高二数学人教版人教A版选修44课件第一讲三第2课时直线的极坐标方程

2.如图，在极坐标系中，过点 M(2，0)的直线 l 与极轴的夹 角 α＝π6.若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形 式，则 f(θ)＝________.
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正
弦定理得sin
O∠MOPM＝sin
∠OPOMP，即sinπ62－θ＝sinρ
所以圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y，
即 x2＋(y－1)2＝1，
其圆心(0,1)到直线 2 3x＋2y＋1＝0 的距离
d＝ |22×31＋2＋1|22＝34<1，则直线与圆相交， [答案] 2
故直线与圆的公共点的个数是 2.
谢谢！
圆 C 的直角坐标方程是 x2＋y2－2x＝0， 即(x－1)2＋y2＝1. 直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0. 圆心 C(1,0)，所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x＋y－1＝0. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－1＝0，即 ρcosθ－π4＝ 22.
方法·规律 解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐 标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将直 角坐标方程转化为极坐标方程即可．
极坐标方程为： ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α) ．
[问题思考]
1．在直线的极坐标方程中，ρ 的取值范围是什么？
提示：ρ 的取值范围是全体实数，即 ρ∈R.
2．在极坐标系中，点 M(ρ，θ)与点 P(－ρ，θ)之间有什么 关系？
提示：若 ρ<0，则－ρ>0，因此点 M(ρ，θ)与点 P(－ρ，θ) 关于极点对称．
(2)设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP 为直 角三角形，显比直角坐标系中直线的方程，可将(1)看成是直线方程 的点斜式，不难验证当 θ0＝0，α＝π2时，直线(1)即 ρcos θ＝ ρ0；当 θ0＝π2，α＝0 时，即 ρsin θ＝ρ0.
考点2
求较复杂直线的极坐标方程
求出下列直线的极坐标方程． (1)过定点 M(ρ0，θ0)，且与极轴成 α 弧度的角； (2)过定点 M(ρ0，θ0)，且与直线 θ＝θ0 垂直．
[精讲详析] 本题考查直线的极坐标方程的求法．解答本题需 要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立 ρ 与 θ 间的关系．
3．在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 和直线 ρsin θ ＝a 相交于 A，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求 a 的值．
解： 由 ρ＝4sin θ 可得 x2＋y2＝4y，即 x2＋(y－2)2＝4. 由 ρsin θ＝a 可得 y＝a. 设圆的圆心为 O′，y＝a 与 x2＋(y－2)2 ＝4 的两交点 A，B 与 O 构成等边三角形，如 图所示．由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a. 在 Rt△DOB 中，易求 DB＝ 33a， ∴B 点的坐标为 33a，a.又∵B 在 x2＋y2－4y＝0 上， ∴ 33a2＋a2－4a＝0，即43a2－4a＝0，解得 a＝0(舍去)或 a＝ 3.故 a 的值为 3.
考点1
求简单直线的极坐标方程
求过点 A2，π4且平行于极轴的直线的极坐标方程．
[精讲详析] 本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关键是通 过解直角三角形得到动点 M 的等式．然后转化为关于 ρ，θ 的等式．
如图所示，设 M(ρ，θ)为直线 l 上的任意一点． 过点 M 作 MH⊥x 轴，∵A(2，π4)， ∴|MH|＝2sin π4＝ 2.在 Rt△OMH 中，|MH| ＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2. ∴过点 A2，π4且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ρsin θ＝ 2.
[本节热点命题关注] 直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆 的位置关系的判断是高考命题的重点内容．天津高考以填空 题的形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位 置关系．
[考题印证] (天津高考)在极坐标系中，直线 4ρcosθ－π6＋1＝0 与圆 ρ＝2sin θ 的公共点的个数为________．
5π， 6
化简得 ρ＝sinπ61－θ，故 f(θ)＝sinπ61－θ.
答案：sinπ61－θ
考点3
直线与圆的极坐标方程的应用
已知圆 C：ρ＝2cos θ，直线 l：ρcos θ－ρsin θ＝4，求过 点 C 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程．
[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐 标方程的求法．解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一 般方程为极坐标方程即可．
方法·规律 求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为 ρ，θ 的等式． (4)化简整理．
1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)， ∵A2，π4， ∴|OH|＝2cos π4＝ 2.在 Rt△OMH 中，|OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. ∴过 A2，π4且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
(1)设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，且记∠OPM＝∠1， ∠OMP＝∠2， 则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)． 在△OMP 中应用正弦定理： sin ρ∠2＝sinρ0∠1， 即 ρ＝ρ0·sinsinπ－∠∠1 2＝ρ0·ssininαα－－θθ0. 即直线方程为 ρsin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
[命题立意] 本题主要考查直线和圆的极坐标方程与直角坐
标方程的互化以及直线与圆的位置关系．
[解析]
依题意，得
4ρ
3 2 cos
θ＋12sin
θ＋1＝0，
即 2 3ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，
所以直线的直角坐标方程为 2 3x＋2y＋1＝0.
由 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝2ρsin θ，
三 简单曲线的极坐标方程
第 2 课时 直线的极坐标方程
[核心必知]
直线的极坐标方程
1．当直线 l 过极点，从极轴到 l 的角是 α，则 l 的方程为：θ＝α(ρ∈R)． 2．当直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴时，l 的方程为 ρcos θ＝a.
3．若直线经过点 M(ρ0，θ0)，且从极轴到此直线的角为 α，则直线 l 的