山东省莱芜市高考数学4月模拟试题 理 新人教A版

理 科 数 学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知全集U =R ，集合{|13}A x x =<≤，{|2}B x x =>，则U A B ð等于 (A){|12}x x <≤ (B){|12}x x ≤< (C){|12}x x ≤≤ (D){|13}x x ≤≤
【答案】A
【解析】}2{≤=x x B C U ，所以}21{}2{}31{≤<=≤⋂≤<=⋂x x x x x x B C A U ，选
A. (2) 20π
cos()3
-的值等于
(A)
12 (B)
2
(C) 12
-
(D)2
-
【答案】C
【解析】2
1
3cos 32cos )326cos(320cos )320cos(-=-==+==-
ππππππ，选C. (3) 设,p q 是两个命题，1
:0,:|21|1,x p q x p q x
+≤+<则是 (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
【答案】B 【解析】由
01
≤+x
x ,解得01<≤-x ，由112<+x 得1121<+<-x ，即01<<-x ，所以p 是q 的必要不充分条件。

(4)设,a b ∈R ，若||0b a ->，则下列不等式中正确的是
(A)0a b -> (B)0a b +> (C)220a b -> (D)33
0a b +<
【答案】B
【解析】由0>-a b 得0>>a b ，若0≥a ，有0>>a b ，所以0>+b a ，若0<a ，则
有a b ->，所以0>+b a ，综上恒有0>+b a ，选B. (5) 函数()ln e =+x f x x 的零点所在的区间是
(A)(10,e
) (B)(1,1e
)
(C)(1,e ) (D)(e,∞)
【答案】A
【解析】0)1(>=e f ，01)(>+=e
e e
f ，01)1(1
>+-=e e e
f ，当0→x 时，0)(<x f ，
所以答案选A.
(6) 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设,2u a kb v a b =+=-，若//u v ，则实数k 的值是 (A)72
-
(B)12
-
(C)43
-
(D)83
-
【答案】B
【解析】)3,2()1,0()2,1(2=-=v ，)2,1()1,0()2,1(k k u +=+=，因为
//u v
，所以
031)2(2=⨯-+k ，解得2
1
-=k ，选B.
（7) 已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的2
倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移
π
4
个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为
(A)()g x x
(B)()g x x =
(C)3π
())4
g x x =-
(D)()g x x = 【答案】C
【解析】函数)4
2sin(22cos 2sin )(π
+
=
+=x x x x f ，将()f x 的图象上各点的横坐标缩
短为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数为)4
sin(2π
+
=x y ，再将所得图象向右平移
π
4
个单位得到函数x x y sin 2]4
)4
sin[(2=+
-
=π
π
(8) 定义运算：,,,.
a a
b a b b a b ≤⎧*=⎨
>⎩ 则函数()12x
f x =*的图象大致为
【答案】A
【解析】由定义知
⎩⎨⎧<≥=0
,20
,1)(x x x f x ，所以图象为A.
(9)若设变量x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数24z x y =+的最大值为
(A)10 (B)12
(C)13
(D) 14
【答案】C
【解析】
(10) 已知函数21(0)
(),()(1)(0)
x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数
根，则实数a 的取值范围为
(A)(,0]-∞ (B)[0,1) (C)(,1)-∞
(D)[0,)+∞
【答案】C
【解析】做出函数)(x f 的图象如图，
，由图象可知当直线为
1+=x y 时，直线与函数)(x f 只要一个交点，要使直线与函数有两个交点，则需要把直线1+=x y 向下平移，此时直线恒和函数)(x f 有两个交点，所以1<a ，选C. (11) 设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
（1）//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭
（2）
//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭（3）//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭（4）////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭，其中正确的是
(A)（1）（2）
(B)（1）（3） (C)（2）（3）
(D)（2）（4）
【答案】B
【解析】根据面面平行的性质可知，（1）正确，排除C,D,根据线面垂直的性质，可知（3）正
确，所以选B.
(12) 定义域为[a,b]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M （x ,y ）是()f x 图象上任意
一点，其中(1)[,]=+-∈x a b a b λλ,已知向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式||MN k ≤恒成立，则称函数()[,]f x a b 在上“k 阶线性近似”。

若函数1
y x x
=-在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为
A ．[0,)+∞
B ．1
[
,)12
+∞ C ．3[)2+
+∞ D ．3
[)2
-+∞
【答案】D
【解析】因为定义域为]2,1[，所以M 点的横坐标为λλλ-=-+=2)1(2x ，因为21≤≤x ，
所以221≤-≤λ，解得10≤≤λ，所以点M 的坐标为)21
2,2(λ
λλ----，A 点的坐标为)0,1(，B
点的坐标为)2
3,2(，又)1(λλ-+=,所以
))1(23,2()23,2)(1()0,1(λλλλ--=-+=，所以N 点的坐标为))1(23
,2(λλ--所
以)2
1
2121,0())1(23212,0(-++=-----=λλλλλNM ，所以
212121-++=λλ，又2
32122212121+-+-=-+
+λλλλ
22
3
21223212222323)2122(
-=-=-⋅--≤+-+--=λλλλ，当且仅当λλ-=-2122，即2)2(2=-λ，22-=λ时，去等号，所以22
3-≥k ，选D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
(13) 若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示（单位cm ），则正三棱锥的体积为
3cm .(此题少图)
【答案】1
4
【解析】
(14) 函数201
()212
x x f x x x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为 .
【答案】56
【解析】
6
5)212(3
1)2()(21210
32
1
10
22
=-
+=
-+=⎰⎰⎰
x x x dx x dx x dx x f (15) 已知F 1、F 2分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，
若1290F PF ∠=︒，且12F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .
【答案】5
【解析】
设x PF =2，)(1y x y PF <=，则a x y 2=-，
又c y x 2,,为等差数列，所以y c x 22=+，整理得⎩⎨
⎧-=-=a
c y a
c x 2242，代入2224c y x =+整
理得，0652
2=+-c ac a ，解得a c 5=，所以双曲线的离心率为5==a
c e 。

(16) 定义在R 上的偶函数()(1)(),f x f x f x +=-满足且在[—1，0]上是增函数，给出下列
关于()f x 的判断: ①()f x 是周期函数；
②()f x 关于直线1x =对称； ③()f x 是[0，1]上是增函数； ④()f x 在[1，2]上是减函数； ⑤(2)(0)f f =.
其中正确的序号是 . （把你认为正确的序号都写上） 【答案】①②⑤
【解析】由)()1(x f x f -=+得，)()2(x f x f =+，所以函数)(x f 为周期为2的周期函数，
所以①正确，且)0()2(f f =，所以⑤正确；因为函数)(x f 为偶函数，所以图象关于y 轴对称，所以在]1,0[上递减，所以③错误；同时有)()()1(x f x f x f -=--=+-，所以有)1()1(+=+-x f x f ，所以函数)(x f 关于1=x 对称，所以函数)(x f 在]2,1[为增函数，所以④错误，所以正确的序号为①②⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数） （Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若对任意正整数n ，n S k ≤恒成立，求实数k 的最大值. 【答案】
(18)（本小题满分12分）
已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a c b a =+-，
(,)n a c b =-,且⊥.
(Ⅰ)求角C 的大小;
(Ⅱ)若向量)2
cos
2,(cos ),1,0(2
B
A =-
=,+的取值范围. 【答案】
(19)（本小题满分12分）
某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元． （Ⅰ）写出y 与x 之间的函数关系式；
（Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）. 【答案】
(20)（本小题满分12分）
已知四棱锥P ABCD -底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝1，E ．F 分别是 线段AB ，BC 的中点， （Ⅰ）证明：PF ⊥FD ；
（Ⅱ）在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ；． （Ⅲ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45， 求二面角A PD F --的余弦值． 【答案】
(21)（本题满分12分）
设椭圆)0(1:
2
2
22>>=+b a b y a x C 的左、右焦点 分别为21F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足211F F BF =，且2AF
AB ⊥. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）D 是过2F B A 、、三点的圆上的点，D 033:=--y x l 的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程；
（Ⅲ）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点，在x 轴上是否存在点)0,(m P 使得以PN PM ,为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由. 【答案】
(22)（本小题满分14分）
已知函数2()ln ,.f x x ax x a =+-∈R
（Ⅰ）若函数()f x 在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）令2()(),g x f x x =-是否存在实数a ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）当(]0,e x ∈时，证明：225
e (1)ln .2
x x x x -
>+
【答案】
理科数学答案
一、选择题：每小题5分，共60分. ACBBA BCACC BD
二、填空题：每小题4分，共16分. （13）
14； （14）5
6
； （15）5； （16）①②⑤． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．
（17）解：（1） 3231=++n n S a ， ① ∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ② 由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a . 3
1
1=∴+n n a a )2(≥n .
又 11=a ，32312=+a a ，解得 3
12=a .
∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3
1
=q 的等比数列. 1
1
131--⎪⎭
⎫ ⎝⎛==∴n n n q
a a （n 为正整数）. ……………………6分
（2）由（Ⅰ）知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
∴n n S )31(123 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪
⎭
⎫
⎝⎛-≤n
k 31123， 数列⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪
⎭
⎫
⎝⎛-n
311单调递增， 当1=n 时，该数列中的最小项为32，
∴ 必有1≤k ，即实数k 的最大值为1. ……………… 12分（18）解：(Ⅰ)由题意得222(,)(,)0m n a c b a a c b a c b ab ⋅=+-⋅-=-+-=，…2分
即ab b a c -+=222. ……3分.
由余弦定理得21
2cos 222=-+=
ab c b a C , 3
,0π
π=
∴<<C C . ……………………5分
(Ⅱ))cos ,(cos )12
cos
2,(cos 2
B A B
A =-=+ , ……………………6分 ∴2
22222cos cos cos cos (
)3
s t A B A A π
+=+=+- 41cos(
2)
1cos 213cos 2212
24A A
A A π
+-+=
+=+ …………………8分
1sin(2)126A π
=--+. ……………………10分
67626,320ππππ<-<-∴<
<A A 1sin(2)126
A π
∴-
<-≤ 所以21524s t ≤+<，故5
2s t ≤+<
. ……………………12分 （19）解：（Ⅰ）第二年所需维修、保养费用为12+4万元，
第x 年所需维修、保养费用为124(1)x +-48x =+， ……………………3分 维修、保养费用成等差数列递增，依题得：
2(1248)5098240982
x x
y x x x ++=-
-=-+-（x ∈+N ）.……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0
y >时，开始盈利， ……………………
8分
解不等式2
240980x x -+->,
得1010x <<. ……………………10分 ∵x ∈+N ,∴3≤x ≤17，故从第3年开始盈利. ……………………12分 （20）解：（Ⅰ）证明：连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2，
又AD ＝2，∴DF 2
＋AF 2
＝AD 2
， ∴DF ⊥AF ．又PA ⊥平面ABCD ， ∴DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ，
.DF PAF DF PF PF PAF ∴⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
平面平面 ……………4分
（Ⅱ）过点E 作EH ∥FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD 且AH ＝1
4AD ．
再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝1
4A P ，
∴平面EHG ∥平面PF D ． ∴EG ∥平面PFD ．
从而满足AG ＝1
4AP 的点G 为所求． ………………8分
（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角．
又有已知得45PBA ∠=，所以1PA AB ==，所以
()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B F D P ．
设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =，由00
n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
得00
x y z x y +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，解得：1
2x y ==．
所以11,,122n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
． 又因为AB PAD ⊥平面， 所以AB 是平面PAD 的法向量， 易得()1,0,0AB =，
所以1
cos ,1AB n AB n AB n
⋅=
=
=⋅ 由图知，所求二面角A PD F --的余弦值为
6
……………………12分 （21）解：（Ⅰ）设B （x 0，0），由2F （c ，0），A （0，b ），
知),(),,(02b x AB b c AF -=-=
c
b x b cx AB AF 2
02
02,0,-==+∴⊥ ，
由于211F F BF = 即1F
为2BF 中点．
故c c c b 22
-=+- 22223c a c b -==∴，
故椭圆的离心率2
1
=
e ------------------4分 （Ⅱ）由（1）知
,21=a c 得a c 21=于是2F （21a ，0）, B )0,2
3
(a -，
△ABF 的外接圆圆心为（21
-
a ，0）
，半径r =2
1|FB |=a , D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，
所以a a =--2
|321
|，解得a =2，∴c =1，b =3， 所求椭圆方程为13
42
2=+y x . ------------------8分 （Ⅲ）由（2）知)0,1(2F , l ：)1(-=x k y
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)
1(2
2
y x x k y 代入得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 设),(11y x M ，),(22y x N
则2
2
21438k
k x x +=+，)2(2121-+=+x x k y y ------------------9分 =-+-=+),(),(2211y m x y m x ),2(2121y y m x x +-+
由于菱形对角线垂直，则⋅+)(0=MN
故02)(2121=-+++m x x y y k 则02)2(21212=-++-+m x x x x k
2
k )2438(22-+k k 024382
2
=-++m k
k ------------------10分
由已知条件知0≠k 且R k ∈
431432
2
2+=+=∴k k k m 41
0<<∴m
故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是4
1
0<
<m ． ------------------12分
(22).解：解：（Ⅰ）2121
()20x ax f x x a x x
+-'=+-=
≤在[1，2]上恒成立， 令2()21h x x ax =+-，有(1)0,(2)0,h h ≤⎧⎨≤⎩ 得1,
7,2
a a ≤-⎧⎪
⎨≤-⎪⎩ …………3分
所以7
2
a ≤-
. …………4分 （Ⅱ）假设存在实数a ，使()ln ((0,e])g x ax x x =-∈有最小值3，
11()ax g x a x x
-'=-
=. …………5分 ①当0a ≤时，g (x )在[0，e]上单调递减，
min 4
()(e)e 13,e
g x g a a ==-==
（舍去）. ②当10e a <
<时，g (x )在1(0,)a 上单调递减，在1
(,e)a
上单调递增， 所以2
min 1
()()1ln 3,e g x g a a a
==+==，满足条件.
③当
1e a ≥时，g (x )在[0，e]上单调递减，min 4
()(e)e 13,e
g x g a a ==-==（舍去）. 综上，存在实数2
e a =，使得当(0,e]x ∈时，g (x )有最小值3. …………10分 (Ⅲ)令2
()e ln F x x x =-，由（2）知
min ()3F x =，令ln 5()2x x x ϕ=
+，2
1ln ()x
x x ϕ-'=， 当0e x <<时，()0x ϕ'≥，()x ϕ在(0,e]上单调递增， 所以max 1515
()(e)3e 222
x ϕϕ==
+<+=. 所以2
ln 5e ln 2x x x x ->
+,即225
e (1)ln 2
x x x x ->+. …………14分。