2020-2021学年九年级数学专家点拨：26投影与视图
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
一点通：拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为2×2的正方形，所以最 底下一层必须有四个小立方块，这样才能保证俯视图仍为2×2的正方形，为保证正视图与左视图也 为2×2的正方形，所以上面一层必须保留交错的两个立方块，即可知最多能拿掉小立方块的个数。
解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为2×2的正方形，所以最多能拿掉小立 方块的个数为2个。故选B。
评析：由于要求三个视图得到的都是2×2的正方形，只能从第一层上拿掉，且两个正方块不能 在同一列取。
综合运用类
例4 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向 旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化。设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC>AB）， 影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m>AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度 先增大后减小。
例5 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长 y 随他与点A之 间的距离 x 的变化而变化，那么表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致为 （ ）
一点通：小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越短，直到影长为0；从点O到达点B的过程 中，影长越来越长，到点B达到最大值。故C、D项错误。
一、考点突破
视图与投影这部分知识在中考中主要考查学生的空间想象能力和动手操作的能力。中考所涉 及的主要内容有平行投影、中心投影知识及其应用，常见的几何体的三视图的识别、根据三视图 描述物体的形状和一些简单的应用题，题型主要以选择题和填空题的形式出现，平行投影和中心 投影与锐角三角函数、相似三角形的综合多以解答题的形式出现，题目难度不大。
解：综合主视图和俯视图，底面最多有2＋3＋2＝7个，第二层最多有2＋3＋2＝7个，第三层 最多有2＋0＋2＝4个，那么n的最大值是7＋7＋4＝18。
评析：解决此类问题要具备空间想象能力，根据主视图与俯试图的形状来想象出几何体的组 合方式，确定该物体的行数、列数和层数，确定出每层可能的最多小正方体的个数后即可判断。
评析：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键。注意看到的所有棱都应表现在三视
图中。
例3 如图，是由8个相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图都是2×2的正方 形。若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉 小立方块的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
l h l பைடு நூலகம் ，这里m， l ，h为常数，
∴y是x的一次函数。故选A。
点评：本题以投影问题为背景，考查三角形相似及函数图象的知识，将动态问题静止化是解
题的关键。同时考查了数形结合的思想。
思维拓展类
例6 如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其“锥体”面图的“锥角” 是60°。已知舞台ABCD是边长为6m的正方形。要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度是 多少？
例2 如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图 是（ ）
A
B
C
D
一点通：俯视图是从物体上面看到的图形，一个底面为正方形的直棱柱虽然切去一个角，但
从上面看到的俯视图增加了一条对角线，它的俯视图是连接一条对角线的一个正方形。
解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线。故选C。
1. 画平行投影时注意太阳光是平行的，而物体的顶端与影子顶端的连线即为太阳光线。 2. 注意中心投影下影子与平行投影下影子之间的区别。 3. 在画几何体的三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高齐平，左、俯视图要宽相 等，这对任意一种几何体的三种视图都适用。 4. 画三视图时，看得见的部分的轮廓线要画成实线，看不见的部分的轮廓线要画成虚线。 5. 在解与投影有关的问题时，无论是平行投影还是中心投影，经常转化为相似三角形问题，通 过列比例式求解。 6. 在解视图部分的相关题目时，常把立体图形的问题通过三视图转化为平面图形的问题。
解：设小亮的身
3
高 MA' l, CO h, AO m, 影长 C' A' y ，小亮走过的距离 AA' x ，由题图易得 C' A x y
。
MA' AB,CO AB, MC' A' ~ CC'O ，
MA'
CO ,即 l
h
, y l x ml
C' A' C'O y m (x y)
其中，正确结论的序号是____________。
一点通：可借助相关的实物进行操作，运用投影等知识分析与思考解决 解：木杆直立地面时，影长为 。木杆绕点 逆时针旋转，影长先增大后减小。当木杆到 达地面时，其影长最小为其本身长。故填①③④。
评析：本题是一道填空多选题，能准确考查学生对旋转性质、投影、空间想象能力，具有较 好的区分度，对于动态题，常化动为静，适当动手操作，增强自己的感性认识，从而促进自己的 理性思考与分析。
二、重难点提示
重点：平行投影、中心投影的简单应用；三视图的判断；画物体的三视图。 难点：根据三视图描述几何体和实物原形；几何体与其三视图、展开图之间的关系；投影与 视图在生活中的应用。
1
能力提升类
例1 一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能 是（ ）
一点通：根据看等边三角形木框的方向即可得出答案。 解：三角形木框竖直于太阳光可得到C，与太阳光平行可得到A，与太阳光不平行不垂直可得 到D，无论如何都得不到一点。 故选B。 评析：本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结论是解此题的 关键。
∴AC＝ 6 2 ，OC＝ 3 2
4
∴ PC＝ 6 2 ， ∴PO＝ 3 6 。
评析：本题主要考查了中心投影和圆锥的计算，解题的关键是根据等边三角形和正方形的计 算方法进行求解。
例7 由 n 个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则 n 的最大值是什么？
一点通：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出小正方体的 层数和每一层的个数，从而算出总的个数。
一点通：先根据题意连接AC，再根据“锥体”面图的“锥角”是60°得出△PAC是等边三角 形，再根据它的计算方法和正方形的特点分别进行计算，即可求出答案。
解：连接AC，PO。
∵∠APC＝60°， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， ∴△APC是等边三角形， ∴∠OPC＝30° ∵四边形ABCD是边长为6m的正方形，
一点通：拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为2×2的正方形，所以最 底下一层必须有四个小立方块，这样才能保证俯视图仍为2×2的正方形，为保证正视图与左视图也 为2×2的正方形，所以上面一层必须保留交错的两个立方块，即可知最多能拿掉小立方块的个数。
解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为2×2的正方形，所以最多能拿掉小立 方块的个数为2个。故选B。
评析：由于要求三个视图得到的都是2×2的正方形，只能从第一层上拿掉，且两个正方块不能 在同一列取。
综合运用类
例4 如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向 旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化。设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC>AB）， 影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m>AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度 先增大后减小。
例5 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长 y 随他与点A之 间的距离 x 的变化而变化，那么表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致为 （ ）
一点通：小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越短，直到影长为0；从点O到达点B的过程 中，影长越来越长，到点B达到最大值。故C、D项错误。
一、考点突破
视图与投影这部分知识在中考中主要考查学生的空间想象能力和动手操作的能力。中考所涉 及的主要内容有平行投影、中心投影知识及其应用，常见的几何体的三视图的识别、根据三视图 描述物体的形状和一些简单的应用题，题型主要以选择题和填空题的形式出现，平行投影和中心 投影与锐角三角函数、相似三角形的综合多以解答题的形式出现，题目难度不大。
解：综合主视图和俯视图，底面最多有2＋3＋2＝7个，第二层最多有2＋3＋2＝7个，第三层 最多有2＋0＋2＝4个，那么n的最大值是7＋7＋4＝18。
评析：解决此类问题要具备空间想象能力，根据主视图与俯试图的形状来想象出几何体的组 合方式，确定该物体的行数、列数和层数，确定出每层可能的最多小正方体的个数后即可判断。
评析：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键。注意看到的所有棱都应表现在三视
图中。
例3 如图，是由8个相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图都是2×2的正方 形。若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉 小立方块的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
l h l பைடு நூலகம் ，这里m， l ，h为常数，
∴y是x的一次函数。故选A。
点评：本题以投影问题为背景，考查三角形相似及函数图象的知识，将动态问题静止化是解
题的关键。同时考查了数形结合的思想。
思维拓展类
例6 如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其“锥体”面图的“锥角” 是60°。已知舞台ABCD是边长为6m的正方形。要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度是 多少？
例2 如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图 是（ ）
A
B
C
D
一点通：俯视图是从物体上面看到的图形，一个底面为正方形的直棱柱虽然切去一个角，但
从上面看到的俯视图增加了一条对角线，它的俯视图是连接一条对角线的一个正方形。
解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线。故选C。
1. 画平行投影时注意太阳光是平行的，而物体的顶端与影子顶端的连线即为太阳光线。 2. 注意中心投影下影子与平行投影下影子之间的区别。 3. 在画几何体的三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高齐平，左、俯视图要宽相 等，这对任意一种几何体的三种视图都适用。 4. 画三视图时，看得见的部分的轮廓线要画成实线，看不见的部分的轮廓线要画成虚线。 5. 在解与投影有关的问题时，无论是平行投影还是中心投影，经常转化为相似三角形问题，通 过列比例式求解。 6. 在解视图部分的相关题目时，常把立体图形的问题通过三视图转化为平面图形的问题。
解：设小亮的身
3
高 MA' l, CO h, AO m, 影长 C' A' y ，小亮走过的距离 AA' x ，由题图易得 C' A x y
。
MA' AB,CO AB, MC' A' ~ CC'O ，
MA'
CO ,即 l
h
, y l x ml
C' A' C'O y m (x y)
其中，正确结论的序号是____________。
一点通：可借助相关的实物进行操作，运用投影等知识分析与思考解决 解：木杆直立地面时，影长为 。木杆绕点 逆时针旋转，影长先增大后减小。当木杆到 达地面时，其影长最小为其本身长。故填①③④。
评析：本题是一道填空多选题，能准确考查学生对旋转性质、投影、空间想象能力，具有较 好的区分度，对于动态题，常化动为静，适当动手操作，增强自己的感性认识，从而促进自己的 理性思考与分析。
二、重难点提示
重点：平行投影、中心投影的简单应用；三视图的判断；画物体的三视图。 难点：根据三视图描述几何体和实物原形；几何体与其三视图、展开图之间的关系；投影与 视图在生活中的应用。
1
能力提升类
例1 一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能 是（ ）
一点通：根据看等边三角形木框的方向即可得出答案。 解：三角形木框竖直于太阳光可得到C，与太阳光平行可得到A，与太阳光不平行不垂直可得 到D，无论如何都得不到一点。 故选B。 评析：本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结论是解此题的 关键。
∴AC＝ 6 2 ，OC＝ 3 2
4
∴ PC＝ 6 2 ， ∴PO＝ 3 6 。
评析：本题主要考查了中心投影和圆锥的计算，解题的关键是根据等边三角形和正方形的计 算方法进行求解。
例7 由 n 个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则 n 的最大值是什么？
一点通：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出小正方体的 层数和每一层的个数，从而算出总的个数。
一点通：先根据题意连接AC，再根据“锥体”面图的“锥角”是60°得出△PAC是等边三角 形，再根据它的计算方法和正方形的特点分别进行计算，即可求出答案。
解：连接AC，PO。
∵∠APC＝60°， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， ∴△APC是等边三角形， ∴∠OPC＝30° ∵四边形ABCD是边长为6m的正方形，