四川省德阳市第六中学2020年高三数学理联考试卷含解析

四川省德阳市第六中学2020年高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
函数的最小值为（）
A. 1003×1004
B. 1004×1005
C. 2006×2007
D. 2005×2006
参考答案：
答案：A
解析：由绝对值的几何意义知x=1004时，取得最小值：此时的最小值为
2×（1003+1002+……+1）= 1003×1004
2. 设a=，则二项式展开式中的x3项的系数为( ) A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160
参考答案：
C
【考点】二项式定理；微积分基本定理．
【专题】计算题．
【分析】计算定积分求得a的值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．
解：由于a==（sinx+cosx）=﹣2，
则二项式展开式的通项公式为 T r+1=?x12﹣2r?=（﹣2）r??x12﹣3r，
令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20=﹣160，
故选C．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
3. 已知函数，且，若关于的方程有3个不同实根，则实数k的取值范围是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C
4. 如图2是函数图象一部分，对不同的，若
，有，则（）
A．在(－)上是增函数B．在(－)上是减函数
C．在(－)上是增函数D．在(－)上是减函数参考答案：
A
试题分析：根据函数图象得出；，对称轴为：，，
，，∵，∴．即
，∵，∴，∴
，
∵，，
∴．故选：A．
考点：正弦函数的图象.
【思路点晴】本题考察了三角函数的图象和性质的运用，关键是利用图象得出对称轴，最值即可，加强分析能力的运用；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数
的性质求解.
5. 在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则＝
A、 B、C、D、
参考答案：
B
由知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则
，于是，据此，，故选B
6. 在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是
，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（）
A． B． C．24 D．6
参考答案：
D
7. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输
出的值为
A. B. C. D.参考答案：
C
【考点】算法和程序框图
【试题解析】
由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，
则输出的a为3．
8. △ABC中，“”是“”的（）条
件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分又不必要
参考答案：
C
9. （5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（） A．﹣10 B．﹣5 C． 0 D． 5
参考答案：
C
【考点】：等差数列的前n项和．
【专题】：等差数列与等比数列．
【分析】：设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．
解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），
由，得，
整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，
∴．
故选：C．
【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
10. 已知满足不等式,且目标函数最大值的变化范围,则t的取值范围( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在2个零点x1，x2，且x1，x2都大于0，则a的取值范围是．
参考答案：
（0，2）
【分析】通过a与0的大小讨论，利用函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在两个正零点，转化为函数的极值与0的关系，然后得到答案．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=﹣3x2+1有且只有两个零点，一个为正，一个为负不满足条件；
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=0，解得：x=0，或x=，x=0是极大值点，x=是极小值点，
∵f（0）=1≠0，
∴f（）=＜0，
解得：a∈（0，2），
当a＜0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=0，解得：x=0，或x=，x=0是极小值点，x=是极大值点，
∵f（0）=1＞0，函数只有一个零点，不满足题意，
综上，a∈（0，2）．
给答案为：（0，2）．
12. 过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C.
若，AC=8，BC=9，则AB=________.
参考答案：
4
13. 执行右面的框图，若输出结果为，则输入的实数的值是______.
参考答案：
略
14. 右图是一个算法流程图，则输出
的值是．
参考答案：
25 略
15. 在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切
线与两个坐标轴交于两点,则
的面积的最小值为
参考答案：
16. 在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=3，∠B=2∠A，cosA=，则
sinA= ，b=
．
参考答案：
解：∵cosA=，A 为三角形内角，
∴sinA=
=
，
∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2×
×
=
∴由正弦定理可得：
=
，可得：b=
=
=2
．
故答案为：，2
考点：正弦定理；二倍角的余弦．
专题：计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．
分析：利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，由二倍角公式可求sinB ，利用正弦定理即可求b 的值．
解答：解：∵cosA=
，A 为三角形内角， ∴sinA=
=
，
∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2×
×
=
∴由正弦定理可得： =，可得：b===2．
故答案为：
，2
．
点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．
17. 已知平面图形
A
BCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直
线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形A
BCD 面积
的最大值为__________
参考答案：
设，在
中，由余弦定理可得，
.
在
中，由余弦定理可得，
，即有
，
又四边形面积
，即有，又
，两式两边平方可得
.化简可得，
，由于，即有，当即时，，解得.故的最大值为.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求不等式的解集A；
（2）在（1）的条件下，若，求证：.
参考答案：
（1）（2）见证明
【分析】
（1）利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集.（2）将要证明的不等式两边平方，然后利用差比较法证明不等式成立.
【详解】解：（1）①当时，不等式可化为，解得：，
故有；
②当时，不等式可化为，解得：，故有
；
③当时，不等式可化为，解得：，故有.
综上，不等式的解集为.
（2）由
.
因为，所以，，所以，，所以.
所以，故不等式成立.
【点睛】本小题主要考查零点分段法解含有绝对值的不等式，考查分析法证明不等式，考查差比较法证明不等式，属于中档题.
19. 已知函数f（x）=（x+）e x，a∈R．（1）若f′（﹣1）=0求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【专题】综合题；导数的综合应用．
【分析】（1）求函数f（x）=（x+）e x的定义域，当f′（﹣1）=0时，a=1，f（x）=xe x，f′（x）=（x+1）e x，从而由导数的几何意义写出切线方程即可；
（2）先求导f′（x）；再设h（x）=x3+x2+（a﹣1）x﹣（a﹣1），h′（x）=3x2+2x+a﹣1，故由导数知分a＞1，a=1与a＜1分别讨论即可．
【解答】解：函数f（x）=（x+）e x的定义域为{x|x≠0}，f′（x）
=e x；
（1）当f′（﹣1）=0时，a=1，f（x）=xe x，f′（x）=（x+1）e x，
所以f（1）=e，f′（1）=2e；
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣e=2e（x﹣1），
即2ex﹣y﹣e=0；
（3）f′（x）=e x；
设h（x）=x3+x2+（a﹣1）x﹣（a﹣1），h′（x）=3x2+2x+a﹣1，
①当a＞1时，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上为增函数；
而h（0）=﹣a+1＜0，h（1）=2＞0，
故函数h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，
故这个零点为函数f（x）在区间（0，1）上的唯一的极小值点；
②当a=1时，x∈（0，1）时，h′（x）=3x2+2x＞0，故h（x）在（0，1）上为增函数，又h（0）=0，故f（x）在（0，1）上为增函数；
故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；
③当a＜1时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1）﹣（a﹣1），
当x∈（0，1）时，总有h（x）＞0成立，即f（x）在（0，1）上为增函数；
故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值．
综上所述，a＞1．
【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．
20. 如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知，，，
.
（1）求证：；
（2）求三棱锥B-SAD的体积.
参考答案：
（1）设为的中点，连接，，
∵，∴，
∵，∴，
又平面，且，
平面，又平面，
∴. （2）连接，在中，∵，，为的中点，
∴为正三角形，且，，
∵在中，，为的中点，
∴，且，
∵在中，，∴为直角三角形，且，
∴又，且，∴平面.
∴
.
21. 选修4-5：不等式选讲
（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|﹣|x﹣1|．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）存在x∈[0，2]时，使得不等式f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（1）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|=，利用函数的单调性，即可求f （x）的最小值；
（2）不等式f（x）≤0，可化为（3x﹣a﹣1）（x﹣a+1）≤0，分类讨论，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|=．∴f（x）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
∴x=时，f（x）取得最小值﹣；
（2）不等式f（x）≤0，可化为（3x﹣a﹣1）（x﹣a+1）≤0．
a=2时，f（x）≤0，即x=1∈[0，2]，符合题意；
a＜2时，a﹣1＜，f（x）≤0的解集为[a﹣1，]，
∴[a﹣1，]∩[0，2]≠?，
∴a﹣1≤2且≥0，
∴﹣1≤a＜2；
a＞2时，a﹣1＞，f（x）≤0的解集为[，a﹣1]，
∴[，a﹣1]∩[0，2]≠?，
∴a﹣1≥0且≤2，
∴2＜a≤5；
综上所述﹣1≤a≤5．
【点评】本题考查绝对值不等式，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
22. （本小题12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：BN；
（2）；
（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP//平面CNB1 求
参考答案：
解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB1两两垂
直。

……………2分
以BA，BC，BB1分别为轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）
∵=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0
=（4,4,0）·（0,0,4）=0
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，
∴BN⊥平面
C1B1N；……………4分
（II）设为平面的一个法向量，
则
则……………8分（III）∵M（2,0,0）.设P(0,0,a)为BC上一点,
则, ∵MP//平面CNB1,
∴
又,
∴当PB=1时MP//平面CNB1 ……………12分。