2020年安徽省黄山市高考数学一模试卷(理科)

2020年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.） 1．（5分）已知复数z 满足(1)3i z i +=-g ，则||(z = ) A ．5
B ．3
C ．5
D ．3
2．（5分）设U R =，2{|40}A x x x =-<，{|1}B x x =„，则()(U A B =⋂ð ) A ．{|04}x x <„
B ．{|14}x x <„
C ．{|04}x x <<
D ．{|14}x x <<
3．（5分）已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则( ) A ．b c a << B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
4．（5分）函数cos sin 2x
x
y =
的图象大致是( ) A ． B ．
C ．
D ．
5．（5分）裴波那契数列()Fibonaccisequence 又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多g 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是( ) A ．
1
4 B ．13
C ．
12
D ．
23
6．（5分）将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75︒得到OB u u u r
，则(OB =u u u r )
A ．62
(2
B ．26(2-
C ．62(
2
D ．26
(
2 7．（5分）已知数列{}n a 满足2*12222()n n a a a n n N ++⋯+=∈，数列2211
log log n
n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n
项和为n S ，则2019(S = )
A ．
2019
2020
B ．
12019
C ．
1
2020
D ．
2018
2019
8．（5分）已知函数()f x 在R 上满足2(4)2()25f x f x x x -=-+，则曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程是( )
A ．y x =-
B ．4y x =-
C ．38y x =-
D ．512y x =-
9．（5分）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)22ππ
-上单调递增，且图象关于x π=-对称，
则ω的值为( ) A ．
2
3 B ．53
C ．2
D ．83
10．（5分）如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为
球的体积的3
8
，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．（5分）已知函数3
()||||2f x ln x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．2
(0,)e
B ．2
(,)e -∞
C ．12
(0,)e
D ．12
(,)e -+∞
12．（5分）如图，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为双曲线22
22:1(,0)x y a b a b Γ-=>的左、右焦点，过
点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ，设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点(A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =，则双曲线Γ的离心率为( )
A ．5
B 265
C ．2623
D ．263
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．（5分）已知函数21()1,0
()22,0
x
x f x x lnx x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩„则((1))f f -= ．
14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件：0401
x y x y y -⎧⎪
+-⎨⎪⎩…
„…，则22x y z -+=的最大值为 ．
15．（5分）函数211y x =-+与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是 ．
16．（5分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）
17．（12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin C A b
B A a c
-=
-+， （1）求角C 的大小；
（2）若3c =，求a b +的取值范围．
18．（12分）田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等．于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注．假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示： 田忌的马/获胜概率/
公子的马 上等马
中等马
下等马
上等马
0.5
0.8
1
中等马 0.2 0.5 0.9 下等马
0.05
0.4
比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．
（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；
（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 19．（12分）已知C 是以AB 为直径的圆周上一点，3
ABC π
∠=，PA ⊥平面ABC ．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若异面直线PB 与AC 所成的为
3
π
，求二面角C PB A --的余弦值．
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，过点2
()2-．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为F ，定点(2,0)P ，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ，证明：直线BQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
21．（12分）函数21
()(1)2f x ax a x lnx =+--．
（1）求()f x 的单调区间；
（2）在函数()f x 的图象上取1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两个不同的点，令直线AB 的斜率为k ，则在函数的图象上是否存在点0(P x ，0)y ，且12
02
x x x +=
，使得0()k f x ='？若存在，求A ，B 两点的坐标，若不存在，说明理由．
考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(1,1)P 且倾斜角为α的直线．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 与直线l 相交于M ，N 两点，求||||PM PN +的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|21||2|f x x x =++- （1）解不等式()5f x <；
（2）若23()32f x a a --…恒成立，求a 的取值范围．
2020年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.） 1．（5分）已知复数z 满足(1)3i z i +=-g ，则||(z = )
A ．5
B ．3
C
D 【解答】解：由(1)3i z i +=-g ，得31i
z i
-=
+，
3|3|
|||
|1|1|i i z i i --∴====++． 故选：C ．
2．（5分）设U R =，2{|40}A x x x =-<，{|1}B x x =„，则()(U A B =⋂ð ) A ．{|04}x x <„
B ．{|14}x x <„
C ．{|04}x x <<
D ．{|14}x x <<
【解答】解：集合2{|40}{|04}A x x x x x =-<=<<，
U R =Q ，{|1}B x x =„， {|1}U B x x ∴=>ð， (){|14}U A B x x ∴=<<I ð，
故选：D ．
3．（5分）已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则( ) A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【解答】解：0.30221a =>=Q ， 2000.30.31b <=<=， 0.30.3log 2log 10c =<=，
c b a ∴<<． 故选：D ． 4．（5分）函数cos sin 2
x
x
y =
的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：cos()
cos sin()sin ()()22
x x x x
f x f x ----=
==-则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ．
当0x >在0的右侧，当0x →，()0f x >，排除D ， 故选：C ．
5．（5分）裴波那契数列()Fibonaccisequence 又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多g 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是( ) A ．
1
4 B ．13
C ．
12
D ．
23
【解答】解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，
∴数列{}n a 的前40项为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，
10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269， 2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155， 其中能被3整除的有10个，分别为：
3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352． ∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是101
404
P =
=． 故选：A ．
6．（5分）将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75︒得到OB u u u r
，则(OB =u u u r )
A
．( B
．( C
． D
． 【解答】解：将向量(1,1)OA =u u u r 绕原点O 顺时针方向旋转75︒得到OB u u u r
， 设(,)OB x y =u u u r
，则30)x -︒=
，30)y =-︒=．
∴OB =u u u r
，2
-．
故选：C ．
7．（5分）已知数列{}n a 满足2*12222()n n a a a n n N ++⋯+=∈，数列2211
log log n
n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n
项和为n S ，则2019(S = ) A ．
2019
2020
B ．
12019
C ．
1
2020
D ．
2018
2019
【解答】解：212222n n a a a n ++⋯+=Q ，
1n ∴=时，121a =，解得112
a =
， 2n …时，211212221n n a a a n --++⋯+=-，
两式相减，得：21n n a =，∴1
2n n
a =， ∴
22122111111
11(1)1
22
n n n n log a log a n n n n log log ++===-++g ，
∴数列2211
log log n
n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：
11111111(1)()()()122334111n n
S n n n n =-+-+-+⋯+-=-=
+++， 20192019
2020
S ∴=
． 故选：A ．
8．（5分）已知函数()f x 在R 上满足2(4)2()25f x f x x x -=-+，则曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程是( )
A ．y x =-
B ．4y x =-
C ．38y x =-
D ．512y x =-
【解答】解：2(4)2()25f x f x x x -=-+，①
把4x -替换成x ，得22()2(4)2(4)5(4)2(4)21112f x f x x x f x x x =---+-=--+-，②
①代入②，得2()274f x x x =-+，
()47f x x '=-，f '（2）1=，f （2）81442=-+=-，
故曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程为(2)24y x x =--=-， 即4y x =-， 故选：B ．
9．（5分）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)22ππ
-上单调递增，且图象关于x
π=-对称，
则ω的值为( ) A ．
2
3 B ．53
C ．2
D ．83
【解答】解：要使函数()sin()(0)6f x wx w π
=+>的递增，
则22()2
6
2
k x k k Z π
π
π
πωπ-
++
+∈剟，化简得：222()33k k x k Z ππππ
ωωωω
-
++∈剟， 已知在(,)22ππ-单增，所以232
32
π
πωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩„…，故203ω
剟， 又因为图象关于x π=-对称，()6
2x k k Z π
π
ωπ+=
+∈，所以1
3
k ω=--， 因为0ω>，此时1k =-，所以23
ω=， 故选：A ．
10．（5分）如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为
球的体积的3
8
，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解答】】解：设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ，上面圆锥的高为h ，则下面圆锥的高为2R h -，
在△1OO C 中，有222()R r R h =+-，得222r Rh h =-．
两个圆锥体积和为22111
22(2)33V r R
R Rh h ππ==-g g g
球的体积324
3
V R π=．
由题意，213212(2)3
3483R Rh h V V R ππ-==g g ．
所以224830h Rh R -+=，即2
R h =
． 所以下面的圆锥的高为3
2
R ．
则这两个圆锥高之差的绝对值为3||622R
R R -==．
故选：C ．
11．（5分）已知函数3
()||||2f x ln x a x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．2
(0,)e
B ．2
(,)e -∞
C ．12
(0,)e
D ．12
(,)e -+∞
【解答】解：由题意，可知||0x >， 令||t x =，则0t >． 故32
y lnt at =-+
， Q 函数3
()||||2f x ln x a x =-+有4个零点，
3
2
y lnt at ∴=-+
有2个零点． 即曲线y lnt =与直线3
2
y at =-有2个交点． 根据题意，画图如下：
则直线在32y =-与直线3
2
y at =-与曲线y lnt =相切之间即有2个交点．
①当直线在3
2
y =-时，0a =；
②当直线3
2
y at =-
与曲线y lnt =相切时，设切点为0(t ，0)y ． 对于曲线1
:y lnt y t ='=，001|t t y t ='=．
∴曲线y lnt =在切点0(t ，0)y 的切线方程为：
000
1
()y y t t t -=
-， 整理，得00
1
1y t lnt t =
-+， 03
12
lnt ∴-+=-，解得1
20t e -=．
1
210
2
11
a e t e -∴===．
∴实数a 的取值范围为12
(0,)e ．
故选：C ．
12．（5分）如图，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为双曲线22
22:1(,0)x y a b a b Γ-=>的左、右焦点，过
点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ，设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点(A 、B 位于线段1F P 上），若1||:||:||2:2:1F A AB BP =，则双曲线Γ的离心率为( )
A ．5
B ．
265
C ．2623+
D ．263+
【解答】解：由1||:||:||2:2:1F A AB BP =，可设||BP t =，||2AB t =，1||2F A t =， 由双曲线的定义可得21||||242F B F B a t a =-=-， 21||||222F A F A a t a =+=+，
直线l 与圆222()x c y r -+=相切于P ，可得2||PF r =，且1290F PF ∠=︒， 在直角三角形2PBF 中，222(42)t r t a +=-， 在直角三角形2PAF 中，2229(22)t r t a +=+， 上面两式消去r ，可得286(42)t t a t =-g ， 即有6
5
t a =，可得410r a =，
在直角三角形12F PF 中，可得222254t r c +=， 即为22
216036425
a a c +=， 化为265
c e a =
=
． 故选：B ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）
13．（5分）已知函数21()1,0
()22
,0x
x f x x lnx x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩„则((1))f f -= 2 ．
【解答】解：Q 函数21()1,0
()22,0
x
x f x x lnx x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩„，
11
(1)()112
f -∴-=-=，
((1))f f f ∴-=（1）22112ln =⨯-=．
故答案为：2．
14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件：0401x y x y y -⎧⎪
+-⎨⎪⎩…
„…
，则22x y z -+=的最大值为 12 ．
【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件：0401
x y x y y -⎧⎪
+-⎨⎪⎩…
„…，作出可行域如图，则22x y z -+=的
最大值就是2u x y =-的最小值时取得． 联立01x y y -=⎧⎨=⎩
，解得(1,1)A ，
化目标函数2u x y =-+为2y x u =+，
由图可知，当直线2y x u =+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最大值为211
22
-+=． 故答案为：
12
．
15．（5分）函数211y x =-与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点，则实数k 的
取值范围是 4
(3
-，1]- ．
【解答】解：由题意，函数211y x =-+可变形为22(1)1x y +-=． 210x -Q …，11x ∴-剟，而1y …．
∴函数211y x =-+的函数图象为圆22(1)1x y +-=的上半部分．
又Q 函数(2)y k x =-表示过定点(2,0)的直线， 根据题意，画图如下：
Q 图象有两个不同的公共点， ∴直线应在图中两条之间之间，
①当直线经过点(1,1)时，01
121
k -==--； ②当直线与曲线相切时， 联立2
(2)11
y k x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，
整理，得22(1)2(21)4(1)0k x k k x k k +-+++=， ∴△2224(21)4(1)4(1)0k k k k k =+-++=g
g ， 解得4
3
k =-．
实数k 的取值范围为：4
(3-，1]-．
故答案为：4
(3
-，1]-．
16．（5分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是
30
[,2)
5
．
【解答】解：取BC中点
N，连结
1
B D，
1
B N，DN，作CO DN
⊥，连结
1
C O，
Q平面
1
//
B DN平面
1
A BM，
∴点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点P在底面正方形ABCD内，不包括边界，故不含点N和点)
D，
在△
1
C DN中，
1
2
C D=，22
1
15
1()
2
DN C N
==+=，
∴
1
22
1526
2()()
222
C DN
S=⨯⨯-=
V
，
过
1
C O DN
⊥，则当P与O重合时，
1
C P长度取最小值，
1
C P
∴长度的最小值为
1
6
30
4
15
C O==
⨯
，
当P与D重合时，
1
C P长度取最大值，
1
C P
∴长度的最大值为
1
2
C D=，
P
Q与D不重合，
1
C P
∴长度的取值范围是
30
[，2)．
故答案为：
30
[，2)．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）
17．（12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin C A b
B A a c
-=
-+， （1）求角C 的大小；
（2）若3c =，求a b +的取值范围． 【解答】解：（1）由sin sin sin sin C A b
B A a c
-=
-+， 则
c a b
b a a c
-=
-+，可得：222a b c ab +-=， 所以：2221
cos 222a b c ab C ab ab +-===，
而(0,)C π∈， 故3
C π
=
．
（2）由222a b c ab +-=，且3c =， 可得：2()29a b ab ab +--=， 可得：22
()933()2
a b a b ab ++-=„， 可得：2()36a b +„， 所以6a b +„， 又3a b c +>=，
所以a b +的取值范围是(3，6]．
18．（12分）田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等．于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注．假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：
下等马 0 0.05 0.4
比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．
（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；
（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 【解答】解：（1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜． 对于事件A ，三次比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜． 因此，P （A ）0.80.90.72=⨯=；
（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ，则随机变量ξ的可能取值为1000-和1000， 若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，
设比赛一次，田忌获胜的概率为P ，则1121139322522520
P =⨯⨯⨯+⨯⨯=．
随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ 1000- 1000 P
11
20
920
所以，119100010001002020
E ξ=-⨯
+⨯=-． 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100121200-⨯=-金． 19．（12分）已知C 是以AB 为直径的圆周上一点，3
ABC π
∠=，PA ⊥平面ABC ．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若异面直线PB 与AC 所成的为
3
π
，求二面角C PB A --的余弦值．
【解答】（1）证明：因为AB 为圆的直径，所以AC BC ⊥，
又PA ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥， 又AC PA A =I ，所以BC ⊥平面PAC ， 而BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ． （2）解法1：建系如图所示，令2AB t =，而3
ABC π
∠=，则6
BAC π
∠=
，AC =，
则(0A ，0，0)，(0B ，2t ，0)
，3,0)2
t
C ，令(0P ，0，)(0)h h > 所以(0,2,)BP t h =-u u u r
，3,0)2
t AC =u u u r ，
因为异面直线PB 与AC 所成的角为3
π
，
故2||1
cos 32
||||BP AC BP AC π==u u u r u u u r g u u u r u u u r g
，解得h = 令平面PBC 的一个法向量为(1,,)n y z =r
，
而,0)2t
BC =-u u u r
，(0,2)BP t =-u u u r
由0n BC =u u u
r r g
02
t y =
，所以y 由0n BP =u u u r r g
，0-+=
所以z
，即n =r
而平面PAB 的一个法向量为(1,0,0)m =r
所以cos ||||n m n m θ===
r r g r r g ． 解法2：过B 作AC 的平行线BM 交圆于M ，连接PM ，AM ，所以直线PB 与AC 所成的角即为PB 与BM 所成的角，
因为AB 为圆的直径，所以AM BM ⊥，
又PA ⊥平面ABC ，而BM ⊂平面ABC ，所以PA BM ⊥ 又AM PA A =I ，所以BM ⊥平面PAM
而PM ⊂平面PAM ，所以BM PM ⊥，则3
PBM π
∠=
令2AB t =，且3
ABC π
∠=
所
以AC BM =
，tan
33
AM BC tPM t π
===g
，
PA =
，PB ==
，PC =
过A 作AN PC ⊥交PC 于N ，过A 作AQ PB ⊥交PB 于Q ，连接QN ，由三垂线定理知
QN PB ⊥，
所以AQN ∠即为二面角C PB A --的平面角， 22226
23PA AB t
t AQ PB t
=
==g g ，
223266266311sin 111126PA AC t t AN AN AQN PC AQ t
=
==∠===g g g ，22
cos AQN ∠=， 即为二面角C PB A --的余弦值为
22
．
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，过点2
()-．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为F ，定点(2,0)P ，过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，以线段AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ，证明：直线BQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【解答】解：（1）由题知22221
11
1
2c a b a
b ⎧=-=⎪
⎨+=⎪⎩解得22a =，21b =， 所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为：1x my =+ 由22
112
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22
(2)210m y my ++-=， 则12222m y y m +=-
+，12
21
2
y y m =-+g ， 因为以AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ，所以AQ PQ ⊥，则1(2,)Q y
则21
22
BQ y y k x -=
-，故BQ 的方程为：2112(2)2y y y y x x --=--，
由椭圆的对称性，则定点必在x 轴上，所以令0y =， 则1212121
212121
(2)(1)222y x y my my y y x y y y y y y -----+=
+=+=+---，
而12222m y y m +=-
+，1221
2y y m =-+g ，1212
2
y y my y +-=-， 所以12
1
211322222
y y y x y y +-
+=
+=-+=-，
故直线BQ 恒过定点，且定点为3
(,0)2．
21．（12分）函数21
()(1)2f x ax a x lnx =+--．
（1）求()f x 的单调区间；
（2）在函数()f x 的图象上取1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两个不同的点，令直线AB 的斜率为k ，则在函数的图象上是否存在点0(P x ，0)y ，且12
02
x x x +=
，使得0()k f x ='？若存在，求A ，B 两点的坐标，若不存在，说明理由．
【
解
答
】
解
：（
1
）
由
题
知
定
义
域
为
(0,)
+∞，
21(1)1(1)(1)
()1ax a x ax x f x ax a x x x +--+-'=+--==
， ①当1a <-时，1
01a
<-<，
令()0f x '>，解得1(,1)x a ∈-，()0f x '<，解得1
(0,)(1,)x a ∈-+∞U ，
即函数()f x 在1(,1)a -上单调递增，在1
(0,)a
-及(1,)+∞上单调递减；
②当1a =-时，1
1a -=，在(0,)+∞上2(1)(1)(1)()0x x x f x x x -+--'==-„，
即函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； ③当10a -<<时，1
1a
-
>， 令()0f x '>，解得1(1,)x a ∈-，()0f x '<，解得1
(0,1)(,)x a
∈-+∞U
即函数()f x 在1(1,)a -上单调递增，在(0,1)及1
(,)a -+∞上单调递减；
④当0a …时，
令()0f x '>，解得(1,)x ∈+∞，()0f x '<，解得(0,1)x ∈，
即函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减； 综上所述：
当1a <-时，增区间为1(,1)a -，减区间为1
(0,)a -及(1,)+∞；
当1a =-时，减区间为(0,)+∞；
当10a -<<时，增区间为1(1,)a -，减区间为(0,1)及1
(,)a -+∞；
当0a …时，减区间为(0,1)，增区间为(1,)+∞； （2）假设存在，即满足0()AB k f x '=，
因为已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 不妨令120x x <<， 则2121212121212
1
2121212121
()()(1)()()112()2AB y y x x x x a x x lnx lnx x x a lnx lnx k a a x x x x x x x x x x -+----+-=
=+-=+-------，
而1200012
()12
()112x x a f x ax a a x x x +'=+--=+--
+由0()AB k f x '= 得
2121122
lnx lnx x x x x -=-+存在，也就是证212112
2()0x x lnx lnx x x ---=+存在，
只要证2
21211
2(
1)
01x x x ln x x x --=+存在，令211x t x =>，故转化为2(1)
0(1)1t lnt t t --=>+存在，
即需要证明42(1)1lnt t t +=>+令4()(1)1g t lnt t t =+>+， 则有2
2214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，故()g t 在1t >上单调递增，所以()g t g >（1）2=，故
不存在．
考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(1,1)P 且倾斜角为α的直线．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 与直线l 相交于M ，N 两点，求||||PM PN +的取值范围． 【解答】解：（1）l Q 是过定点(1,1)P 且倾斜角为α的直线．
l ∴的参数方程：1cos (1sin x t t y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
为参数）， Q 曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，即24cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程：22(2)4x y -+=．
（2）将l 的参数方程代入曲线C 的方程得2(2sin 2cos )20t t αα+--=① 由于△2(2sin 2cos )80αα=-+>恒成立， ∴方程①有两个不等实根1t 、2t ，
由于1220t t =-<，1t ∴、2t 异号，
则1212||||||||||PM PN t t t t +=+=-． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|21||2|f x x x =++- （1）解不等式()5f x <；
（2）若23
()32
f x a a --…恒成立，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）当12x <-，则41
212532x x x ---+<⇒-<<-，
当122x -剟时，则1
212522x x x +-+<⇒-<„，
当2x >时，则2125x x ++-<，此时无解，
故解集为 4
{|2}3
x x -<<；
（2）由（1）知131()21
3(2)231(2)
x x y x x x x ⎧
-+<-⎪⎪
=⎨+-⎪⎪
->⎩剟， 所以当12x =-时，y 的最小值为5
2，
则235
322a a --„，即2340a a --„，
所以[1a ∈-，4]．。