江西省定南中学等比数列试题及答案百度文库

一、等比数列选择题
1．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1- B ．1
C ．2或2-
D ．2
2．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ）
A ．8
B ．8-
C ．16
D ．16-
3．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =
，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）
A ．
312
或112
B ．
31
2
C ．15
D ．6
4．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里
B ．86里
C ．90里
D ．96里 6．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，
1021031
01
a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）
A ．102
B ．203
C ．204
D ．205
7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=，245
4a a +=，则n n S =a （ ）
A ．14n -
B ．41n -
C ．12n -
D ．21n -
8．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列()
{}
1
11n n n a a -+-的
前n 项的和为（ ）
A ．()23
82133n n +--
B ．()23
182155n n +---
C ．()2382133
n n ++-
D ．()23182155
n n +-+-
9．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最
小值为（ ） A ．12
B ．18
C ．24
D ．32
10．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，1112
33
n n n a b a ++=+
，113
44
n n n b a b +=
+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5 B ．7
C ．9
D ．1111．题目文件丢失！
12．已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） A ．
19
B ．
17
C ．
13
D ．7
13．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．±8
D ．98
14．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
15．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）
A ．若对任意正整数n ，都有24n
n a =成立，则{}n a 为等比数列
B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列
C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m n
m n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列
D ．若对任意正整数n ，都有
312
11
n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列
16．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩
，，，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）
A ．2016
B ．1528
C ．1504
D ．992
17．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，
则5S =（ ） A ．
312
或112
B ．
31
2 C ．15
D ．6
18．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092
B ．2047
C ．2046
D ．1023
19．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，
416a =，则6S ＝（ ）
A ．32
B ．63
C ．123
D ．126
20．公差不为0的等差数列{}n a 中，2
3711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
77b a =，则68b b =（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！
23．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，13511121
4
a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314
S =
C ．公比4q =或
14
D ．14a =或
14
24．已知数列是{}n a
是正项等比数列，且37
23
a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．85
D ．
83
25．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且
1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．9100a a <
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b >
26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ） A ．1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 B ．13n S n
=
C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
27．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12
33
BE BA BC =
+ C ．数列{a n }为等比数列
D ．14n
n n a a +-=
28．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()
*
12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．1
3n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．1
23n n a -=⋅
D ．2
1,
1,23,2n n n a n -=⎧=⎨
⋅≥⎩
29．已知数列{}n a 的首项为4，且满足(
)*
12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）
A ．n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列 B ．{}n a 为递增数列
C ．{}n a 的前n 项和1
(1)24n n S n +=-⋅+
D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2
2
n n n T +=
30．数列{}n a 是首项为1的正项数列，123n n a a +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．313a = B ．数列{}3n a +是等比数列
C ．43n a n =-
D ．1
22n n S n +=--
31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 32．已知数列{a n }，{
b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1
＜1
B ．1＜b 1
C ．S 2n ＜T 2n
D ．S 2n ≥T 2n
33．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n
n n
a a n N a +=
∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123
n n a +=-
C ．{}n a 为递增数列
D ．1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和2
234n n T n +=-- 34．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{
}
22
1n n a a ++为等比数列
D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）
35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a
B ．8a
C ．15S
D ．16S
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等比数列选择题 1．C 【分析】
根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为12a =，且53a a =，所以2
1q =，解得1q =±， 所以9
1012a a q ==±.
故选：C. 2．C 【分析】
根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】
因为254,32a a ==，所以3
5
2
8a q a ==，所以2q ，
所以2
424416a a q ==⨯=，
故选：C. 3．B 【分析】
由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+，
2332a a ∴=+，
解得32a =或31a =-（舍去） 又112
a =
， 23
1
4a q a ∴=
=， 解得2q
，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 4．C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n
a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+，则11
1121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则111
11122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭
，
所以121n n a =-，故1010
11
211023
a ==-. 故选：C 【点睛】
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 5．D 【分析】
由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为
1
2
，由条件和等比数列的前项和公
式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】
由题意可知此人每天走的步数构成
1
2
为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]
2378
1
12a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1
192962
⨯
=里， ∴第二天走了96里，
故选：D ． 6．C 【分析】
由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】
由10210310a a ->，即1021031a a >，则有2
1021a q ⨯>，即0q >。

所以等比数列{}n a 各项为正数， 由
1021031
01
a a -<-，即102103(1)(1)0a a --<， 可得：1021031,1a a ><， 所以10220412203204102103()1T a a a a a a =⋅⋅
⋅=⋅>，
103205122032042051031T a a a a a a =⋅⋅
⋅⋅=<，
故使得1n T >成立的最大自然数n 的值为204，
故选：C 【点睛】
关键10220412203204102103()1T a a a a a a =⋅⋅
⋅=⋅>点点睛：在分析出1021031a a >，
1021031,1a a ><的前提下，由等比数列的性质可得102204102103()1T a a ==⋅>，
1032051031T a =<，即可求解，属于难题.
7．D 【分析】
根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】
因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=
，2454a a +=，
所以2
4135
1
452
2
q a a a a =++==， 因此()()11
1
1111112
21112n n
n
n n n n n n
a q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪
--⎝⎭=
=
==--⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：D. 8．D 【分析】
根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入
()
1
11n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.
【详解】
因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，
所以31121
208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，
解得2q
，12a =，
所以1222n n
n a -=⨯=，
()
()
()
111
1
1
1222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，
()
{
}
1
11n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，
()
23
3
5
7
9
21
11
8[1(4)]8222222
(1)1(4)155
n n n n n n S -++---∴=-+--+
+⋅==+---， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 9．C 【分析】
将已知条件整理为()()2
2
121328a q q q -+=，可得()
2
218
3221q q a q +=
-，进而可得
()44
2
7612249633221
q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4
q ，利用二次函数的性质即
可求出最值. 【详解】
因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，
所以432
111164328a q a q a q a q +--=，
()()222
1232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦， 即()()2
2
121328a q q q -+=，所以()
2
218
3221q q a q +=
-，
()()46
5
4
2
4
7611112
2124
82424
9696332321
2121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---，
令
210t q =>，则()22
24
21211t t t q q -=-=--+， 所以211t q
==，即1q =时2421
q q -最大为1，此时24
24
21q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】
易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 10．C 【分析】
令n n n c a b =-，由1112
3
3n n n a b a ++=+
，11344
n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即1
1.812n n c -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
=⨯，则1
10.0121.8n -⎛⎫< ⎪
⎝⎭
⨯，解不等式可得n 的最小
值. 【详解】
令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=
1111131313
4444412123334
3n n n n n n n n n n n
n c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222
n n n a b c -==
所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以1
1.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭
=⨯
由0.01n n a b -<，即1
10.0121.8n -⎛⎫< ⎪
⎝⎭
⨯，整理得12180n ->
由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =
故选：C. 【点睛】
本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题.
11．无
12．B 【分析】
根据等比中项的性质可求得4a 的值，再由2
174a a a =可求得7a 的值. 【详解】
在等比数列{}n a 中，对任意的n *∈N ，0n a ≠，
由等比中项的性质可得2
4354a a a a ==，解得41a =， 17a =，2
1741a a a ==，因此，71
7
a =
. 故选：B. 13．A 【分析】
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】
设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，4
19q ⋅=，
解之可得83
d =
，2
3q =， ()22218
183
b a a q ∴-=⨯⨯=.
故选：A. 14．B 【分析】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得
515(12)
512a S -==-，解得1531
a =
，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，
由题意得515(12)
512a S -==-，解得1531a =
， 5
(12)
3120
12
n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=
∴该女子所需的天数至少为7天．
故选：B 15．C 【分析】
根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】
对于A ，若24n
n
a =，则2n
n a =±，+1
+12n n a =±，则1
2n n
a a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；
对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2
m n
m n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1
+12
m n m n a a +⋅=，所以1+1
222
n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；
对于D ，由312
11
n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满
足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若
()1
0,0n n n
a q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2
210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；
（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；
（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 16．C 【分析】
利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】
因为1192110
21119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，
，
所以，410
4
9104561022222212
a a a -++
+=+
+==--，
49
8
4
4
8
941112152222222212
a a a -+++=+
+=+
+==--，
该数列从第5项到第15项的和为
10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=
故选：C 【点睛】
解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 17．B 【分析】
首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+∴，
2332a a =+∴，
解得32a =或31a =-（舍去） 又11
2
a =
， 23
1
4a q a =
=， 解得2q
，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 18．A 【分析】
根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】
因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12
,2n
n a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，
即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212
-=-.
故选：A. 19．D 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2
260q q --=，∴2q 或3
2
q =-（舍去），
∵416a =，∴4
132a a q
=
=， ∴6616(1)2(12)
126112
a q S q --=
==--， 故选：D. 20．D 【分析】
根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2
687b b b ==16.
【详解】
等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于2
7a -740a =解得70a =或74,a =
各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，
数列{}n b 是等比数列，故2
687b b b ==16.
故选：D.
二、多选题 21．无 22．无
23．BD 【分析】
设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得11121
14
a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
因为2
153
1a a a ==，2311a a q == ， 所以
511151351515111111121
11114
a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1
142.
a q ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩， 当14a =，12q =时，5514131
21412
S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；
当11
4
a =
，2q 时，531
4
S =
，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314
S =. 故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121
14
a a ++=，进而解方程计算. 24．ABD 【分析】
根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】
解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，
∴2
373752323262a a a a a +
=， 因为50a >，
所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维
能力．属于中档题． 25．AD 【分析】
根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】
对选项A ，因为0q <，所以2
9109990a a a a q a q =⋅=<，故A 正确；
对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >⎧⎨<⎩或910
0a a <⎧⎨>⎩，即910a a >或910a a <，故B 错误；
对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 26．ABD 【分析】
由1
(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】
因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，A 正确； 公差为3，又
11113S a ==，所以1
33(1)3n n n S =+-=，13n S n
=．B 正确；
2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得1
3(1)
n a n n =
-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；
由1
3n S n =
得1
311333n n n S +==⨯，∴{}
3n S 是等比数列，D 正确．
故选：ABD ． 【点睛】
本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由
1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．
27．BD 【分析】
证明
12
33 BE
BA BC
=+，所以选项B 正确；设BD tBE
=（0
t>），易得
()
11
4
n n n n
a a a a
+-
-=-，显然
1
n n
a a
-
-不是同一常数，所以选项A 错误；数列{
1
n n
a a
-
-}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以
1
4n
n n
a a
+
-=，所以选项D正确，易得3
21
a=，选项C不正确.
【详解】
因为2
AE EC
=，所以
2
3
AE AC
=，
所以
2
()
3
AB BE AB BC
+=+,
所以
12
33
BE BA BC
=+，所以选项B正确；
设BD tBE
=（0
t>），
则当n≥2时，由()()
11
23
n n n n
BD tBE a a BA a a BC
-+
==-+-，所以
()()
11
11
23
n n n n
BE a a BA a a BC
t t
-+
=-+-，
所以()1
11
2
3
n n
a a
t-
-=，()
1
12
3
3
n n
a a
t+
-=，
所以()
11
322
n n n n
a a a a
+-
-=-，
易得()
11
4
n n n n
a a a a
+-
-=-，
显然1
n n
a a
-
-不是同一常数，所以选项A错误；
因为2a-1a=4，1
1
4
n n
n n
a a
a a
+
-
-
=
-，
所以数列{1
n n
a a
-
-}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以
1
4n
n n
a a
+
-=，所以选项D正确，
易得321
a=，显然选项C不正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 28．ABD 【分析】
根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】
由题意，数列{}n a 的前n 项和满足(
)*
12n n a S n N +=∈，
当2n ≥时，12n n a S -=，
两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，
可得13n n a a +=，即1
3,(2)n n
a a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以
2
1
2a a =， 所以数列的通项公式为2
1,123
2
n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；
当2n ≥时，1
1123322
n n n n a S --+⋅===，
又由1n =时，111S a ==，适合上式，
所以数列的{}n a 的前n 项和为1
3n n S -=；
又由11333
n
n n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 29．BD 【分析】
由12(1)0n n n a na ++-=得
121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于
1
11
222
n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】
由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的
等比数列，故A 错误；因为11422n n n
a n
-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；
因为23
112222n n S n +=⨯+⨯+
+⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯+
+⋅，所以 2
3
1
2
12222
n n n S n ++-=⨯++
+-⋅(
)222122
12
n
n n +-=
-⋅-，故
2(1)24n n S n +=-⨯+，
故C 错误；因为1
11
222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2
(1)22n
n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 30．AB 【分析】
由已知构造出数列{}3n a +是等比数列，可求出数列{}n a 的通项公式以及前n 项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】
123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，∴数列{}3n a +是等比数列
又∵11a =，∴()11332n n a a -+=+，∴1
23n n a +=-，∴313a =，
∴()
2412323412n n n
S n n +-=-=---.
故选：AB. 31．ACD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；
对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：
13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+
+-=，故C
正确.
对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，
()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，2
20192019202020192018a a a a a =-，可得222
12201920202019201920202019
a a a a a a a a
+++==，故D 正确；
故选：ACD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 32．ABC 【分析】
利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解. 【详解】
∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3； ∵a n +a n +1＝2n ，
∴1223
24a a a a +=⎧⎨+=⎩；
∴12123
212244a a a a a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞
∴0＜a 1＜1；故A 正确．
∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n •b n +1＝2n
∴122324b b b b =⎧⎨=⎩；
∴2132
b b b b ⎧⎨⎩＞＞；
∴1＜b 1B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n
＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）
(
)()()()
12
1
2
12122
12
2
n
n
n
b b b b ⋅
--=
+=+-
))
2121n n ≥-=-；
∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC 【点睛】
本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 33．ABD 【分析】 由()*123n
n n
a a n N a +=
∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】 因为
112323n n
n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11
340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨
⎬⎩⎭
是以4为首项，2位公比的等比数列，1
1342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故
选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1
12
3
n n a +=
-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.
因为1
231n n
a +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-+
+-=++
+-
22(12)2312
234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，
故选：ABD 【点睛】
本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 34．BCD 【分析】
举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】
解：设{}n a 的公比为q ，
A. 设()1n
n a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.
B.
221
1
n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列.
C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}
221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()22
2112n n n S S n S -+=≥， 即()()()211111111111n
n n a q a q a q q q q -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾， 综上，{}n S 不是等比数列.
故选：BCD.
【点睛】
考查等比数列的辨析，基础题.
35．BC
【分析】
根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()
11515815152a a S a +==为定值，但()
()11616891682a a S a a +==+不是定值.
故选：BC.
【点睛】
本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.。