中考数学二模试题(带答案解析)

数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
满分:150分测试时间:120分钟
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）若|x|＝5，|y|＝2且x＜0，y＞0，则x+y＝（）
A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3
2．（3分）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（）A．7100 B．0.71×104C．71×102D．7.1×103
3．（3分）如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（）
A．B．C．D．
4．（3分）某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位:℃）:﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是（）
A．平均数是﹣2 B．中位数是﹣2 C．众数是﹣2 D．方差是﹣2
5．（3分）如图，AB∥CD，∠A＝30°，∠F＝40°，则∠C＝（）
A．65°B．70°C．75°D．80°
6．（3分）已知一次函数y＝kx+b，当x的值每减小0.5时，y的值就增加2，则k的值是（）A．﹣8 B．﹣4 C．﹣2 D．﹣1
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）√22=
8．（3分）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，
（1）左转了次;
（2）一共走了 米．
9．（3分）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是 ．
10．（3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠AOC =23∠B ，则∠D 的度数为 °．
11．（3分）对于命题”如果a ＝b ，那么ac ＝bc ．”，它的逆命题是 命题．（填”真”或”假”）
12．（3分）设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2021＝0的两个实数根，则m 2+3m +n ＝ ．
13．（3分）已知关于x 、y 的方程组{x −y =2k 2x −3y =3k −2
的解满足3﹣x +2y ＝0，则k 的值为 ． 14．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点G 是△ABC 的重心，CG ＝2，则AB 长为 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，已知P （0，2），Q （﹣3，0）．将线段PQ 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PM ，点Q 的对应点为M ，则点M 的坐标为 ．
16．（3分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在AD 上，且DE ＝CD ，连接OE ，BE ，AC 与BE 相交于点F ，∠ABE =12∠ACB ，则下列结论:①BE ＝DE ;②OE ⊥BD ;③△AEF 是等腰三角形;④当AE ＝2，则OE 的长为√13，其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三．解答题（共10小题，满分102分）17．（12分）计算:
（1）（−1
2）
﹣2+（π﹣3）0+|1−√2|+tan45°; （2）
x
x+1
=
2x
3x+3
+1
18．（8分）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）m＝，n＝．
（2）请补全条形统计图;
（3）在扇形统计图中，”软件”所对应的扇形的圆心角是度;
（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计”总线”专业的毕业生有名．
19．（8分）在一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外均相同．（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，经过大量重复该实验，发现摸到绿球的频率值稳定于0.2，则n的值是;
（2）当n＝2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（用”画树状图”或”列表”的方法写出分析过程）
20．（8分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF ，点E 、F 分别在BC 、AD 上（不写作法，仅保留作图痕迹）;
（2）求EF 的长．
21．（10分）如图，一次函数y ＝2x ﹣b 的图象与反比例函数y =k x （x ＞0）的图象交于点A （m ，2），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C （0，﹣2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式;
（2）当x ＞0时，求关于x 的不等式k x +b ＞2x 的解集．
22．（10分）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行38km 到B 港，然后再沿北偏西42°方向航行至C 港，已知C 港在A 港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C 的度数;
（2）求A 、C 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
23．（10分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明:售价在40～60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个?
（2）当台灯的售价定为多少时，获得的月利润最大?
24．（10分）如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，P A与⊙O相切于点A，连接PB、PC，且P A＝PB．（1）求证:PB与⊙O相切;
（2）若∠APB＝60°，P A＝6√3，求PC、PB、弧BC所围成图形的面积．
25．（12分）问题背景:如图①设P是等边△ABC内一点，P A＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是:将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证:
△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．
简单应用:（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝3，PC＝2√2，则∠BPC＝°
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．拓展延伸:①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证:√2BD＝AD+DC．
②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ．E 为抛物线上一点，直线AE 交y 轴于点D ，且OD ＝OA ．
（1）求抛物线的解析式;
（2）点P 是第四象限内的抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线AE 于点Q ，交x 轴于点F ，过点P 作PG ⊥AE 于点G ，交x 轴于点H ，求PQ −√22GQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标;
（3）如图2，点K 为线段OD 的中点，作射线AK ，将该抛物线沿射线AK 方向平移√52个单位长度，得到新抛物线y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），新抛物线与原抛物线交于点I ．点N 是平面内一点，点M 是新抛物线上一点，若以点I 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以IE 为边的矩形，请直接写出点N 的坐标．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）若|x|＝5，|y|＝2且x＜0，y＞0，则x+y＝（）
A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3
[分析]由绝对值的定义，得x＝±5，y＝±2，再根据x＜0，y＞0，确定x、y的具体对应值，最后代入计算x+y的值．
[解答]解:∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5，y＝±2，
∵x＜0，y＞0，
∴x＝﹣5，y＝2，
∴x+y＝﹣3．
故选:D．
[点评]主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中x、y的取值再去计算结果．注意绝对值等于一个正数的数有两个;两个负数，绝对值大的反而小．
2．（3分）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（）A．7100 B．0.71×104C．71×102D．7.1×103
[分析]科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数;当原数的绝对值＜1时，n是负数．
[解答]解:将7100用科学记数法表示为:7.1×103．
故选:D．
[点评]此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（）
A．B．C．D．
[分析]根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
[解答]解:从上边看是一个六边形，中间为圆．
故选:D ．
[点评]此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是要把所看到的棱都表示到图中．
4．（3分）某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位:℃）:﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A ．平均数是﹣2
B ．中位数是﹣2
C ．众数是﹣2
D ．方差是﹣2
[分析]将这组数据从小到大重新排列，再根据算术平均数、中位数、众数和方差的定义求解可得．
[解答]解:将这组数据重新排列为﹣7、﹣4、﹣2、﹣2、1、2，
∴这组数据的平均数为
−7−4−2−2+1+26=−2，中位数为−2−22=−2，众数为﹣2， 方差为16×[（﹣7+2）2+（﹣4+2）2+2×（﹣2+2）2+（1+2）2+（2+2）2]＝9，
故选:D ．
[点评]本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数、中位数、众数和方差的定义．
5．（3分）如图，AB ∥CD ，∠A ＝30°，∠F ＝40°，则∠C ＝（ ）
A ．65°
B ．70°
C ．75°
D ．80°
[分析]根据三角形外角性质得出∠FEB ，再利用平行线的性质解答即可．
[解答]解:∵∠A ＝30°，∠F ＝40°，
∴∠FEB ＝∠A +∠F ＝30°+40°＝70°，
∵AB ∥CD ，
∴∠C ＝∠FEB ＝70°，
故选:B ．
[点评]此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
6．（3分）已知一次函数y ＝kx +b ，当x 的值每减小0.5时，y 的值就增加2，则k 的值是（ ）
A ．﹣8
B ．﹣4
C ．﹣2
D ．﹣1
[分析]根据一次函数y ＝kx +b ，当x 的值每减小0.5时，y 的值就增加2，可以计算出k 的值，从而可以解答本题．
[解答]解:设x ＝a 时，y ＝ak +b ，
则当x＝a﹣0.5时，y+2＝（a﹣0.5）k+b，
故2＝﹣0.5k，
解得，k＝﹣4，
故选:B．
[点评]本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
7．（3分）√22=2
[分析]利用算术平方根的定义求解．
[解答]解:√22=2．
故答案为2．
[点评]本题考查了算术平方根:求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
8．（3分）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，
（1）左转了11次;
（2）一共走了120米．
[分析]根据多边形的外角和即可求出答案．
[解答]解:∵360÷30＝12，
∴他需要走12﹣1＝11次才会回到原来的起点，即一共走了12×10＝120米．
故答案为11，120．
[点评]本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．9．（3分）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是
红球的概率是1
3
．
[分析]用红球的个数除以总球的个数即可得出答案．
[解答]解:∵不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，共有6个球，
∴从袋子中随机取出1个球是红球的概率是26=13; 故答案为:13． [点评]本题考查了概率公式:随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
10．（3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠AOC =23
∠B ，则∠D 的度数为 45 °．
[分析]根据圆周角定理得到∠AOC ＝2∠D ，根据题意得到∠AOC =23
∠B ，根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．
[解答]解:由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ，
∵∠AOC =23∠B ，
∴23∠B ＝2∠D ， ∴∠B ＝3∠D ，
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠D +∠B ＝180°，
∴∠D +3∠D ＝180°，
解得，∠D ＝45°，
故答案为:45．
[点评]本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
11．（3分）对于命题”如果a ＝b ，那么ac ＝bc ．”，它的逆命题是 假 命题．（填”真”或”假”）
[分析]写出原命题的逆命题，根据等式的性质判断即可．
[解答]解:命题”如果a ＝b ，那么ac ＝bc ．”，它的逆命题是”如果ac ＝bc ，那么a ＝b ．”，
是假命题，
故答案为:假．
[点评]本题考查的是命题的概念、命题的真假判断，掌握逆命题的概念是解题的关键．
12．（3分）设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2021＝0的两个实数根，则m 2+3m +n ＝ 2019 ．
[分析]先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m +n ＝﹣2，m 2+2m ＝2021，将其代入原式＝m 2+2m +m +n ＝m 2+2m +（m +n ）计算可得．
[解答]解:∵m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2021＝0的两个实数根，
∴m +n ＝﹣2，m 2+2m ＝2021，
则原式＝m 2+2m +m +n
＝m 2+2m +（m +n ）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为:2019．
[点评]本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1•x 2=c a
．
13．（3分）已知关于x 、y 的方程组{x −y =2k 2x −3y =3k −2
的解满足3﹣x +2y ＝0，则k 的值为 5 ． [分析]解关于x 、y 的方程组{
x −y =2k ①2x −3y =3k −2②
，把解代入3﹣x +2y ＝0，求出k 的值即可． [解答]解:解关于x 、y 的方程组{x −y =2k ①2x −3y =3k −2②， ①×3﹣②得:x ＝3k +2，③
把③代入①，得
y ＝k +2，④
把③、④代入3﹣x +2y ＝0，得
3﹣（3k +2）+2（k +2）＝0，
解得k ＝5，
故答案为:5．
[点评]本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
14．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点G 是△ABC 的重心，CG ＝2，则AB 长为 6 ．
[分析]延长CG 交AB 于D ，如图，根据三角形重心的定义和性质得到CD 为斜边AB 上的中线，CG ＝2DG ，
则可求出CD，然后根据直角三角形斜边上的中线性质确定AB的长．[解答]解:延长CG交AB于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD为斜边AB上的中线，CG＝2DG，
∴DG=1
2CG＝1，
∴CD＝CG+DG＝2+1＝3，
∴AB＝2CD＝6．
故答案为6．
[点评]本题考查了三角形的重心:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．
15．（3分）在平面直角坐标系中，已知P（0，2），Q（﹣3，0）．将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PM，点Q的对应点为M，则点M的坐标为（2，﹣1）．
[分析]利用旋转变换的性质作出图形即可解决问题．
[解答]解:如图，由作图可知，M（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
[点评]本题坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD上，且DE＝CD，连接OE，BE，
AC与BE相交于点F，∠ABE=1
2∠ACB，则下列结论:①BE＝DE;②OE⊥BD;③△AEF是等腰三角形;④
当AE＝2，则OE的长为√13，其中正确的结论是③④．（填写所有正确结论的序号）
[分析]根据矩形的性质和DE＝CD，可得①错误;根据BO＝DO，BE≠DE，可得②错误;根据∠ABE=1 2∠
ACB，于是作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F．设BE与AC的交点为G．推出△CBF与△AFE均为等腰三角形，可得③正确;设矩形的宽为x，然后表示出BC和AC的长度，由勾股定理列方程解出x，接下来利用∠ADB的正弦值和余弦值求出EF和OF，EF的长度，OE的长度也就可以算出来了，即可判断④正确．
[解答]解:∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝90°，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE，
∵AB＜BE，
∴BE≠DE，故①错误;
∵BO＝DO，BE≠DE，
∴OE与BD不垂直，故②错误;
如图，作CH⊥BE于H，EG⊥BD于G．设BE与AC的交点为F．
则∠HBC+∠BCH＝∠BHC＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AC＝BD
∴∠ABE+∠CBH＝90°，
∴∠ABE＝∠BCH，
∵∠ABE=1
2∠ACB，
∴∠BCH＝∠GCH，
∴BH＝FH，BC＝CG，∠CBH＝∠CGH，
设AB ＝x ，则ED ＝CD ＝AB ＝x ，
∵AE ＝2，所以AD ＝AE +ED ＝2+x ，
∴CG ＝CB ＝2+x ，
∵AD ∥BC ，
∴∠AEG ＝∠CBH ＝∠CGH ＝∠AGE ，
∴AF ＝AE ＝2，故③正确;
∴AC ＝AG +CG ＝4+x ，
在Rt △ABC 中:AB 2+BC 2＝AC 2，
∴x 2+（x +2）2＝（x +4）2，解得x 1＝6，x 2＝﹣2（舍），
∴AB ＝CD ＝6，AD ＝AC ＝8，AC ＝BD ＝10，
∵AC 与BD 交于点O ，
∴AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝5，
∵sin ∠BDA =AB BD =EF DE =35，cos ∠BDA =AD BD =DF ED =45，
∴EF =35ED =185，DF =45ED =245，
∴OF ＝OD ﹣DF ＝5−245=15，
在Rt △EFO 中:
OE 2＝OF 2+EF 2＝（15）2+（185）2=32525
=13， ∴OE =√13，故④正确．
故其中正确的结论是③④．
故答案为:③④．
[点评]本题为四边形综合题，主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等重要知识点．证明△CBG 和△AEG 均为等腰三角形是解答本题的要点和关键所在，难度很大．
三．解答题（共10小题，满分102分）
17．（12分）计算:
（1）（−12）﹣2+（π﹣3）0+|1−√2|+tan45° （2）x x+1=2x 3x+3+1
[分析]（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值;
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．[解答]解:（1）原式＝4+1+√2−1+1
＝5+√2;
（2）去分母得:3x＝2x+3x+3，
解得:x=−3 2，
经检验x=−3
2是分式方程的解．
[点评]此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握分式方程的解法以及运算法则是解本题的关键．
18．（8分）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）m＝50，n＝10．
（2）请补全条形统计图;
（3）在扇形统计图中，”软件”所对应的扇形的圆心角是72度;
（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计”总线”专业的毕业生有180名．
[分析]（1）根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可计算出n的值;
（2）根据（1）中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整;
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，”软件”所对应的扇形的圆心角的度数;
（4）根据统计图中的数据，可以计算出”总线”专业的毕业生的人数．
[解答]解:（1）m＝15÷30%＝50，
n%＝5÷50×100%＝10%，
故答案为:50，10;
（2）硬件专业的毕业生有:50×40%＝20（人），补全的条形统计图如右图所示;
（3）在扇形统计图中，”软件”所对应的扇形的圆心角是360°×10
50
=72°，
故答案为:72;
（4）600×30%＝180（名），
即”总线”专业的毕业生有180名，
故答案为:180．
[点评]本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）在一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外均相同．（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，经过大量重复该实验，发现摸到绿球的频率值稳定于0.2，则n的值是3;
（2）当n＝2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（用”画树状图”或”列表”的方法写出分析过程）
[分析]（1）根据绿球的频率稳定在0.2附近得到绿球的概率约为0.2，根据绿球个数确定出总个数，进而确定出白球个数;
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后利用概率公式求解即可．
[解答]解:（1）根据题意得:1
n+1+1
=0.2，解得:n＝3，
则n的值为3，
故答案为:3;
（2）根据题意画图如下:
共有12种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有10种，
则摸出的两个球颜色不同的概率是1012=56． [点评]此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解绿球的频率稳定在0.2附近即为概率约为0.2．用到的知识点为:概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF ，点E 、F 分别在BC 、AD 上（不写作法，仅保留作图痕迹）;
（2）求EF 的长．
[分析]（1）连接AC ，作AC 的垂直平分线，分别交BC 于E ，交AD 于F ，连接AE ，CF ，则四边形AECF 是菱形;
（2）依据勾股定理即可得到AE 和AO 的长，再根据勾股定理即可得出OE 的长，依据等腰三角形的性质，即可得到EF ＝2OE ．
[解答]解:（1）如图所示，菱形AECF 即为所求;
（2）设AE ＝CE ＝x ，则BE ＝8﹣x ，
∵∠B ＝90°，
∴Rt △ABE 中，AB 2+BE 2＝AE 2，
即42+（8﹣x ）2＝x 2，
解得x ＝5，
∴AE ＝5，
∵Rt △ABC 中，AC =√42+82=4√5，
∴AO =12AC ＝2√5，
∴Rt △AOE 中，OE =√52−(2√5)2=√5，
∵AE ＝CE ，OE ⊥AC ，
∴∠AEO ＝∠CEO ，
∵AF ∥CE ，
∴∠CEO ＝∠AFO ，
∴∠AEO ＝∠AFO ，
∴AE ＝AF ，
又∵AO ⊥EF ，
∴O 是EF 的中点，
∴EF ＝2OE =2√5．
[点评]本题主要考查了复杂作图，菱形的判定以及矩形的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．（10分）如图，一次函数y ＝2x ﹣b 的图象与反比例函数y =k x （x ＞0）的图象交于点A （m ，2），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C （0，﹣2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式;
（2）当x ＞0时，求关于x 的不等式k x +b ＞2x 的解集．
[分析]（1）用待定系数法即可求解;
（2）观察函数图象即可求解．
[解答]解:（1）把C （0，﹣2）代入y ＝2x ﹣b 中得:﹣2＝﹣b ，解得b ＝2，
∴一次函数的表达式为y ＝2x ﹣2，
把A （m ，2）代入y ＝2x ﹣2中，得m ＝2，
∴A （2，2），
把A （2，2）代入y =k x 中，得k ＝4，
∴反比例函数的表达式是y =4x ;
（2）∵k x +b ＞2x ， ∴k x ＞2x ﹣b ， 根据图象可知，当x ＞0时，不等式k x ＞2x ﹣b 的解集为0＜x ＜2． [点评]本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
22．（10分）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行38km 到B 港，然后再沿北偏西42°方向航行至C 港，已知C 港在A 港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C 的度数;
（2）求A 、C 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
[分析]（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案;
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．
[解答]解:（1）如图，由题意得:
∠ACB＝20°+42°＝62°;
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝62°，AB＝38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示:
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝38，
∴AE＝BE=√2
2AB＝19√2，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB=BE CE，
∴CE=
BE
tan62°
=19√2
tan62°，
∴AC＝AE+CE＝19√2+
19√2 tan62°
∴A，C两港之间的距离为（19√2+
19√2
tan62°）km．
[点评]本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识;熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（10分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明:售价在40～60元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个?
（2）当台灯的售价定为多少时，获得的月利润最大?
[分析]（1）设涨价为x元，则能卖出（600﹣10x）个，根据每个台灯的利润×销售量＝总利润，列出方程求解即可;
（2）设涨价x元时，最大月利润为y元，根据题意列出y关于x的二次函数，根据二次函数的性质求解即可．
[解答]解:（1）设涨价为x元，由题意得:
（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，
整理，得x2﹣50x+400＝0，
解得:x1＝10，x2＝40，
∵40≤40+x≤60，
∴0≤x≤20，
∴x＝10，
∴台灯的售价定为40+10＝50元，这时应进台灯600﹣10×10＝500个．
答:台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．
（2）设涨价x元时，最大月利润为y元，
则y＝（40﹣30+x）（600﹣10x）
＝﹣10x2+500x+6000
＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵0≤x≤20，
∴x＝20，即售价为60元时，y max＝12000．
答:当售价为60元时，获得的最大月利润为12000元．
[点评]本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（10分）如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，P A与⊙O相切于点A，连接PB、PC，且P A＝PB．（1）求证:PB与⊙O相切;
（2）若∠APB＝60°，P A＝6√3，求PC、PB、弧BC所围成图形的面积．
[分析]（1）由切线的性质可得∠OAP＝90°，由等腰三角形的性质可得∠OAB+∠P AB＝∠OBA+∠PBA ＝∠P AO＝∠PBO＝90°，可得结论;
（2）根据已知条件得到△APB是等边三角形，求得∠P AB＝60°，AB＝P A＝6√3，得到∠BOC＝60°，求得OB＝6，连接OP，推出OP垂直平分AB，得到PO∥BC，根据扇形的面积公式即可得到结论．[解答]证明:（1）连接OB，BC，设AB与OP交于点K，
∵P A是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵P A＝PB，
∴∠PBA＝∠P AB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OAB+∠P AB＝∠OBA+∠PBA，
∴∠P AO＝∠PBO＝90°，且OB是半径，
∴PB是⊙O的切线;
（2）∵P A＝PB，∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴∠P AB＝60°，AB＝P A＝6√3，∴∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝2BC＝2×√3
3AB＝12，
∴OB＝6，
连接OP，
∵OA＝OB，AP＝BP，∴OP垂直平分AB，∴PO∥BC，
∴S△OBC＝S△PBC，
∴S阴影＝S扇形COB=60⋅π×62
360
=6π．
[点评]本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）问题背景:如图①设P是等边△ABC内一点，P A＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是:将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证:
△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．
简单应用:（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝3，
PC＝2√2，则∠BPC＝135°
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝13．拓展延伸:①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证:√2BD＝AD+DC．
②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．
[分析]简单应用:（1）先利用旋转得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2√2，再根据勾股定理得出PP'=√2CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论; （2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论;
拓展延伸:①先利用旋转得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点D'在DC的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论;
②同①的方法即可得出结论．
[解答]解:简单应用:（1）如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将
△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，
∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2√2，
∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，
根据勾股定理得，PP'=√2CP＝4，
∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，
∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，
∴∠BPP'＝90°，
∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，
故答案为:135;
（2）如图3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠P AP'＝60°，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，
根据勾股定理得，BP'=√BP2+PP′2=13，
∴CP＝13，
故答案为:13;
拓展延伸:①如图4，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，
∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCD'＝180°，
∴点D'在DC的延长线上，
∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，
在Rt△DBD'中，DD'=√2BD，
∴√2BD＝CD+AD;
②如图5，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，
∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，AB与CD的交点记作G，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝90°，
∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD＝∠BAD'，
∴点D'在AD的延长线上，
∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，
在Rt△BDD'中，BD=√2
2DD'=√2．
[点评]此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三点共线，利用旋转作出辅助线是解本题的关键．
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ．E 为抛物线上一点，直线AE 交y 轴于点D ，且OD ＝OA ．
（1）求抛物线的解析式;
（2）点P 是第四象限内的抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线AE 于点Q ，交x 轴于点F ，过点P 作PG ⊥AE 于点G ，交x 轴于点H ，求PQ −√22GQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标;
（3）如图2，点K 为线段OD 的中点，作射线AK ，将该抛物线沿射线AK 方向平移√52个单位长度，得到新抛物线y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），新抛物线与原抛物线交于点I ．点N 是平面内一点，点M 是新抛物线上一点，若以点I 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以IE 为边的矩形，请直接写出点N 的坐标．
[分析]（1）由待定系数法即可求解;
（2）证明△PQG 为等腰直角三角形，则PQ −√22GQ ＝PQ ﹣QK ＝PK =12PQ =12（x +2−12x 2+x +4）=−14x 2+x +3，即可求解;
（3）求出平移后的抛物线为y =12x 2﹣2x ﹣2，得到点I 的坐标为（2，﹣4），则点I 向右平移4个单位向上平移12个单位得到点E ，同样，点M （N ）向右平移4个单位向上平移12个单位N （M ）且EM ＝MI （EN ＝MI ），即可求解．
[解答]解:（1）设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝a （x +2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8）， 则﹣8a ＝﹣4，解得a =12，
抛物线的表达式为y =12x 2﹣x ﹣4①;
（2）∵OA ＝OD ＝2，故点D （0，2），
由点A 、D 的坐标得，直线AE 的表达式为y ＝x +2，
设点P 的坐标为（x ，12
x 2﹣x ﹣4），则点Q （x ，x +2）， ∵OA ＝OD ，故∠QAK ＝45°，
而GP ⊥AE ，则△PQG 为等腰直角三角形，
过点G 作GK ⊥PQ 于点K ，则QK ＝PK =√22GQ ，
则PQ −√22GQ ＝PQ ﹣QK ＝PK =12PQ =12（x +2−12x 2+x +4）=−14x 2+x +3，
∵−14＜0，故抛物线开口向下，
∴PQ −√22GQ 有最大值，当x ＝2时，PQ −√22GQ 的最大值为4，
此时点P （2，﹣4）;
（3）联立y =12x 2﹣x ﹣4和y ＝x +2并解得{x =6y =8或{x =−2y =0
，故点E （6，8）， ∵点K 为线段OD 的中点，则点K （0，1），
∴tan KAO =OK OA =12，则sin ∠KAO =√5，cos ∠KAO =√5
， 则该抛物线沿射线AK 方向平移√52个单位长度相当于向右平移1个单位向上平移12
个单位， 则平移后的抛物线为y =12（x ﹣1）2﹣（x ﹣1）﹣4+12=12（x ﹣2）2﹣4=1
2x 2﹣2x ﹣2②;
联立①②并解得{x =2y =−4
， 故点I 的坐标为（2，﹣4），
设点M （m ，n ），n =12m 2﹣2m ﹣2③，
而点E （6，8），
则点I 向右平移4个单位向上平移12个单位得到点E ，。