2018版高考数学一轮复习课件：第5章 第3节 等比数列及其前n项和

高三一轮总复习
(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为 a1，公比为 q，所以 a3＝a1q2，a6＝a1q5， 所以 27a1q2＝a1q5，所以 q＝3，由 Sn＝a111－－qqn，得 S6＝a111－－336，S3＝a111－－333， 所以SS63＝a111－－336·a111－－333＝28.]
A．4
B.5
C．6
D.7
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第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
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(2)(2016·天津高考)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q<0”是“对 任意的正整数 n，a2n－1＋a2n<0”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得aa11q＋2＝a17q， ＋a1q①2＝21， ② ②÷①得1＋qq＋2 q2＝3. 整理得 2q2－q－1＝0， 解得 q＝1 或 q＝－12.
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第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
突
破
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第一页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于
_同__一__个__常___数_ (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 _公__比___，通常用字母 q 表示，定义的表达式为__a_an_＋n_1＝__q_ (n∈N*，q 为非零常数)．
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抓
基 础
· 自 主
第三节 等比数列及其前 n 项和
学
课
习
时
[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 分
层
明 考
n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数
训 练
向 ·
列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．
题
型
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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[规律方法] 等比数列的判定方法
(1)定义法：若aan＋n1＝q(q 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an} 是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常数，n ∈N*)，则{an}是等比数列． 说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题 中的判定．
因此{an}是首项为1－1 λ，公比为λ－λ 1的等比数列，
于是 an＝1－1 λλ－λ 1n－1.7 分
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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(2)由(1)得 Sn＝1－λ－λ 1n.9 分 由 S5＝3312得 1－λ－λ 15＝3312，即λ－λ 15＝312.10 分 解得 λ＝－1.12 分
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第五页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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2．(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{an}的公比为－12，则aa12＋ ＋aa34＋ ＋aa56的值 是( )
A．－2
B.－12
1
C.2
D.2
A [aa12＋＋aa34＋＋aa56＝－12a1a＋1＋a3a＋3＋a5a5＝－2.]
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第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
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[规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性 质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题 速度．
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第八页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝__________.
6 [∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 又∵Sn＝126，∴211－－22n＝126，解得 n＝6.]
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3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m (n，m∈N*)． (2)若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ ap·aq ＝ a2k ； (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，a1n，{a2n}，{an·bn}，abnn (λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k， an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
∴q＝－23或 q＝2.∵an>0，∴q＝2，则 a1＝1，∴a8＝27＝128.
(2)设等比数列的公比为 q，则有aa211·＋q3a＝1q83，＝9，
解得qa＝1＝21，
a1＝8， 或q＝12.
又{an}为递增数列，∴aq1＝＝21，， ∴Sn＝11－－22n＝2n－1.]
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第十一页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
a1＝2， q＝2
a1＝18， 或q＝－23
(舍去)，所以 a6＝a1q5＝64，故选 A.]
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第七页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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4．(教材改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列， 则这两个数为__________．
27,81 [设该数列的公比为 q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为 9×3＝27,27×3＝81.]
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第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
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等比数列的性质及应用
(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{an}中， 若 am＋1·am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前 n 项积为 Tn，若 T2m－1＝512，则 m 的值为
()
(2)若对任意的正整数 n，a2n－1＋a2n<0，则 a1＋a2<0，又 a1>0，所以 a2<0，所 以 q＝aa21<0.若 q<0，可取 q＝－1，a1＝1，则 a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正 整数 n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数 n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不 充分条件．故选 C.]
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[规律方法] 1.等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1，n，q， an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
2．在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论， 在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．
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第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
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(1)B (2)C [(1)由等比数列的性质可知 am＋1·am－1＝a2m＝2am(m≥2)，所以 am ＝2，即数列{an}为常数列，an＝2，所以 T2m－1＝22m－1＝512＝29，即 2m－1＝9，所 以 m＝5，故选 B.
(2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即 G 是 a 与 b 的等比中项⇒a，G，b 成等比数列⇒ G2＝ab .
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第二页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ a1qn－1 . (2)前 n 项和公式：
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第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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等比数列的判定与证明 (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan，其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5＝3312，求 λ.
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
有 a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又SSnn＝＋1＝4a4n－a1n＋＋22，n≥2，
① ②
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第二十页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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①－②，得 an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).3 分 ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项 b1＝3，公比为 2 的等比数列.6 分
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第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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[变式训练 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设 bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：由 a1＝1 及 Sn＋1＝4an＋2，
和等于__________．
【导学号：01772183】
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第十页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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(1)C (2)2n－1 [(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3 ＝7，∴S2＝a111－－qq2＝3，∴q42(1－q2)＝3(1－q)，即 3q2－4q－4＝0，
高三一轮总复习 [解] (1)证明：由题意得 a1＝S1＝1＋λa1，2 分 故 λ≠1，a1＝1－1 λ，故 a1≠0.3 分
由 Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1 得 an＋1＝λan＋1－λan， 即 an＋1(λ－1)＝λan.5 分
由 a1≠0，λ≠0 得 an≠0，所以aan＋n 1＝λ－λ 1.
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第四页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．( ) (2)G 为 a，b 的等比中项⇔G2＝ab.( ) (3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( ) (4)数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n 项和为 Sn＝a11－－aan. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
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第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二十八 分。
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(2)由(1)知 bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴a2nn＋ ＋11－a2nn＝34， 故a2nn是首项为12，公差为34的等差数列.9 分 ∴a2nn＝12＋(n－1)·34＝3n－ 4 1， 故 an＝(3n－1)·2n－2.12 分
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第六页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则 a6
＝( )
A．64
B.128
C．256
D.512
A [设等比数列的首项为 a1，公比为 q，则由aa31＝＋aa12q＝2＝a1＋ 8，a1q＝6， 解得
第十二页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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[变式训练 1] (1)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项和 S3＝21，则公比 q 的值 为( )
A．1
B.－12
C．1 或－12
D.－1 或12
(2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 27a3－a6＝0，则SS63＝__________.
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第九页，编辑于星期六：二十二点 二十八分。
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等比数列的基本运算
(1)(2016·安徽皖江名校联考)已知 Sn 是各项为正数的等比数列{an}的前
n 项和，a2·a4＝16，S3＝7，则 a8＝( )
A．32
B.64
C．128
D.256
(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前 n 项