(北师大版)大连市高中数学选修4-4第二章《参数方程》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）
A
．B
．C
D
2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线C ：()2
sin
2cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l
的参数方程为：24x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.若PM 、MN 、PN 成等比数列，求a 的值（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知直线2sin 301sin 30
x t y t ︒
︒
⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆22
8x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ） A
．B
C
．D
4．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l
的参数方程为12x y t
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为
参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） A
．
7
B
．
7
C
．
13
D
．
13
5．已知抛物线的参数方程为2
x 4t y 4t
⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物
线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )
A
．B
．C ．8
D ．4
6．已知M 为曲线3sin :cos x C y θ
θ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，设O 为原点，则OM 的最大
值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．直线21{
(1
x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）
A ．
125
B ．
125
5
C ．
92
5
D ．
910
5
8．点M 的直角坐标是()
3,1--，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．72,
6
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C ．112,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．2,
6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
9．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x y
b b
+=>上变化，则22x y +的最大值为（ ）
A ．2
4(04)42(4)b b b b ⎧+<⎪⎨⎪>⎩
B ．2
4(02)42(4)b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪⎩
C ．244
b +
D ．2b
11．已知x ，y 为实数，且满足3x 2＋2y 2≤6，则2x ＋y 的最大值为（ ）
A ．6
B ．6
C ．11
D ．11
12．设椭圆C ：22
11612
x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，
则122d d +的最小值（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题
13．已知点()4,4P -,曲线C :8cos 3sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
(θ为参数),若Q 是曲线C 上的动点,则线段PQ 的
中点M 到直线l :322x t
y t =+⎧⎨
=-+⎩
(t 为参数)距离的最小值为______.
14．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
，（θ为参数），过点
(02)-，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________
15．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，设
为曲线上一动点，则
的取值范围为
_____________
16．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θ
θ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数，0θπ≤≤），直线l 的极坐标方程
是sin 24a πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，若曲线C 与直线l 有交点，则a 的取值范围是_______. 17．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则2
2
PA PB +的最小值是________.
18．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2
211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，
则2x y +的最小值为________.
19．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θ
θ
=-+⎧⎨
=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.
20．已知(,)P x y 是椭圆22143
x y
+=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2343x at
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数），以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)
3,0P
作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求
11PD PE
-的值． 22．已知曲线C 的参数方程为2sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），点P 是曲线C 上的动点.
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）已知点Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，若P Q 、之间的距离PQ 最小值为
5m 的值.
23．已知在极坐标系中曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极
轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C
的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），点
(3,0)A ．
（1）求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求||||⋅AP AQ 的值．
24．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x t
y t =+⎧⎨=-+⎩
（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交
于M ，N 两点.
（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若点(3,1)P -，求
11
||||
PM PN -的值. 25．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x t
y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
sin cos m ρθθ
=+.
（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求1
1
OQ OP
k
k +
的值.
26．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，曲线C
的参数方程为sin x y θ
θ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
（θ为参数）．
（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若8
3
MA MB ⋅=
，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D
试题分析：由于椭圆
，所以可设点Ｐ(x,y)的
代入2x y +得：
（其中
）=
，故知2x y +22
考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．
2．A
解析：A 【分析】
本题首先可以求出曲线C 的直角坐标方程，然后将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，根据韦达定理得出12t t +以及12t t 的值，再然后根据PM 、MN 、PN 成等比数列得出2
1212t t t t -=，最后将12t t +以及12t t 的值带入2
1212t t t t -=中，通过计算即
可得出结果. 【详解】 因为曲线C ：()2sin
2cos 0a a ρθθ=>
所以曲线C 的直角坐标方程为()2
20y ax a =>
将直线l 的参数方程2
224x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
代入曲线C 的直角坐标方程得： ()
2
142216402
t a t a -++=， 设交点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ， 则()
122422t t a +=，()122164t t a =+， 因为PM 、MN 、PN 成等比数列，所以2
1212t t t t -=，
即2
12
125t t t t =+，()
()2
442210164a
a =+，
解得1a =或4a =-（舍取），故满足条件的1a =， 故选：A. 【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程的几何意义，考查韦达定理以及等比中项的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
3．B
【分析】
根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】
曲线2sin 301sin 30
x t y t ︒
︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程
1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴
BC ==B ． 【点睛】
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
4．C
解析：C 【解析】
分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.
详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：22
14y x +=，
与直线l
的参数方程12x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）联立可得：21613t =，
则121313
t t =
=-
，
结合弦长公式可知：12AB t t =-=. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
解析：C 【解析】
分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知
1222
p p AB x x =+
++， 求得答案．
详解：抛物线的参数方程为2
4t 4x y t
⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为
10（，） ，且直线l 斜率为1，
则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，
设112212,6A
x y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822
p p
AB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．
点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．
6．D
解析：D 【解析】
从曲线C 的参数方程中消去θ，则有()2
2
31x y -+=，故曲线C 为圆，而3OC =，故
OM 的最大值为3314r +=+=，选D ． 7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由直线的参数方程21{
(1
x t t y t =-=+为参数)，可得直线的普通方程为
230x y -+=，则圆229x y +=的圆心到直线的距离为5
d =
=
，所以所求弦
长是l ==，故选B.
考点：直线与圆的位置关系及圆的弦长公式.
8．B
解析：B 【解析】
3π7π
2,tan (π,)
26ρθθθ===
∈⇒=，
故选：B ．
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如
2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两
边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的
检验.
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：把各个点的坐标代入圆的方程进行检验，
因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上； 因为，所以选项中的点在圆上；
故答案选．
考点：圆的极坐标方程．
10．A
解析：A 【分析】
用参数表示出,x y ，由此化简22x y +，结合三角函数、二次函数的性质，求得22x y +的最大值. 【详解】
记2cos x θ=，sin y b θ=，2224cos 2sin ()x y b f θθθ+=+=，
2
2
2()4sin 2sin 44(sin )444
b b f b θθθθ=-++=--++，[]sin 1,1θ∈-.
若01044b b <⇒<，则当sin 4b θ=时()f θ取得最大值2
44
b +； 若
144
b
b >⇒>，则当sin 1θ=时()f θ取得最大值2b . 故选：A 【点睛】
本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程，可以从不同角度寻求方法求解，本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解.
11．D
解析：D 【分析】
根据x ，y 为实数，且满足3x 2＋2y 2≤6，设22cos ,3sin ,1x t y t t αα=≤，得到2x ＋y ()11sin t αϕ=+，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】
因为x ，y 为实数，且满足3x 2＋2y 2≤6，
所以设2cos ,sin ,1x y t αα=≤，
所以2x ＋y ()cos sin sin ,tan αααϕϕ⎛=+=+= ⎝⎭
，
所以当()sin 1t αϕ+=时，2x ＋y . 故选：D 【点睛】
本题主要考查椭圆的参数方程以及辅助角法和三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
设()
4,P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：
1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结
论． 【详解】
解：设()
4,P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：
12224841641681688
6d d cos cos sin πθθθθθ⎛
⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝
⎭．
当且仅当816sin πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭时取等号．
122d d ∴+的最小值为8．
故选：D 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】先求出的中点的坐标化简直线的方程为普通方程再利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离进而求出最小值【详解】由题意可知曲线:(为参数)是曲线上的动点设又点则线段的中点为直线:(t 为参数)的普
【分析】
先求出PQ 的中点M 的坐标,化简直线l 的方程为普通方程,再利用点到直线的距离公式表示出点M 到直线l 的距离,进而求出最小值. 【详解】
由题意可知曲线C :8cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数),Q 是曲线C 上的动点,设(8cos ,3sin )Q θθ(02)θπ≤<,又点()4,4P -,则线段PQ 的中点M 为
3
(24cos ,2sin )2θθ-++,直线l :322x t y t
=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的普通方程为:270x y --=,则点
M 到直线l 的距离为d =
=
,令
3
cos 5
α=
,则4
sin 5α可化简为d =
当sin()1θα-=-时取到最小值
,所以点M 到直线l .
故答案为: 5
【点睛】
本题较为综合,要求点到直线距离的最小值,除运用点到直线的距离公式外还考查了参数方程与普通方程的互化,在求最值时运用辅助角公式进行化简,在计算过程中不要出错.
14．【分析】先将圆化为普通方程直线与交于两点转化为圆心到直线的距离小于半径求得的取值即可【详解】因为的参数方程为（为参数）可得是以（00）为圆心半径r=1的圆当时直线l 与圆有2个交点；当设直线l ：要使直
解析：344
ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
【分析】
先将圆化为普通方程，直线l 与O 交于A ，B 两点，转化为圆心到直线的距离小于半径，求得α的取值即可. 【详解】
因为O 的参数方程为cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩，（θ为参数），可得221x y +=是以（0,0）为圆心，
半径r=1的圆 当2
π
α=
时，直线l 与圆有2个交点；
当2π
α≠
，设直线l ：220y kx kx y =-⇒--= 要使直线l 与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径， 即
2
2
11k <+解得1k <-或1k >
所以α的取值范围为3(
,)(,)4224
ππ
ππ 综上所述，α的取值范围3(,)44ππ
【点睛】
本题考查了参数方程和直线与圆的位置关系，解题的关键在于转化，易错点是没有考虑直线斜率不存在的情况，属于中档题型.
15．-22【解析】【分析】将曲线的极坐标化成直角坐标得x23+y2=1设x=3cosαy=sinα则x+y=2sin(α+π3)再求函数的最值得解【详解】因为ρ2=31+2sin2θ所以化成直角坐标得x 解析：
【解析】 【分析】
将曲线的极坐标化成直角坐标得
，设
，则
，再求函数的最值得解.
【详解】 因为，所以化成直角坐标得，
设，
所以
，
所以x+y 的取值范围为[-2,2]. 故答案为：
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查曲线的参数方程的应用，考查三角函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．【分析】化参数方程为普通方程化极坐标方程为直角坐标方程根据图像判断有交点的情况即可求出的范围【详解】解：曲线的参数方程是（为参数）则曲线的普通方程为：直线的极坐标方程是则直线的直角坐标方程为：若直线
解析：12,22⎡-⎢⎣⎦
化参数方程为普通方程，化极坐标方程为直角坐标方程，根据图像判断有交点的情况，即可求出a 的范围. 【详解】
解：曲线C 的参数方程是1cos 1sin x y θ
θ=+⎧⎨
=+⎩
（θ为参数，0θπ≤≤），则曲线C 的普通方程
为：()()2
2
111x y -+-=()1y ≥ ， 直线l 的极坐标方程是sin 24a πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，则直线l 的直角坐标方程为：20x y a -+=. 若直线l 和曲线C 有交点，则如图所示： 当直线l 和曲线C 相切时，112212
a
d a -+=
==，则2
2
a =±
，由图可知，22
a =
当直线过点()2,1时，2120a -+=，则12
a =- 故a 的范围为：12,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
故答案为：12,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是注意参数方程中参数的范围，本题属于中档题.
17．【分析】由题意设利用两点之间的距离公式表示出进而可得结论【详解】由题意得圆的参数方程为（为参数）设则∴其中当时有最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式圆的参数方程的应用属于基础题 解析：36
【分析】
由题意设()32cos ,42sin P θθ++，利用两点之间的距离公式表示出2
2
PA PB +，进而可得结论.
由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩（θ为参数），设()32cos ,42sin P θθ++，
则()()2
2
2
62cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++，
()()22
22cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+，
∴()2
2
7624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++，其中3tan 4
ϕ=
， 当()sin 1θϕ+=-时， 2
2
PA PB +有最小值为36.
故答案为：36. 【点睛】
本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.
18．【分析】由圆的参数方程可设（为参数）再结合向量相等的坐标表示可得则=再结合三角函数的有界性即可得解【详解】解：因为点P 在圆上运动设（为参数）又则则所以==令则则即解得故即当时的最小值为故答案为：【点 解析：1
【分析】
由圆的参数方程可设1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数），再结合向量相等的坐标表示可得
()2,1=()cos ,2sin y y x y θθ++，则2x y +=1sin 12
1cos θ
θ
-++，再结合三角函数的有界性
即可得解. 【详解】
解：因为点P 在圆()2
2
11x y -+=上运动,设1cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），
又OA xOB yOP =+，
则()()2,1(0,2)cos ,sin x y y y θθ=++()cos ,2sin y y x y θθ=++，则2
1cos y θ
=
+ ，
2sin 11cos x θ
θ
=-
+，
所以2x y +=4sin 21cos θθ-+21cos θ++=1sin 121cos θ
θ
-++，
令1sin 1cos t θ
θ
-=
+，则sin cos 1t t θθ+=-，
则)1t θϕ+=-1t ≥-， 解得0t ≥，
故
1sin 01cos θθ-≥+，即当1sin 01cos θ
θ-=+时，2x y +的最小值为1201+⨯=，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查了圆的参数方程、向量相等的坐标表示及三角函数的有界性，重点考查了运算能力，属中档题.
19．【分析】根据圆的参数方程得出圆的圆心坐标和半径计算出圆心到直线的距离再利用勾股定理计算出直线截圆所得的弦长【详解】由参数方程可知圆的圆心坐标为半径长为圆心到直线的距离为因此直线截圆所得弦长为故答案为
解析：【分析】
根据圆C 的参数方程得出圆C 的圆心坐标和半径，计算出圆心到直线l 的距离，再利用勾股定理计算出直线l 截圆C 所得的弦长. 【详解】
由参数方程可知，圆C 的圆心坐标为()1,2-，半径长为4，
圆心到直线l 的距离为d =
=，
因此，直线l 截圆C 所得弦长为=
【点睛】
本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查了点到直线的距离公式以及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．【解析】是椭圆＝1上的一个动点设∴最大值为
【解析】
P x y （，）是椭圆22
143
x y +=＝1上的一个动点，
设 2x cos y ，，θθ== 2x y cos θθθϕ∴+=+（）， ∴
三、解答题
21．（1）直线l 的普通方程为2y =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）
1
2
． 【分析】
（1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出a 的值，再转化成普通方程；在曲线方
程两边同时乘以ρ，即可得到答案；
（2）设直线DE
的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案； 【详解】
解：（1）由题意得点A
的直角坐标为)
，将点A
代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
得1a t =⎧
⎪⎨=⎪⎩
则直线l
的普通方程为2y =-．
由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．
（2）设直线DE
的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 代入24y x =
得20t +-=． 设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．
则12t t +=-
12t t =-10t >，20t <．
∴
121212*********
2
t t PD PE t t t t t t +-=-=+==． 【点睛】
本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
22．（1）2
212
x y +=.（2）8
【分析】
（1）曲线C
的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α
是参数），可得cos sin y αα
==⎩
，根据
()()
22
sin cos 1αα+=，即可求得答案；
（2）因为点P 是曲线C
上的动点，可设点)
,sin P
αα，直线
:2(0)l y x m m =+>，结合P Q 、之间的距离PQ
和辅助角公式，即可求得答案. 【详解】
（1）
曲线C
的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（α是参数）
可得cos sin y αα
==⎩
，故()()2
222
sin cos 1y αα+=+= ∴曲线C 的普通方程：2
212
x y +=
（2）
点P 是曲线C 上的动点，
由曲线C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α
是参数），可设点)
,sin P
αα
又
Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，
要保证P Q 、之间的距离PQ 取最小值，
只需保证点)
,sin P αα到直线:2(0)l y x m m =+>距离最小
设)
,sin P
αα到直线:20l x y m -+=距离为d
根据点到直线距离公式可得：
d
=
=
(tan ϕ=
0m >
∴()sin 1αϕ-=时d
取最小值，
=8m =或2m =-(舍)
∴8m =
【点睛】
本题主要考查了参数方程化为直角方程和直线与椭圆动点距离最值问题，解题关键是掌握点到直线距离公式和辅助角公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 23．（1）224
x y x +=；)3y x =-；（2）3. 【分析】
（1）将4cos ρθ=两边乘以ρ，利用222x y ρ=+，cos x ρθ=进行化简求解，将曲线
2C 的参数方程消参即可得到普通方程..
（2）将曲线2C 的参数方程代入曲线1C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，由
t 的几何意义可得结果.
【详解】
（1）4cos ρθ=，24cos ρρθ∴=，
222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，224x y x ∴+=
1C ∴的直角坐标方程为:224x y x +=
)13233x t y x y
⎧=-⎪⎪
∴=-⎨
⎪=⎪⎩
， 2C
∴的普通方程为)3y x =- （2）将132x t y ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
代入224x y x +=,
得：2
2131343242t t t ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，239122t t t ∴-+=-，230t t ∴--=
12121,3t t t t ∴+=⋅=-,由t 的几何意义可得：12123AP AQ t t t t ⋅⋅===
【点睛】
本题考查曲线的极坐标，直角坐标之间的转化，考查曲线的参数方程与普通方程的转化，考查参数t 的几何意义，属于基础题.
24．（1）2
2(2)4x y -+=，250x y --=；（2） 【分析】
(1)根据极坐标与直角坐标方程间的转换公式可求出曲线C 的普通方程,再利用消元法消去参数可得到直线l 的普通方程;
(2)先将直线参数方程化为标准形式,再将之代入曲线C 的普通方程中,最后利用参数的几何意义,结合韦达定理求解即可. 【详解】 (1)
4cos ρθ=,
24cos ρρθ∴=
将222cos x y x
ρρθ⎧=+⎨=⎩代入上式,可得224x y x +=, 因此曲线C 的普通方程为:22(2)4x y -+=, 又直线l 的参数方程为:321x t
y t
=+⎧⎨
=-+⎩(t 为参数),
因此直线l 的普通方程为:250x y --=;
(2)由题知直线l 的参数方程为:321x t
y t =+⎧⎨=-+⎩
(t 为参数),
故其参数方程的标准形式为
:31x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
(t 为参数), 将之代入22(2)4x y -+=中,
整理后可得2205
t +-=, 设,PM PN 对应的参数分别为12,t t ,
则121225
t t t t +=-
=-,
2121121212||||||1111||||||||||||||t t t t PM PN t t t t t t -+∴
-=-==±=. 【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程,考查了直线参数方程的应用,难度不大.
25．（Ⅰ）1C 的普通方程为21
4x y =
；2C 的直角坐标方程20x mx +-=；（Ⅱ）18
. 【分析】
（Ⅰ）消去参数t 即可求得1C 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的互化公式
cos x ρθ=，sin y ρθ=,即可求得2C 的直角坐标方程;
（Ⅱ）理解参数t 的几何意义并利用其几何意义,联立直线和曲线方程,利用韦达定理进行运算求解即可. 【详解】 （1）由2
4x t y t
=⎧⎨
=⎩（t 为参数），消去参数t ，得2
14x y =， 即1C 的普通方程为2
1
4
x y =
. 由2
sin cos m ρθθ
=
+，得sin cos 2m ρθρθ+=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得20my x +-=， 即2C 的直角坐标方程20my x +-=. （2）由2
4x t y t
=⎧⎨
=⎩（t 为参数），可得4y
t x =（0x ≠）， 故4t 的几何意义是抛物线2
1
4
x y =
上的点（原点除外）与原点连线的斜率. 由题意知，当0m =时，2:2C x =，
则1C 与2C 只有一个交点()216
,不符合题意，故0m ≠.
把24x t
y t
=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入
20x my +-=， 得2420mt t +-=，设此方程的两根分别为1t ，2t ， 由韦达定理可得，1214t t m +=-
，1212t t m
=-， 所以12121211111141444842OP
OQ t t m k k t t t t m -
++=+===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、参数的几何意义;考查学生转化与化归能力、运算求解能力;属于中档题、常考题型.
26．（1）直线l 的直角坐标方程为y x =，曲线C 的直角坐标方程为2
212
x
y +=．（2）点
M 的轨迹是椭圆2226x y +=
夹在平行直线y x =±
【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线
C 的直角坐标方程；
（2）设点0(M x ，0)y 以及平行于直线l 的直线参数方程，直线l 与曲线C 联立方程组，通过8
||||3
MA MB =，即可求点M 轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围． 【详解】 解：（1）
直线l 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，
∴直线l 的倾斜角为4
π
，且经过原点，
故直线的直角坐标方程为y x =
，
曲线C 的参数方程为(sin x y θθθ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩为参数），
∴曲线C 的直角坐标方程为2
212
x y +=．
（2）设点0(M x ，
0)y 及过点M
的直线为0102:2
x x l y y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
， 由直线1
l 与曲线C
相交可得：2
22000032202
t x y +++-=，
8||||3
MA MB =
， 2200228332
x y +-∴=，即：220026x y +=，
∴点M 轨迹的直角坐标方程2226x y +=，表示一椭圆．
取y x m =+代入22
x
得：2234220x mx m ++-=
由0∆解得33m
故点M 的轨迹是椭圆222
6x y +=夹在平行直线y x = 【点睛】
本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点，属于中档题．。