2016大兴区高二(上)期末数学(理科)

2016大兴区高二（上）期末数学（理科）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）若命题p是假命题，命题q是真命题，则（）
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是假命题 D．￢q是假命题
2．（5分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线A′B与AD′所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．（5分）“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的（）
A．充分条件不必要 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积（）
A．5πB．4πC．3πD．2π
5．（5分）原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是（）
A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=0
6．（5分）若直线x﹣y﹣m=0被圆x2+y2﹣8x+12=0所截得的弦长为，则实数m的值为（）A．2或6 B．0或8 C．2或0 D．6或8
7．（5分）在下列命题中，真命题的个数是（）
①若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b．
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α．
③若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面γ．
④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5分）若椭圆的两个焦点是F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，那么|PF2|=（）
A．2 B．4 C．D．
9．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，若，，，则=（）
A．B．C．D．
10．（5分）若直线a∥平面α，直线b⊂α，a⊥b，则在平面α内到直线a和直线b距离相等的点的轨迹是（）
A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是．
12．（5分）已知空间向量，，那么cos＜=．
13．（5分）双曲线的右焦点坐标是；焦点到渐近线的距离为．
14．（5分）如图，当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时，测得水面宽4米．若水面下降0.5米，则水面宽米．
15．（5分）如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A′B′C′D内灌进一些水，固定容器底面一边BC与地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形，没水的部分也始终呈棱柱形；
②棱A′D′始终与水面所在平面平行；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④当容器倾斜如图3所示时，BE•BF是定值．
其中正确命题的序号是．
16．（5分）已知曲线C：|x|+|y|=m（m＞0）．
（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是；
（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（14分）已知抛物线y2=4x与直线y=x﹣1交于A，B两点．
（I）求该抛物线的焦点坐标及准线方程；
（Ⅱ）求线段AB的长．
18．（14分）已知圆C与x轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），且圆心在直线2x﹣y=0上．（I）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求与圆C相切于点B（3，0）的切线方程；
（Ⅲ）若圆C与直线y=x+m有公共点，求实数m的取值范围．
19．（14分）如图，在正方形AG1G2G3中，点B，C分别是G1G2，G2G3的中点，点E，F分别是G3C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G．
（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；
（Ⅱ）求证：AG⊥BC
（Ⅲ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，求证：平面EFB⊥平面GBC．
20．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，PD=AD=AB=1，CD=2，点E是PA的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（I）求证：PB⊥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角E﹣PB﹣D的大小；
（Ⅲ）在DC上是否存在一点G，使PG∥平面EDB，若存在，求出DG的长；若不存在，说明理由．
21．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）试判断命题“若过点M（1，0）的动直线l交椭圆于A，B两点，则在直角坐标平面上存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N”的真假，若为真命题，求出定点N的坐标；若为假命题，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．【解答】∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q是假命题，选项A错误；
p∨q是真命题，选项B错误；
￢p是真命题，选项C错误；
￢q是假命题，选项D正确．
故选：D．
2．【解答】如图所示，
连接CD′，AC．由正方体的性质可得A′B∥D′C．
∴∠AD′C或其补角即为异面直线A′B与AD′所成的角．
由正方体可得：AD′=D′C=AC，∴△AD′C是等边三角形．
∴∠AD′C=60°．
∴异面直线A′B与AD′所成的角为60°．
故选C．
3．【解答】若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x﹣2y﹣1=0与6x﹣4y+c=0，当c=﹣1时，两直线重合，
所以两直线不一定平行；
反之，当“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”成立时，有，所以a=3；
所以“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的必要不充分条件，
故选B．
4．【解答】根据几何体的三视图，得该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，
所以它的侧面积是2π××2=4π．
故选：B．
5．【解答】∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线．
求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为=﹣，故直线l的斜率为2，
故直线l的方程为y﹣1=2（x+2 ），化简可得：2x﹣y+5=0．
故选：B．
6．【解答】x2+y2﹣8x+12=0，可化为（x﹣4）2+y2=4
∵直线x﹣y﹣m=0被圆x2+y2﹣8x+12=0所截得的弦长为，
∴圆心（4，0）到直线x﹣y﹣m=0的距离d===，
∴解得m=2或6，
故选：A．
7．【解答】①平行同一平面的两条直线不一定平行，故①错误，
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故②错误
③垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故③错误，
④命题的逆否命题为α内存在直线垂直平面β，则α⊥β，则逆否命题为真命题．则原命题为真命题，故④正确，
故正确的命题是④．
故选：B．
8．【解答】椭圆的a=，b=1，c=1，
由PF1⊥F1F2，可得y P=﹣1，x P=±=±，
即有|PF1|=，
由题意的定义可得，|PF2|=2a﹣|PF1|=2﹣=．
故选：D．
9．【解答】∵在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，
，，，
∴=+=+=+（）
=+（﹣+）=﹣．
故选：A．
10．【解答】设a到α距离为d，在α内的射影为c，则在α内以b为x轴，c为y轴建立坐标系．设P（x，y），则∵平面α内的动点P到b的距离与到a的距离相等，
∴|y|=，
∴y2﹣x2=d2，
∴点P的轨迹是双曲线．
故选：D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．【解答】∵命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”
∵“任意”的否定为“存在”
∴命题的否定为：，
故答案为：
12．【解答】∵空间向量，，
那么cos＜，＞==﹣，
故答案为：﹣．
13．【解答】双曲线，
∴a2=1，b2=3，
∴c2=a2+b2=4，
∴c=2，
∵双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线的右焦点坐标是（2，0），
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即x﹣y=0，∴焦点到渐近线的距离d==，
故答案为：（2，0），
14．【解答】建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x2=2py；
根据题意知，A（2，﹣2）在抛物线上；
∴4=2p•（﹣2）；
∴p=﹣1；
∴x2=﹣2y；
设B（x0，﹣2.5）在抛物线上，则：；
∴；
∴水面下降0.5米，则水面宽为．
故答案为：．
15．【解答】①在以BC为旋转轴倾斜的过程中，平面ABFE∥平面DCGH，其余的面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，故有水的部分始终呈棱柱形，没水的部分也始终呈棱柱形，①正确；
②∵A′D′∥EH，∴棱A′D′始终与水面所在平面平行，②正确；
③水面EFGH中FG为定值，EF变化，则水面EFGH所在四边形的面积变化，③错误；
④∵容器中水的容积为定值，且棱柱BEF﹣CHG的高BC为定值，∴当容器倾斜如图3所示时，BE•BF 是定值，④正确．
∴正确命题的序号是①②④．
故答案为：①②④．
16．【解答】（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，则由曲线C围成的图形的面积是2；
（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2＜m＜3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；
x＞0，y＞0，x+y﹣m=0与椭圆方程联立，可得13x2﹣18mx+9m2﹣36=0，
∴△=（﹣18m）2﹣52（9m2﹣36）=0，
∵m＞0，∴m=．此时曲线C与椭圆有四个不同的交点
故答案为：2，2＜m＜3或．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．【解答】（Ⅰ）抛物线的焦点坐标为（1，0）；
准线方程为x=﹣1；
（Ⅱ）由方程组得：
x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则：x1+x2=6；
如图，
直线y=x﹣1过焦点，A，B到准线的距离分别为d1，d2；
由抛物线定义可知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=x1+x2+2=8；
即线段AB的长为8．
18．【解答】（Ⅰ）因为圆C的圆心在直线2x﹣y=0上，所以设圆心C（a，2a）．…（1分）又因为圆C与x轴的交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），所以a=1…（2分）
故圆心C（1，2），半径为，…（4分）
圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=8…（5分）
（Ⅱ）因为CB与切线垂直，所以k BC•k=﹣1…（7分）
因为，所以k=1…（8分）
故与圆C相切于点B（3，0）的切线方程为：x﹣y﹣3=0…（10分）
（Ⅲ）圆C与直线y=x+m有公共点，
即圆C的圆心到直线的距离d≤r，…（11分）
即，…（13分）
解得﹣3≤m≤5
所以圆C与直线y=x+m有公共点，则﹣3≤m≤5．…（14分）
19．【解答】（Ⅰ）在正方形AG1G2G3中，∠G1，∠G2，∠G3都是直角．
沿AB，BC及AC把这个正方形折成四面体GABC后，此三个角度数不变．
即在四面体GABC的四个面中，
在△AGB中，∠AGB=90°，
在△AGC中，∠AGC=90°，
在△BGC中，∠BGC=90°，△ABC不是直角三角形．
故分别在平面AGB，平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形．
（Ⅱ）证明：在四面体GABC中，∠AGB=90°，∠AGC=90°，
即AG⊥GB，AG⊥GC，
因为在平面BGC中，GB∩GC=G，
所以，AG⊥平面BGC．
因为BC⊂平面BGC，
所以，AG⊥BC．
（Ⅲ）证明：因为在△AGC中，点E，F分别是GC，AC的中点，
所以EF∥AG，
由（Ⅱ）知AG⊥平面BGC
故EF⊥平面BGC，
因为EF⊂平面EFB，
所以平面EFB⊥平面GBC．
20．【解答】（Ⅰ）因为PD⊥底面ABCD，DA⊂面ABCD，DC⊂面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC．
又因为四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=1，CD=2，
所以AD⊥DC
如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，…（1分）则，P（0，0，1），B（1，1，0），，…（3分）
因为
所以DE⊥PB…（4分）
又因为已知EF⊥PB
在平面DEF中，DE∩EF=E…（5分）
所以PB⊥平面DEF．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）已证PB⊥平面DEF，
因为DF⊂面DEF，
所以DF⊥PB
已知EF⊥PB，
故∠EFD是二面角E﹣PB﹣D的平面角．…（6分）
设点F（x，y，z），则
因为
所以（x，y，z﹣1）=k（1，1，﹣1）=（k，k．﹣k）
即x=k，y=k，z=1﹣k，F（k，k，1﹣k）
因为EF⊥PB
所以
所以=0
所以，点，…（7分）
又因为点，
所以…（8分）
因为，
所以∠EFD=60°，…（10分）
由题知二面角E﹣PB﹣D的平面角为锐角，所以二面角E﹣PB﹣D的大小为60°．（Ⅲ）当DC的中点为点G时，满足PG∥平面EDB．
因为底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2
所以DG=1，且四边形ABGD为正方形．
连接AG交DB于O，则O为AG中点．连接EO
所以在△PAG中，点E，O分别是PA，AG的中点，
所以EO∥PG…（11分）
因为EO⊂平面EDB，PG⊄平面EDB…（13分）
所以PG∥平面EDB．且DG=1．…（14分）
21．【解答】（Ⅰ）∵长轴长为4，离心率为，
∴2a=4，，
∴，
又∵a2=b2+c2，∴，
∴椭圆C的方程；
（Ⅱ）真命题．
由椭圆的对称性知，点N在x轴上，设N（t，0），
①当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得，（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣4=0．
∴△=4（9k2+4）＞0，
，，
∵以线段AB为直径的圆过点N，
∴AN⊥BN，则，
则（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2=0，
∴，
∴，
则，
即﹣4﹣6tk2+t2+3t2k2=0，得3tk2（t﹣2）+（t2﹣4）=0，
∴（t﹣2）（3tk2+t+2）=0，
∴若以线段AB为直径的圆恒过点N（t，0），则t﹣2=0，即t=2，
故当直线AB的斜率存在时，存在N（2，0）使命题是真命题；
②当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=1．A（1，1），B（1，﹣1），以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，
∵N（2，0）满足方程（x﹣1）2+y2=1，
∴当直线AB的斜率不存在时，点N（2，0）也能使命题是真命题．
综上①②知，存在点N（2，0），使命题是真命题．。