【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.

课时分层作业(十一) 奇偶性的概念
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2
－12x ，则f (1)＝( )
A ．－32
B ．－12
C ．32
D ．12
A [因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－3
2.]
2．若函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，则必有( )
【导学号：37102160】
A ．f (x )f (－x )>0
B ．f (x )f (－x )<0
C ．f (x )<f (－x )
D ．f (x )>f (－x )
B [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 又f (x )≠0，
∴f (x )f (－x )＝－[f (x )]2
<0.] 3．函数f (x )＝2x －1
x
的图象关于( )
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．直线y ＝x 对称
D ．坐标原点对称
D [函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则f (－x )＝－2x ＋1x
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x ＝－f (x )，
则函数f (x )是奇函数，则函数f (x )＝2x －1
x
的图象关于坐标原点对称．故选D.]
4．下列函数为奇函数的是( )
【导学号：37102161】
A ．y ＝－|x |
B ．y ＝2－x
C ．y ＝1
x
3
D ．y ＝－x 2
＋8
C [A 、
D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶，而C 项中函数为奇函数．] 5．若f (x )＝(x －a )(x ＋3)为R 上的偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－6
D ．6
B [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x －a )(－x ＋3)＝(x －a )(x ＋
3)，化简得(6－2a )x ＝0.因为x ∈R ，所以6－2a ＝0，即a ＝3.] 二、填空题
6．已知f (x )＝x 3
＋2x ，则f (a )＋f (－a )的值为________.
【导学号：37102162】
0 [∵f (－x )＝－x 3－2x ＝－f (x )， ∴f (－x )＋f (x )＝0， ∴f (a )＋f (－a )＝0.]
7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2
＋1，则f (－2)＋f (0)＝________. －5 [由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22
＋1)＝－5，f (0)＝0，∴f (－2)＋f (0)＝－5.]
8．若函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.
【导学号：37102163】
1
3
0 [由题意可知，f (－x )＝f (x )，即2bx ＝0， ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －1＋2a ＝0，
b ＝0，∴a ＝1
3
，b ＝0.]
三、解答题
9．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f (x )是奇函数，其部分图象如图1­3­10所示．
图1­3­10
(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象； (2)比较f (1)与f (3)的大小．
[解] (1)由于f (x )是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f (3)<f (1)．
10．已知函数f (x )＝x ＋m x
，且f (1)＝3. (1)求m 的值；
(2)判断函数f (x )的奇偶性.
【导学号：37102164】
[解] (1)由题意知，f (1)＝1＋m ＝3，
∴m ＝2.
(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2
x
，x ≠0.
∵f (－x )＝(－x )＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．
[冲A 挑战练]
1．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
C [∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴|f (x )|为偶函数，|g (x )|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x )|g (x )|为奇函数，故选C.]
2．已知f (x )＝x 5
＋ax 3
＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )
【导学号：37102165】
A ．21
B ．－21
C ．26
D ．－26
B [设g (x )＝x 5
＋ax 3
＋bx ，则g (x )为奇函数，由题设可得f (－3)＝g (－3)－8＝5，求得g (－3)＝13.又g (x )为奇函数，所以g (3)＝－g (－3)＝－13，于是f (3)＝g (3)－8＝－13－8＝－21.] 3．设函数f (x )＝
x ＋
x ＋a
x
为奇函数，则a ＝________.
－1 [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即
－x ＋
－x ＋a
－x
＝－
x ＋
x ＋a
x
.
显然x ≠0，整理得x 2
－(a ＋1)x ＋a ＝x 2
＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1.]
4．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时f (x )的图象如图1­3­11所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________.
【导学号：37102166】
图1­3­11
[－6，－3)∪(0,3) [由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．] 5．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x －2＋2－x ； (2)f (x )＝|x ＋b |－|x －b |；
(3)f (x )＝x 2
－|x |＋1，x ∈[－1,4]；
(4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ＋6，x ≤0，
x 2
－4x ＋6，x >0.
[解] (1)因为f (x )的定义域为{2}，不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数． (2)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．
①当b ≠0时，f (－x )＝|－x ＋b |－|－x －b |＝|x －b |－|x ＋b |＝－(|x ＋b |－|x －b |)＝－f (x )． ②当b ＝0时，f (x )＝|x |－|x |＝0， 所以－f (x )＝0.
又因为f (－x )＝|－x |－|－x |＝0， 所以f (－x )＝f (x )，且f (－x )＝－f (x )．
综上可知，当b ≠0时，函数f (x )是奇函数；当b ＝0时，函数f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)因为f (x )＝x 2
－|x |＋1，x ∈[－1,4]的定义域不关于原点对称， 所以f (x )是非奇非偶函数．
(4)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ＋6，x ≤0，
x 2
－4x ＋6，x >0，
所以f (－x )＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
－x 2
＋－x ＋6，－x ≤0，－x
2
－
－x ＋6，－x >0
＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－4x ＋6，x ≥0，
x 2
＋4x ＋6，x <0＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋4x ＋6，x ≤0，
x 2
－4x ＋6，x >0＝f (x )，
所以f (x )是偶函数．。