=2cm．
（1）求k的值；
（2）求经过A、C两点的直线的解析式；
（3）连接OA、OC，求△OAC的面积．
【答案】（1）解：∵AB=5﹣2=3cm，OB=2cm，
∴A的坐标是（2，3），
代入y= 得3= ，
解得：k=6
（2）解：OD=2+2=4，
在y= 中令x=4，解得y= ．
则C的坐标是（4，）．
设AC的解析式是y=mx+n，
根据题意得：，
解得：，
则直线AC的解析式是y=﹣ x+
（3）解：直角△AOB中，OB=2，AB=3，则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3；
直角△ODC中，OD=4，CD= ，则S△OCD= OD•CD= ×4× =3．
在直角梯形ABDC中，BD=2，AB=3，CD= ，则S梯形ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2= ．
则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=
【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．
2．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；
（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．
（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，
所以双曲线的解析式为y= ；
（2）2
（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），
抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，
把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，
即a的值为6± ；
（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，
把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；
把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2
；
∵G1与G2有两个交点，
∴3+ ≤a≤12﹣2 ，
设直线DE的解析式为y=px+q，
把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，
∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，
∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，
∴M（a，﹣ a+5），N（a，），
∵MN＜，
∴﹣ a+5﹣＜，
整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，
∴a＜4或a＞9，
∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．
【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），
而D（3，4），
所以BE= =2 ．
故答案为2 ；
【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的
解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5
﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．3．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）
（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．
【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，
∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；
（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；
（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，
∴OE= OA= ，点D（，2），
∴点B（3，4），
又∵点F在正比例函数y= x图象上，
∴F（，），
∴DF= 、BC=3、EA= ，
∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、
BC、EA，代入梯形面积公式即可.
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=
．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，
在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，
∴AD= OA=4，
∴OD= =3，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，
所以反比例函数解析式为y=﹣；
把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，
把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y=﹣x+2
（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6
（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值
【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），
再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．
（1）直接写出点的坐标________点 C的坐标________；
（2）若反比例函数的图象经过点，求k的值；
（3）如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，
设，
∵ =12，
∴EC=12-x，
在RtΔBEC中，，
∴
整理得：，
解得：（不合题意舍去），，∴，，
∴，
把代入，得
（3）解：存在．
如图2，
若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=2或OP=6，
∴P（0，2）或P（0，6）；
如图3，
若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=12，
∴P（0，12）；
如图4，
若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，
则，即，
解得：OP=4+2 或OP=4-2 （不合题意舍去），
∴P（0，4+2 ）；
如图5，
若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则，即，
解得：OP=-4+2 或-4-2 （不合题意舍去），
则P点坐标为（0，4-2 ）
故点的坐标为：或或或或
【解析】【解答】解：（1）解一元二次方程，
解得：，
所以，
所以，；
【分析】（1）首先利用直接开平方法求出方程的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A,C两点的坐标；
（2）如图，过点作，垂足为，根据等腰直角三角形的性质得出，设，EC=12-x，在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE,OE 的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在
OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根
据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P 点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比
例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案。

6．如图，直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．
（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；
（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；
（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．
【答案】（1）解：把（a，3）代入 =－，得，解得a=－2；
（2）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，
则∠ADO=∠CEO=90°，
∴∠DAO+∠AOD=90°，
∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，
当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，
∴△ADO≌△OEC，
又k=－，由y=－ x和y=－解得，，所以A点坐标为（－
2，3），
由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，
所以C（-3，-2）；
（3）解：连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，
则∠ADO=∠CEO=90°，
∴∠DAO+∠AOD=90°，
∵直线 y=kx与双曲线 =－交于A、B两点，∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，
∴△ADO∽△OEC，
∴，
∵∠ACO= ∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴，
∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－ n，OD=－ m，
∴A（ n，－ m），代入y=－中，
得mn=18.
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出a的值；
（2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而利用AAS判断出△ADO≌△OEC，，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出A 点的坐标，由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，进而得出C点坐标；
（3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，根据垂直的定义得出∠ADO=∠CEO=90°，故∠DAO+∠AOD=90°，根据双曲线的对称性得出OA=OB，△ABC为等边三角形，故CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC，从而判断出△ADO∽△OEC，根据相似三角形的旋转得出
,根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出
,C的坐标为（m，n），故CE=-m，OE=-n，AD=－ n，OD=－m，从而得出A点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x与反比例函数y= 在第一象限内的图象相交于点A（m，3）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）将直线y= x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，连接AB，这时恰好AB⊥OA，求tan∠AOB的值；
（3）在（2）的条件下，在射线OA上存在一点P，使△PAB∽△BAO，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（m，3）在直线y= x上
∴3= m，
∴m=3 ，
∴点A（3 ，3），
∵点A（3 ，3）在反比例函数y= 上，
∴k=3 ×3=9 ，
∴y=
（2）解：直线向上平移8个单位后表达式为：y= x+8
∵AB⊥OA，直线AB过点A（3 ，3）
∴直线AB解析式：y=﹣ x+12，
∴ x+8=﹣ x+12，
∴x= ．
∴B（，9），
∴AB=4
在Rt△AOB中，OA=6，
∴tan∠AOB=
（3）解：∵△APB∽△ABO，
∴，
由（2）知，AB=4 ，OA=6
即
∴AP=8，
∵OA=6，
∴OP=14，
过点A作AH⊥x轴于H
∵A（3 ，3），
∴OH=3 ，AH=3，
在Rt△AOH中，
∴tan∠AOH= = = ，
∴∠AOH=30°
过点P作PG⊥x轴于G，
在Rt△APG中，∠POG=30°，OP=14，
∴PG=7，OG=7
∴P（7 ，7）．
【解析】【分析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）先求出直线AB解析式，进而得出点B坐标秒即可得出结论；（3）利用相似三角形的性质得出AP，进而求出OP，再求出∠AOH=30°，最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．
8．如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣2，0），点B（0，2 ）.
（1）直接写求∠BAO的度数；
（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2， S1与S2有何关系？为什么？
（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断.
【答案】（1）解：∵A（−2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝60°
（2）解：S1＝S2；
理由：∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴OA'＝OA＝ AB，△AOA'是等边三角形，
∴OA'＝AA'＝AO＝A'B，
∵∠B'A'O＝60°，∠A'OA＝60°，
∴B'A'∥AO，
根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，即△A B′O中AO边上高和△BA′O中BA′边上的高相等，
∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2
（3）证明：S1＝S2不发生变化；
理由：如图，过点A'作A'M⊥OB.过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N，
∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，
∴BO＝OB'，AO＝OA'，
∵∠AON＋∠BON＝90°，∠A'OM＋∠BON＝90°，
∴∠AON＝∠A'OM，
在△AON和△A'OM中，，
∴△AON≌△A'OM（AAS），
∴AN＝A'M，
∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2.
【解析】【分析】（1）先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；（2）根据旋
转的性质和直角三角形的性质可证得OA'＝AA'＝AO＝A'B，然后根据等边△AOA'的边AO、AA'上的高相等，即可得到S1＝S2；（3）根据旋转的性质可得BO＝OB'，AA'＝OA'，再求出∠AON＝∠A'OM，然后利用“角角边”证明△AON和△A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明.
9．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE
（1）求证:直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；
①求证:△CBH∽△OBC；
②求OH+HC的最大值.
【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）证明：①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
解：②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB= ，
∴OH=OB-HB=
∵CB=CH，
∴OH+HC=
当∠BOC=90°，
此时BC=
∵∠BOC＜90°，
∴0＜BC＜
令BC=x
∴OH+HC= = =
当x=2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，
从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：
，所以HB= ，
由于BC=HC，所以OH+HC=
利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
10．如图，在平面直角坐标系中抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C， A、B两点横坐标为-1和3，C点纵坐标为-4.
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求D点坐标，并求△BCD 面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC=45°，如果存在，求出点Q的坐标，不存在说明理由.
【答案】（1）解：由图像可知：A，B，C，三点的坐标分别是（-1，0），（3，0），（0，-4），
将A，B，C三点坐标代入抛物线
得：，解之得：
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，作DH垂直AB于H，
设D点坐标为（x，y），
则有：OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，HB=3-x，
∴梯形CDHO为直角梯形，
∴
即：
又∵D点在抛物线上，
∴
∴当时，△BCD面积有最大值，是，
∴
所以D点坐标为：（，-5）
（3）解：由函数关系式：化简得：，∴对称轴为：，
如图示：作出对称轴，交x轴于F点，连接CB，交对称轴于E点，
∴由B，C，的坐标分别是（3，0），（0，-4），设BC的函数解析式为：则：，解之得：
∴BC的函数解析式为：，当时，，
∴E点坐标为：（1，），
∴BF=2，FE= ，
∴，
即：
∴存在一点Q，使得∠QBC=45°，并且点Q在FE之间，
设Q点坐标为：（1，）
∴，，
∵直线BQ和BC的交角为，
∴
即：
化简得：，
∴Q点坐标为：（1，）
【解析】【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入抛物线，即可求出；（2）作DH垂直AB于H，设D点坐标为（x，y），则有OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，由
，，化简即可出；（3）由函数
关系式：化简得对称轴为，作出对称轴，交x轴于F点，连接CB，交对称轴于E点，求出BC的函数解析式，则可以知道E点坐标为：（1，
），所以存在一点Q，使得∠QBC=45°，并且点Q在FE之间，设Q点坐标为：（1，），求出线段的斜率，线段的斜率，利用两直线相交交角为，得到
，化简即可。

11．综合与探究
如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为( ，0).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；
（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( ，0)，
∴，
解得：；
∴ .
（2）解：ΔAA′B是等边三角形；
∵，
解得：，
∴A( )，B( )，
过点A分别作AC⊥轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D，
∴AC= ，OC= ，
在RtΔAOC中
OA= ，
∵点A′与点A关于原点对称，
∴A′( )，AA′= ，
∵B( )，
∴A′B=2-(- )= ，
又∵A( )，B( )，
∴AD= ，BD= ，
在RtΔABD中
AB= ，
∴AA′=A′B=AB，
∴ΔAA′B是等边三角形
（3）解：存在正确的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况；设点P的坐标为：（x，y）．
①当A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点P为：；
②当AB为对角线时，有，
解得：，
∴点P为：；
③当AA′为对角线时，有，
解得：，
∴点P为：；
综合上述， , ,
【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）先求出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股
定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：①当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；②当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；
③当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1， y1）和N（x2， y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．
∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．
∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）
∴y=-x2-6x-5．
（2）解：如图1，
依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．
∴抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．
∴b＞0．
记平移后的抛物线顶点为P，
∴点P的坐标（，），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴ =
∴b=2．
∴点P的坐标（1，1）．
（3）解：如图2，
当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．
∴抛物线的对称轴为直线 x=2．
∵点M（x1， y1）和N（x2， y2）在抛物线上，
且x1＜2，x2＞2，
∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．
∵x1+x2＞4，
∴2-x1＜x2-2，
∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，
∴y1＞y2．
【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．。