浙江专版2019版高考数学一轮复习第七章不等式7.5绝对值不等式学案20180403350

§7.5 绝对值不等式
考纲解读 013 .
分析解读 1.主要考查绝对值的几何意义和绝对值不等式的解法,利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.
2.绝对值不等式常与函数(例:2015浙江18题)、导数、数列(例:2016浙江20题)等知识联系在一起,难度较大,是近两年浙江高考命题的热点.
3.预计2019
年高考中,仍会对绝对值不等式进行考查.利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列相综合的题目上,复习时应引起高度重视.
五年高考
考点 含绝对值不等式的解法
1.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c.( )
A.若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100
B.若|a 2+b+c|+|a 2+b-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100
C.若|a+b+c 2|+|a+b-c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100
D.若|a 2+b+c|+|a+b 2-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100
答案 D
2.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )
A.(-∞,4)
B.(-∞,1)
C.(1,4)
D.(1,5)
答案 A
3.(2014湖南,13,5分)若关于x 的不等式|ax-2|<3的解集为x -<x<
,则a= .
答案 -3
4.(2016课标全国Ⅲ,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R 时, f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.
解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分)
(2)当x∈R 时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x -a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x=时等号成立,所以当x∈R 时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分)
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a 的取值范围是[2,+∞).(10分)
5.(2016课标全国Ⅱ,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
解析(1)f(x)=(2分)
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得-1<x≤-;(3分)
当-<x<时, f(x)<2;(4分)
当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得≤x<1.(5分)
所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(6分)
(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|.(10分)
6.(2014课标Ⅱ,24,10分)设函数f(x)=+|x-a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
解析(1)证明:由a>0,得f(x)=+|x-a|≥=+a≥2.
所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
当a>3时,f(3)=a+,
由f(3)<5得3<a<.
当0<a≤3时,f(3)=6-a+,
由f(3)<5得<a≤3.
综上,a的取值范围是.
教师用书专用(7—13)
7.(2015重庆,16,5分)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .
答案-6或4
8.(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为.
答案{x|x≤-3或x≥2}
9.(2013重庆,16,5分)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是. 答案(-∞,8]
10.(2013江西,15(2),5分)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.
答案[0,4]
11.(2016课标全国Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
解析(1)f(x)=(3分)
y=f(x)的图象如图所示.(5分)
(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)
当f(x)=-1时,可得x=或x=5,(7分)
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.(9分)
所以|f(x)|>1的解集为.(10分)
12.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|≥2.
解析原不等式可化为或
解得x≤-5或x≥-.
综上,原不等式的解集是.
13.(2014辽宁,24,10分)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(1)求M;
(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.
解析(1)f(x)=
当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,
故1≤x≤;
当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,
故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为
M=.
(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,
解得-≤x≤.
因此N=,故M∩N=.
当x∈M∩N时, f(x)=1-x,
于是x2f(x)+x·[f(x)]2
=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=-≤.
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点含绝对值不等式的解法
1.(2017浙江名校协作体,7)设函数f(x)=|2x-1|,若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立,则x的取值范围是( )
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[2,+∞)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
答案 B
2.(2017浙江嘉兴基础测试,3)已知a,b∈R,则“|a+b|≤3”是“|a|+|b|≤3”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
3.(2018浙江浙东北联盟期中,17)设a,b∈R,a<b,记函数f(t)=|x+t|,t∈[a,b]的最大值为函数g(x),则函数g(x)的最小值为.
答案
4.(2018浙江9+1高中联盟期中,17)当x∈时,不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立,则6a+b的最大值
是.
答案 6
5.(2017浙江温州模拟考(2月),17)已知a,b,c∈R,若|acos2x+bsin x+c|≤1对x∈R恒成立,则|asin x+b|的最大值为.
答案 2
B组2016—2018年模拟·提升题组
一、选择题
1.(2017浙江柯桥质量检测(5月),8)已知x,y∈R,()
A.若|x-y2|+|x2+y|≤1,则+≤
B.若|x-y2|+|x2-y|≤1,则+≤
C.若|x+y2|+|x2-y|≤1,则+≤
D.若|x+y2|+|x2+y|≤1,则+≤
答案 B
2.(2017浙江金华十校调研,9)设x,y∈R,下列不等式成立的是( )
A.1+|x+y|+|xy|≥|x|+|y|
B.1+2|x+y|≥|x|+|y|
C.1+2|xy|≥|x|+|y|
D.|x+y|+2|xy|≥|x|+|y|
答案 A
二、填空题
3.(2018浙江萧山九中12月月考,17)记max{a,b}=设M=max{|x-y2+4|,|2y2-x+8|},若对于任意实数x,y都有M≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围是.
答案[1-,1+]
4.(2017浙江温州三模(4月),15)若关于x的不等式|x|+|x+a|<b的解集为(-2,1),则实数
a= ,b= .
答案1;3
5.(2017浙江杭州二模(4月),17)设函数f(x)=若|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2(l>0)对任意实数x都成立,则l的最小值为.
答案2
三、解答题
6.(2016福建漳州二模,24)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.
(1)解不等式|g(x)|<5;
(2)若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解析(1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5,
所以-7<|x-1|<3,得不等式的解集为{x|-2<x<4}.
(2)因为对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,
所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},
又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,
g(x)=|x-1|+2≥2,
所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,
所以实数a的取值范围为a≥-1或a≤-5.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 含绝对值的不等式的解法
1.(2016广东中山华侨中学模拟,24)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)若对任意x∈R, f(x)≥t2-t恒成立,求实数t的取值范围.
解析(1)不等式f(x)>2等价于
或
或(2分)
解得x<-6或<x≤2或x>2,
∴x>或x<-6.
∴不等式的解集为.(5分)
(2)∵f(x)=
∴f(x)min=f(-1)=-3,(8分)
若对任意x∈R, f(x)≥t2-t恒成立,
则只需f(x)min=-3≥t2-t,即2t2-7t+6≤0,解得≤t≤2,
综上所述,≤t≤2.(10分)
方法2 与绝对值不等式有关的综合问题的解题策略
2.(2016安徽皖南八校联考,24)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.
(1)求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集为⌀,求a的取值范围. 解析(1)当x>时, f(x)=3x≥2,解得x≥,
当-1≤x≤时, f(x)=2-x≥2,解得-1≤x≤0,
当x<-1时, f(x)=-3x≥2,解得x<-1.
综上,不等式的解集为(-∞,0]∪.
(2)由题意知, f(x)≥a对一切实数x恒成立,
当x>时, f(x)=3x>,
当-1≤x≤时, f(x)=2-x≥,
当x<-1时, f(x)=-3x>3,
综上, f(x)min=,故a≤.。