《 椭圆的几何性质》--优质获奖精品课件 (32)

根据椭圆的方程研究其几何性质
【例 1】 设椭圆方程 mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为21，试求 椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为x42＋ym2＝1.
(1)当 0＜m＜4 时，a＝2，b＝
m，c＝
4－m，∴e＝ac＝
4－m 2
＝12，∴m＝3，∴b＝ 3，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别
对称轴为 坐标轴，对称中心为原点
_A_1_(_－__a_,0_)_，__A_2_(a_,_0_)，__ _B_1_(_0_，__－__b_)，__B_2_(_0_，__b_)
A_1_(0_，__－__a_)_，__A_2_(_0_，__a_)， __B__1(_－__b_,0_)_，__B_2_(_b_,0_)__
B．(－6,0)，(6,0)
C．(－ 6，0)，( 6，0) D．(0，－ 6)，(0， 6)
D [椭圆方程可化为 x2＋y62＝1，则长轴的端点坐标为(0，± 6)．]
2．椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的离心率是(
)
A．34
B．
5 41
C．54
D．35
D [∵a＝5，b＝4，c＝ a2－b2＝3，∴e＝53.]
短轴长|B1B2|＝ 2b ，长轴长|A1A2|＝ 2a
__F_1_(_－__c,_0_)_，__F_2(_c_,_0_) _
F__1(_0_，__－__c_)_，__F_2(_0_，__c_)
|F1F2|＝ 2c
2.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率． (2)性质：离心率 e 的范围是 (0,1) ．当 e 越接近于 1 时，椭 圆越扁；当 e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆．
F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( )
A．
3 6
B．13
C．21
D．
3 3
[思路点拨] 设|PF2|＝m，在 Rt△PF1F2 中，依题意可求得|PF1|， |F1F2|，进而求得离心率．
D [设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ 3m，故离心
思考：(1)离心率 e 能否用ba表示？ (2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？
[提示] (1)e2＝ac22＝a2－a2 b2＝1－ba2，所以 e＝ 1－ba2. (2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．
1．椭圆 6x2＋y2＝6 的长轴的端点坐标是( )
A．(－1,0)，(1,0)
是 4,2 3，焦点坐标为 F1－1，0，F21，0，顶点坐标为 A1－2，0， A22，0，B1(0，－ 3)，B2(0， 3)．
(2)当 m＞4 时，a＝ m，b＝2，∴c＝ m－4，∴e＝ac＝ mm－4＝
12，解得 m＝136，∴a＝433，c＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长
分别为8 3 3，4，焦点坐标为
养数学运算及逻辑推理的数 相应的曲线．(重点、难点)
学素养.
自主 预习 探新 知
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 x 轴上
图形
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
焦点在 y 轴上 __ay_22_＋__bx_22 _＝1(a>b>0)
范围 对称性
顶点
轴长 焦点 焦距
_－__a_≤_x_≤_a_且__－__b_≤_y_≤_b_____ _－__b_≤_x_≤_b_且__－__a_≤_y_≤_a__
(2)设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为3x22 ＋1y62 ＝1.
(3)法一：由题意知 e2＝1－ba22＝12，所以ba22＝12，即 a2＝2b2. 设所求椭圆的方程为2xb22＋by22＝1 或2yb22＋bx22＝1. 将点 M(1,2)代入椭圆方程得
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路 是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量 中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、 短轴长、离心率、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的 应用．
1．判断正误
(1)椭圆ax22＋by22＝1(a>b)的长轴长为 a，短轴长为 b.
焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A．8x12 ＋7y22 ＝1
B．8x12 ＋y92＝1
C．8x12 ＋4y52 ＝1
D．8x12 ＋3y62 ＝1
A [由 2a＝18 得 a＝9， 又 a－c＝2c，则 c＝3，b2＝a2－c2＝81－9＝72， ∴椭圆方程为8x12 ＋7y22 ＝1.]
∴e＝ac＝
2 2.
2．设 A，B 是椭圆 C：x32＋ym2＝1 长轴的两个端点，若 P 是曲线 C 上的动点，当 P 在何处时∠APB 最大？若 C 上存在点 P 满足∠APB ＝120°，如何求椭圆的离心率？
提示：当 P 位于短轴的端点处时，∠APB 最大．
如图 1，要使存在 P 使得∠APB＝120°，只需∠APB≥120°，
[跟进训练] 1．(1)椭圆 x2＋ym2＝1 的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，
则 m 的值为( )
A．14
B．12
C．2
D．4
(2)对椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a>b>0)和椭圆 C2：ay22＋bx22＝1(a>b>0)的
几何性质的表述正确的是( )
A．范围相同
B．顶点坐标相同
2 ＝1.
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数 法，其步骤是：
1确定焦点位置； 2设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有 两种标准方程； 3根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数， 列方程组时常用的关系式有 b2＝a2－c2，e＝ac等.
[跟进训练]
2．若中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18，且两个
3．若点 P(m，n)是椭圆x42＋y32＝1 上任意一点，则 m 的取值范围 是________，n 的取值范围是________．
[－2,2] [－ 3， 3] [由题意可知m42＋n32＝1， 由m42≤1 可知－2≤m≤2；同理，由n32≤1 可知－ 3≤n≤ 3.]
合作 探究 释疑 难
()
(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．
()
(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆
的中心对称．
()
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点
第二章 圆锥曲线与方程
2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
学习目标
核心素养
1．通过学习椭圆的几何性质， 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性
培养学生直观想象的数学素 质，并正确地画出它的图形．(重点)
养. 2．根据几何条件求出曲线方程，利用
2．借助椭圆的几何性质，培 曲线的方程研究它的性质，并能画出
[思路点拨] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． (3)法一：先求离心率，根据离心率找到 a 与 b 的关系，再用待 定系数法求解． 法二：设与椭圆1x22 ＋y62＝1 有相同离心率的椭圆方程为1x22 ＋y62＝ k1(k1>0)或1y22 ＋x62＝k2(k2>0)．
有sinm75°＝sinn45°＝sin26c0°，
∴ sin
m＋n 75°＋sin
45°＝sin26c0°，
∴e＝ac＝22ac＝sin
sin 60° 75°＋sin
45°＝
6－ 2
2 .
2．(变条件，变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°” 改为“C 上存在点 P，使∠F1PF2 为钝角”，求 C 的离心率的取值范 围．
即∠APO≥60°，
∴tan∠APO≥ 3，即 m3 ≥ 3，
∴0<m≤1. 此时由 e＝
1－ba22＝
图1
1－m3 可知
e∈
36，1．
如图 2，由题意可知 m3 ≥ 3，∴m≥9，
又 m>3，∴m≥9.
由 e＝ 1－ba22＝ 1－m3
可知
e∈
36，1.
综上可知离心率
e∈
36，1.
图2
【例 3】 设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
率
e＝ac＝22ac＝|PF|1F|＋1F|2P| F2|＝2m3＋mm＝
3 3 .]
1 ． ( 变 条 件 ) 若 将 本 例 中 “PF2⊥F1F2 ， ∠PF1F2 ＝ 30°” 改 为 “∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求 C 的离心率．
[解] 在△PF1F2 中，∵∠PF1F2＝45°， ∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为 2a，则在 △PF1F2 中，
[解] (1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3， ∵e＝ac＝ 36，∴c＝ 6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x92＋y32＝1. 若焦点在 y 轴上，则 b＝3， ∵e＝ac＝ 1－ba22＝ 1－a92＝ 36，解得 a2＝27.
∴椭圆的方程为2y72 ＋x92＝1. ∴所求椭圆的方程为x92＋y32＝1 或2y72 ＋x92＝1.
[解] 由题意，知 c>b，∴c2>b2.
又 b2＝a2－c2，
∴c2>a2－c2，
即 2c2&>
2 2.
故
C
的离心率的取值范围为
22，1.
求椭圆离心率的值或范围的两种方法 (1)直接法：若已知 a，c 的值，可直接利用公式 e＝ac求解；若已 知 a，b 或 b，c 的值，可借助于 a2＝b2＋c2 求出 c，a 的值，再代入 公式 e＝ac求解．
求椭圆的离心率 [探究问题] 1．已知 F 是椭圆的左焦点，A，B 分别是其在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且 PF⊥x 轴，OP∥AB，怎 样求椭圆的离心率？
提示：由 OP∥AB 可知，kOP＝kAB， 又 A(a,0)，B(0，b)，P－c，ba2. 故－ba＝－abc2，即 b＝c，∴a＝ 2c.
C．焦点坐标相同
D．离心率相同
(1)A (2)D [(1)由题意可知 a2＝1，b2＝m，由 a＝2b 可知 1＝ 4m，∴m＝41.故选 A．
(2)结合椭圆的几何性质可知，C1 与 C2 的离心率相同，均为 1－ba22，故选 D．]
利用几何性质求椭圆的标准方程
【例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ 36； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦 距为 8； (3)经过点 M(1,2)，且与椭圆1x22 ＋y62＝1 有相同的离心率．
(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的 关系式，借助于 a2＝b2＋c2，转化为关于 c，a 的齐次方程或不等式， 再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不 等式，即可求得 e 的值或范围．
课堂 小结 提素 养
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标 准形式．
F10，－2
3
3，F20，2
3
3，顶点坐标为
A10，－4
3
3，A20，4
3
3，B1(－2,0)，B2(2,0)．
用标准方程研究几何性质的步骤 1将椭圆方程化为标准形式. 2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出 a，b，c.,4写出椭圆的几何性质.
提醒：长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b，c 的 两倍.
21b2＋b42＝1 或24b2＋b12＝1，解得 b2＝92或 b2＝3. 故所求椭圆方程为x92＋y92＝1 或y62＋x32＝1.
2
法二：设所求椭圆方程为1x22 ＋y62＝k1(k1>0)或1y22 ＋x62＝k2(k2>0)，将
点 M 的坐标代入可得112＋46＝k1 或142＋16＝k2，解得 k1＝43，k2＝21，故 1x22 ＋y62＝34或1y22 ＋x62＝21，即所求椭圆的标准方程为x92＋y92＝1 或y62＋x32