河南省郑州外国语学校2015届高三数学上学期周练试卷(十)文(含解析)

2014-2015学年河南省郑州外国语学校高三（上）周练数学试卷（文
科）（十）
一.选择题
1．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列说法正确的是（）
A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件
B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题
D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）
A．B．C．D．
4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）
A．log cosC＞0 B．log cosC＞0
C．log sinC＞0 D．log sinC＞0
5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象
向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）
A．B．C．D．
6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）
A．B．C．D．
7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）
A．0 B．C．D．9
8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围是（）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值范围为（）
A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）
10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点
在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）
A．B．C．D．
11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延
长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）
A．B．C．D．3
13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1
14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在
[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值范围是（）
A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）
二.填空题
15．（5分）（2014宜春二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则
++= ．
16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值范围为．
17．（5分）（2014焦作一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2
为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是．
18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1
∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；
③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；
④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函
数．
其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）
三.解答题
19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．
（1）求角C；
（2）试求△ABC面积的最大值．
20．（12分）（2014新余二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：
分组A组B组C组
药品有效670 a b
药品无效80 50 c
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．
（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？
（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．
21．（12分）（2015陕西模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理
由．
22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且
关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．
（1）求椭圆C1的方程，
（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，
试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014湖北校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．
2014-2015学年河南省郑州外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）
参考答案与试题解析
一.选择题
1．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．下列说法正确的是（）
A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件
B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题
D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．
【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，
若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，
综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；
若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，
若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，
综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；
命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；
命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；
故选：A．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．
3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）
A．B．C．D．
【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，
S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，
利用①、②、③化简可得的值．
【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，
∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．
同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．
而由可得 S12=S6③．
由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．
4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）
A．log cosC＞0 B．log cosC＞0
C．log sinC＞0 D．log sinC＞0
【分析】由锐角三角形ABC ，可得1＞cosC ＞0，0＜A ＜，0＜B ＜，，
利用正弦函数的单调性可得sinB ＞sin （﹣A ）=cosA ＞0，再利用对数函数的单调性即可
得出．
【解答】解：由锐角三角形ABC ，可得1＞cosC ＞0，0＜A ＜
，0＜B ＜
，
，
∴0＜
＜B ＜
，
∴sinB ＞sin （﹣A ）=cosA ＞0，
∴1＞
＞0，
∴＞0． 故选：B ．
【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象
向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令
ωx+φ=即可得到答案．
【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到
函数
；
再将图象向右平移
个单位，得函数
，根据对
称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程． 故选A ．
【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin （ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值． 6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．
【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．
且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．
四个侧面都是直角三角形，
其中△PBC的高PB===
故其侧面积是
S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==
故选A
【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．
7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）
A．0 B．C．D．9
【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值
【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，
故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==
故选C．
【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．
8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围是（）
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则对应的x＞0，y＞0，
则u==，
设k=，则u==，
由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，
经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，
即．
∴，
，
∴，
即，
即≤z≤，
故选：C
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．
9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值范围为（）
A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）
【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，
找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．
【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，
∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，
∴==++2≥2+2≥4．
故选C．
【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．
10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点
在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，
∴，
若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，
则，
由e=＜得c＜a，
平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，
即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），
即，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则F（2，2），E（4，4），
则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，
则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，
故选：C．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．
11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）
=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．
【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），
∴M（a）=，
函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，
即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，
由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，
故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，
故选：C
【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．
12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延
长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）
A．B．C．D．3
【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率
【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2
∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x
∴垂线FM的斜率为﹣
∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）
令x=0，得点E的坐标（0，）
设M（x，y），∵=2，
∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）
∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y
即x=，y=
代入y=x
得=，即2a2=b2，
∴2a2=c2﹣a2，
∴=3，
∴该双曲线离心率为
故选C
【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用
13．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=|
|，则的最小值是
（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣1
【分析】由题意可得，点P 在MN 的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O （0，0），点P
（0，1），点M （x 1，y 1），则点N （﹣x 1，y 1），由
得
=
，求出
最小值． 【解答】解：由题意可得，点P 在MN 的垂直平分线上，不妨设单位圆 的圆心为O （0，0）， 点P （0，1），点M （x 1，y 1），则点N （﹣x 1，y 1），
﹣1≤y 1＜1
∴
=（x 1，y 1﹣1），
=（﹣x 1，y 1﹣1），
．
∴
=
=
=2﹣，
∴当y 1=时的最小值是
故选：B ．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．
14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在
[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值范围是（）
A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）
【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f
（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，
x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．
【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即，
∴a，b是方程x=的两个实数根，
即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，
当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．
当k＞﹣时，，无解．
故k的取值范围是（﹣1，﹣]．
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
二.填空题
15．（5分）（2014宜春二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．
【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．
【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，
∴+2（++）=0，
∴++=（）
=（4+8+12）=﹣12
故答案为：﹣12
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．
16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得
最大值，则k的取值范围为（﹣，1）．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：
由z=kx﹣y得y=kx﹣z，
要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，
则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，
目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，
而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，
即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，
故答案为：（﹣，1）．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．
17．（5分）（2014焦作一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2
为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|
的取值范围是．
【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和
椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣
|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的范围结合已知数据即可算出|的取值范围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，
∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，
∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，
∵O为F1F2中点，M为F1N中点
∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2||
设P 点坐标为（x 0，y 0）
∵在椭圆=1中，离心率e== 由圆锥曲线的统一定义，得|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0﹣a+ex 0|=|2ex 0|=
|x 0|
∵P 点在椭圆=1上，∴|x 0|∈[0，4]，
又∵x ≠0，y ≠0，可得|x 0|∈（0，4），∴|OM|∈
故答案为：
【点评】本题求两点间的距离的取值范围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题． 18．对于定义在区间D 上的函数f （X ），若存在闭区间[a ，b]⊊D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b]，都有f （x 1）=c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b]时，f （x 2）＜c 恒成立，则称函数f （x ）为区间D 上的“平顶型”函数．给出下列说法： ①“平顶型”函数在定义域内有最大值； ②函数f （x ）=x ﹣|x ﹣2|为R 上的“平顶型”函数； ③函数f （x ）=sinx ﹣|sinx|为R 上的“平顶型”函数；
④当t ≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函
数． 其中正确的是 ①④ ．（填上你认为正确结论的序号）
【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c ，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．
【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，
且这个常数是函数的最大值，故①正确．
对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，
但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，
且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，
故②不符合“平顶型”函数的定义．
对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，
但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，
所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．
对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，
当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，
符合“平顶型”函数的定义，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．
三.解答题
19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．
（1）求角C；
（2）试求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；
（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式
找到边ab的范围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，
∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，
可得a2+b2﹣c2=ab
∴cosC===，
∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为
（2）由（1）得c=2Rsin=R
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得
2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立
∴ab≤=（）R2
∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2
即△ABC面积的最大值为R2
【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．
20．（12分）（2014新余二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：
分组A组B组C组
药品有效670 a b
药品无效80 50 c
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．
（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？
（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．
【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；
（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．
【解答】解：（1）∵，
∴a=700
∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500
∴应在C组抽取样本个数是个．
（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，
∴（b，c）的可能性是
（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）
若测试通过，
则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430
∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）
∴通过测试的概率为．
【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．
21．（12分）（2015陕西模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理
由．
【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．
（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．
（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．
解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．
解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点
Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解
得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．
【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10
∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．
即该几何体的体积V为．（3分）
（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）
在△BAF中，
∵AB=4，
BF=AF==5．
∴cos∠ABF==．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），
∴cos＜，＞=﹣
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．
（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）
取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）
连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵
∴Rt△ECO∽Rt△OBD
∴∠EOC=∠OBD
∵∠EOC+∠CEO=90°
∴∠EOC+∠DOB=90°
∴∠E OB=90°．（11分）
∵OE==2，OD==
∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．
切点为Q
∴BQ⊥CQ
∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB
∴BQ⊥AC
∴BQ⊥面ACQ（13分）
∵AQ⊂面ACQ
∴BQ⊥AQ．（14分）
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），
则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）
=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）
∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①
∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）
使得=λ
∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②
②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4
∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且
关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．
（1）求椭圆C1的方程，
（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，
试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．
【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2
﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线
C2上不存在点到直线l的距离为．
【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：
，（a＞b＞0），
且，解得a=2，b=，
∴椭圆C1的方程为．
（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，
∴直线l的斜率存在且小于零，
设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）
由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
由题可知，△=0，
∴m2=4k2+3，
当即时上式等号成立，
此时，直线l为
设点D为抛物线C2上任意一点，
则点D到直线l的距离为，
利用二次函数的性质知，
∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．
23．（12分）（2014湖北校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；
（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；
（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．
【解答】解：．
（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）
（2）当0＜a≤2时，f′（x）=
因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，
故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立
记，（1＜a＜2），则，…（10分）
令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0
所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）
故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，
所以
即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。