2020年北京首都机场中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2020年北京首都机场中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，即是偶函数又在单调递增的函数是
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
2. 若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）
A．B． C． D．
参考答案：
C
3、函数的反函数是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
4. 右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为
（）
A． B． C． D．
参考答案：C
略
5. 对于给定的正整数数列{a n}，满足a n+1=a n+b n，其中b n是a n的末位数字，下列关于数列{a n}的说法正确的是（）
A．如果a1是5的倍数，那么数列{a n}与数列{2n}必有相同的项
B．如果a1不是5的倍数，那么数列{a n}与数列{2n}必没有相同的项
C．如果a1不是5的倍数，那么数列{a n}与数列{2n}只有有限个相同的项
D．如果a1不是5的倍数，那么数列{a n}与数列{2n}有无穷多个相同的项．
参考答案：
D
【考点】数列递推式．
【分析】分类讨论：当a1是5的倍数，则数列{a n}的末位数字是5或0，数列{2n}的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，判断A不正确；当a1不是5的倍数时，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8，数列{a n}的末位数字可以是2，4，6，8，数列{2n}的末位数字有且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，由此判断B，C不正确，D正确．
【解答】解：如果a1是5的倍数，则数列{a n}的末位数字是5或0，数列{2n}的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，因此A不正确；
当a1不是5的倍数时，这个数加上它的末位数字，一直加下去，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8，数列{a n}的末位数字可以是
2，4，6，8，数列{2n}的末位数字有且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，因此B，C不正确，D正确．
∴关于数列{a n}的说法正确的是：D．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假判断与应用，考查了数列递推式的运用，求解此类题的关键是要对命题涉及的知识有很好的理解与掌握，是中档题．
6. 已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a的取值范围是（）
A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）
参考答案：
D
【考点】数列的函数特性．
【分析】依题意，a n=（n∈N*），{a n}是递减数列，可知，解之即可得答案．
【解答】解：∵a n=（n∈N*），且{a n}是递减数列，
∴，即，
解得＜a＜．
故选D．
7. 已知，给出下列三个判断:
(1) 函数的最小正周期为;
(2) 函数在区间内是增函数;
(3) 函数关于点对称.
以上三个判断中正确的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
参考答案：
D
8. 若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( ) 参考答案：
C
9. 函数是 ( )
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
参考答案：
C
10. 已知全集U={1,3,5,7}，集合A={1,3}，B={3,5}，则（）
A. {3}
B. {7}
C. {3,7}
D. {1,3,5}
参考答案：
B
【分析】
根据集合补集及交集的定义即可求解。

【详解】由题可得，，所以，
故答案选B。

【点睛】本题主要考查集合间的运算，属于基础题。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若x，y满足条件，且，则z
的最大值为．
参考答案：
7
由题,画出可行域为如图区域，
，当在处时，,故答案为7.
12. 已知O为△ABC的外心，，若，且32x+25y=25，则
=
．
参考答案：
10
略
13. 已知函数，则
参考答案：
14. 若等比数列满足，，则的前n项和________.
参考答案：
略
15. 在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数
列，称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；
③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列；
④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．
其中所有真命题的序号是________．
参考答案：
①③
16. 在中，，，设交于点，且，
，则的值为 .
参考答案：
试题分析:由题设可得,即,也即
,所以,解之得,故,应填.
考点：向量的几何运算及待定系数法的运用．
【易错点晴】平面向量是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的线段所在向量之间的
关系为背景精心设置了一道求其中参数的和的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,
综合运用向量的三角形法则,巧妙构造方程组,然后运用待定系数法建立方
程组,然后通过解方程组使得问题巧妙获解.
17. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于
____________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的值．参考答案：略
19. （13分）在测试中，客观题难度的计算公式为P i=，其中P i为第i题的难度，R i为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．
现对某校髙三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
“√”表示答对，“×”表示答错）：
120名学生中第5题的实测答对人数；
人答对第5题的概率；
（Ⅲ）定义统计量S=[（P′1﹣P 1）2+（P′2﹣P 2）
2+…+（P′n ﹣P n ）2]，其中P′i 为第i 题的实测难度，
P i 为第i 题的预估难度（i=l ，2，…，n ），规定：若S ＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（I ）根据题中数据，统计各题答对的人数，进而根据P i =，得到难度系数；
（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可得从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；
（Ⅲ）由S= [（P′1﹣P 1）2+（P′2﹣P 2）2+…+（P′n ﹣P n ）2]计算出S 值，与0.05比较后，可得答案． 【解答】解：（I ）根据题中数据，可得抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示：；
（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人， 共有
=10种不同的情况，
其中恰好有1人答对第5题的有=6种不同的情况， 故恰好有1人答对第5题的概率P=
=；
（Ⅲ）由题意得：S= [（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.7﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）
2]=0.012＜0.05，
故该次测试的难度预估合理．
【点评】本题考查的知识点是统计与概率，古典概型的概率计算公式，难度不大，属于基础题． 20. 已知p ：f (x )＝，且|f (a )|<2；q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R}，且A ≠?.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
参考答案：
略
21. 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为
，乙每次投中的概率为
，每人分别进行三次投篮．
（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．
参考答案：
22. （本小题满分14分）
如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .
求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC.
参考答案：
证明：（1）在平面内，因为AB ⊥AD ，
，所以
.
又因为
平面ABC ，
平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .
（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面
平面BCD =BD ， 平面BCD ，，
所以平面. 因为
平面
，所以
. 又AB ⊥AD ，
，
平面ABC ，
平面ABC ，
所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC
平面ABC ，
所以AD ⊥AC.。