2020-2021西安交通大学附属中学初三数学下期中第一次模拟试题(带答案)

2020-2021西安交通大学附属中学初三数学下期中第一次模拟试题(带答案)
一、选择题
1．有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）
A．6
7
B．
30
37
C．
12
7
D．
60
37
2．已知一次函数y1=x－1和反比例函数y2=2
x
的图象在平面直角坐标系中交于A、B两
点，当y1＞y2时，x的取值范围是( )
A．x＞2B．－1＜x＜0C．x＞2，－1＜x＜0D．x＜2，x＞0
3．如果反比例函数y=k
x
（k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（）
A．（﹣1
2
，8）B．（﹣3，﹣2）
C．（1
2
，12）D．（1，﹣6）
4．如图所示，在△ABC中， cos B＝
2
2
，sin C＝
3
5
，BC＝7，则△ABC的面积是()
A．21
2
B．12C．14D．21
5．若
3
5
x
x y
=
+
，则
x
y
等于（）
A．3
2
B．
3
8
C．
2
3
D．
8
5
6．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝k
x
与一次函数y＝kx﹣1（k为常数，
且k＞0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠
B ，②∠ADE ＝∠
C ，③AE DE AB BC =，④A
D A
E AC AB =，⑤AC 2＝AD •AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）
A ．①②④
B ．②④⑤
C ．①②③④
D ．①②③⑤
8．如图，已知DE∥BC，CD 和BE 相交于点O ，S △DOE ：S △COB =4：9，则AE ：EC 为（ ）
A ．2：1
B ．2：3
C ．4：9
D ．5：4 9．反比例函数k y x
=与1(0)y kx k =-+≠在同一坐标系的图象可能为（ ） A ． B ． C ． D ．
10．如图▱ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使:1:3DE AD =，连结EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S ∆V ＝（ ）
A ．2：3
B ．3：2
C ．9：4
D ．4：9
11．已知2x =3y ，则下列比例式成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为
A ．423
B ．22
C ．823
D ．32
二、填空题
13．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB ，DE ：EA=2：3，EF=4，则CD 的长为___________．
14．利用标杆CD 测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E ．若标杆CD 的高为1.5米，测得DE ＝2米，BD ＝16米，则建筑物的高AB 为_____米．
15．如图，点A 在双曲线y=
2x 上，点B 在双曲线y= 5x
上，且AB ∥y 轴，C ，D 在y 轴上，若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积为________．
16．已知点(,)P m n 在直线2y x =-+上，也在双曲线1y x
=-
上，则m 2+n 2的值为______． 17．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园至少需要投资________元．
18．如图，已知两个反比例函数C1：y＝1
x
和C2：y＝
1
3x
在第一象限内的图象，设点P在
C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB 的面积为_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数
k
y
x
（x＜0）图象上的点，过点A作y轴
的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为______．
20．将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知
AB="AC=8" cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 cm2.
三、解答题
21．已知：△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
23．在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为2：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点P 为AB 边上的定点，且AP＝AD．
（1）求证：PD＝AB．
（2）如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边BC 上有一动点E，当BE
CE
的值是多少
时，△PDE 的周长最小？
（3）如图（3），点Q 是边AB 上的定点，且BQ＝BC．已知AD＝1，在（2）的条件下连接DE 并延长交AB 的延长线于点F，连接CF，G 为CF 的中点，M、N 分别为线段QF 和CD 上的动点，且始终保持QM＝CN，MN 与DF 相交于点H，请问GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．
24．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=3 4 .
(1)求证:ΔADM∽ΔBMN；
(2)求∠DMN的度数.
25．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，
AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．
（1）求证：
AM HG AD BC
=；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
试题解析：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=1
2
AB•BC=
1
2
AC•BP，
∴BP=
·3412
55 AB BC
AC
⨯
==．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，
∴DE BQ AC BP
=．
设DE=x，则有：
12
5
12
5
5
x
x-=，
解得x=6037
， 故选D ． 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
因为一次函数和反比例函数交于A 、B 两点，可知x-1=2x
，解得x=-1或x=2，进而可得A 、B 两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y 1>y 2．
【详解】
解方程x −1=2x
，得 x =−1或x =2，
那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)，
如右图，
当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >.
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】
∵反比例函数y=
k x (k≠0)的图象经过点(−3,2)， ∴k=−3×2=−6，
∵−12
×8=−4≠−6，
−3×(−2)=6≠−6，
1
2
×12=6≠−6，
1×(−6)=−6，
则它一定还经过(1,−6).
故答案选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=
2
2
，sinC=
3
5
，AC=5，∴
cosB=
2
2
=
BD
AB
，∴∠B=45°，∵sinC=
3
5
=
AD
AC
=
5
AD
，∴AD=3，∴CD=4，∴BD=3，则
△ABC的面积是：1
2
×AD×BC=
1
2
×3×（3+4）=
21
2
．故选A．
考点：1．解直角三角形；2．压轴题．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.
【详解】根据比例的基本性质得：
5x=3（x+y），即2x=3y，
即得
3
2
x
y
，
故选A．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键. 6．B
解析：B
【解析】
当k ＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A 、C 选项错误； ∵一次函数y=kx-1与y 轴交于负半轴，
∴D 选项错误，B 选项正确，
故选B ．
7．A
解析：A
【解析】
①AED B ∠=∠，且DAE CAB ∠=∠，
∴ADE ACB V V ∽，成立．
②ADE C ∠=∠且DAE CAB ∠=∠，
∴ADE ACB V V ∽，成立． ③
AE DE AB BC =，但AED V 比一定与B Ð相等，故ADE V 与ACD V 不一定相似． ④AD AE AC AB
=且DAE CAB ∠=∠， ∴ADE ACB V V ∽，成立．
⑤由2AC AD AE =⋅，得AC AE AD AC
=无法确定出ADE V ， 故不能证明：ADE V 与ABC V 相似．
故答案为A ．
点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
8．A
解析：A
【解析】
试题解析：∵ED ∥BC ，
.DOE COB AED ACB ∴V V V V ∽，∽
:4:9DOE BOC DOE COB S S V V Q V V ∽，，=
:2:3.ED BC ∴=
AED ACB QV V ∽，
::.ED BC AE AC ∴=
:2:3,?::ED BC ED BC AE AC Q ，==
:2:3AE AC ∴=，:2:1.AE EC ∴=
故选A.
点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】
A 根据反比例函数的图象可知，k >0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A 错误；
B 根据反比例函数的图象可知，k >0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B 正确；
C 根据反比例函数的图象可知，k <0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C 错误；
D 根据反比例函数的图象可知，k <0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D 错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
先设出DE x =，进而得出3AD x =，再用平行四边形的性质得出3BC x =，进而求出CF ，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：设DE x =，
∵:1:3DE AD =，
∴3AD x =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴//AD BC ，BC AD 3x ==，
∵点F 是BC 的中点， ∴1322
CF BC x =
=， ∵//AD BC ， ∴DEG CFG ∆∆∽， ∴2
24392DEG
CFG S DE x S CF x ⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭V V ， 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF 是
解本题的关键．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x =3y ，即可判断．
【详解】
A ．变成等积式是：xy =6，故错误；
B ．变成等积式是：3x +3y =4y ，即3x =y ，故错误；
C ．变成等积式是：2x =3y ，故正确；
D ．变成等积式是：5x +5y =3x ，即2x +5y =0，故错误．
故选C ．
【点睛】
本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得，在Rt △ABD 中，
由∠B=60°，可得BD=tan 60AD ︒=3
，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可
【详解】
∵AD ⊥BC ，
∴△ADC 是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC ，
∵AC=8，
∴，
在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=
tan 60AD ︒， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°，
∴，
∴AE=AD-DE=33=，
故选C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】解：∵EF∥AB∴△DEF∽△DAB∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5∴AB=10∵在▱ABCD中AB=CD∴CD=10故答案为：10【点睛】本题考查①相
解析：【解析】
【分析】
【详解】
解：∵EF∥AB,∴△DEF∽△DAB,∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5,∴AB=10,∵在▱ABCD中AB=CD．
∴CD=10．
故答案为：10
【点睛】
本题考查①相似三角形的判定；②相似三角形的性质；③平行四边形的性质．
14．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴△EBA∽△ECD，
∴CD ED
AB EB
=，即
1.52
216
AB
=
+
，
∴AB＝13.5（米）．
故答案为：13.5
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.
15．3【解析】试题分析：由AB∥y轴可知AB两点横坐标相等设A（m）B（m）求出AB=﹣=再根据平行四边形的面积公式进行计算即可得=•m=3考点：反比例函数系数k的几何意义
解析：3
【解析】
试题分析：由AB∥y轴可知，A、B两点横坐标相等，设A（m，2
m
），B（m，
5
m
），求
出AB=5
m
﹣
2
m
=
3
m
，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可得ABCD
S
Y
=
3
m
•m=3．
考点：反比例函数系数k的几何意义
16．6【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值再利用完全平方公式将原式变形得出答案详解：∵点P（mn）在直线y=-x+2上∴n+m=2∵点P（m
解析：6
【解析】
分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
详解：∵点P（m，n）在直线y=-x+2上，
∴n+m=2，
∵点P（m，n）在双曲线y=-1
x
上，
∴mn=-1，
∴m2+n2=（n+m）2-2mn=4+2=6．
故答案为6．
点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间的关系是解题关键．
17．【解析】【分析】如图所示作BD⊥CA于D则在直角△ABD中可以求出BD 然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价【详解】如图所示
AB=10AC=30∠BAC=120°作BD⊥CA于D则在直角△AB
解析：6750
【解析】
【分析】
如图所示，作BD⊥CA于D，则在直角△ABD中可以求出BD，然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价．
【详解】
如图所示，AB=103，AC=30，∠BAC=120°，作BD⊥CA于D，
则在直角△ABD中，∠BAD=60°，
∴BD=ABsin60°=15，
∴△ABC面积=1
2
×AC×BD=225．又因为每平方米造价为30元，
∴总造价为30×225=6750（元）．
【点睛】
此题主要考查了运用三角函数定义解直角三角形，关键是通过作辅助线把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中解题．
18．【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到
S△AOC=S△BOD=S矩形PCOD=1然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积【详解】∵PC⊥x轴PD⊥y轴∴S△
解析：2 3
【解析】【分析】
根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=111
236
⨯=，S矩形PCOD=1，然后利用
矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形P AOB的面积．【详解】
∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC=S△BOD=11
||
23
⋅=
111
236
⨯=，S矩形PCOD=1，∴四边形P AOB
的面积=1﹣2×1
6
=
2
3
．
故答案为：2
3
．
【点睛】
本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．掌握反比函数比例系数k的几何意义是解答
本题的关键．反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数
k
y
x
=图象中任取一点，过
这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19．-2【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABC的面积=得到|k|=2即可得到结论【详解】解：∵AB⊥y轴∴AB∥CO∴∴∵∴故答案为：-2【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义明确是解题的关
解析：-2
【解析】
【分析】
根据已知条件得到三角形ABC的面积=1
•=1
2
AB OB，得到|k|=2，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB⊥y轴，∴AB∥CO，
∴
111
•1
222
ABC
S AB OB x y k
====
g
三角形
，
∴2
k=，
∵0
k＜，
∴2
k=-，
故答案为：-2．【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确
1
•=1
2
ABC
S AB OB
=
V
是解题的关键．
20．【解析】【分析】分析：设BCAD交于点G过交点G作GF⊥AC与AC交于点F根据AC=8就可求出GF的长从而求解【详解】解：设BCAD交于点G过交点G 作GF⊥AC与AC交于点F设FC=x则GF=FC=
解析：48-163
【解析】
【分析】
分析：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，根据AC=8，就可求出GF的长，从而求解．
【详解】
解：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，设FC=x，则
GF=FC=x，
∵旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，
∴AF=GFcot∠FAG=
3
3
x．
所以x+
3
3
x=8，则x=12-43．
所以S△AGC=1
2
×8×（12-43）=48-163
三、解答题
21．答案见解析.
【解析】
【分析】
根据三角形相似的作图解答即可．
【详解】
解：如图，直线BD即为所求．
【点睛】
此题主要考查相似图形的作法，关键是根据三角形相似的作图．22．（1）见解析
（2）见解析
（3）AC7 AF4
=．
【解析】
【分析】
（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD．
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得
CE=1
2
AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF
CF
的值，从而得
到AC
AF
的值．
【详解】
解：（1）证明：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴AD AC AC AB
=
即AC2=AB•AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=1
2
AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．∵∠DAC=∠CAB ∴∠DAC=∠ECA ∴CE∥AD．
（3）∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴AD AF CE CF
=．
∵CE=1
2
AB
∴CE=1
2
×6=3．
∵AD=4
∴4AF 3CF =
∴AC7 AF4
=．
23．（1）证明见解析（2）2
2
-
（3
【解析】
【分析】
（1）根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB，根据AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得证；
（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，表示出AB与CD，由AB-AP表示出BP，由对称的性质得到
BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；
（3），理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性质得到MF=DN，利用AAS得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形对应边相等得到FH=DH，再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即可．
【详解】
（1）在图1中，设AD=BC=a，则有a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵PA=AD=BC=a，
∴，
∵
AB=2a ，
∴PD=AB ；
（2）如图，作点P 关于BC 的对称点P′，
连接DP′交BC 于点E ，此时△PDE 的周长最小，
设AD=PA=BC=a ，则有2，
∵BP=AB-PA ，
∴2a-a ，
∵BP′∥CD ， ∴22222BE BP a CE CD a
=== ； （3）2，理由为：
由（2）可知BF=BP=AB-AP ，
∵AP=AD ，
∴BF=AB-AD ，
∵BQ=BC ，
∴AQ=AB-BQ=AB-BC ，
∵BC=AD ，
∴AQ=AB-AD ，
∴BF=AQ ，
∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB ，
∵AB=CD ，
∴QF=CD ，
∵QM=CN ，
∴QF-QM=CD-CN ，即MF=DN ，
∵MF ∥DN ，
∴∠NFH=∠NDH ，
在△MFH 和△NDH 中，
{MFH NDH
MHF NHD MF DN
∠∠∠∠＝＝＝ ，
∴△MFH ≌△NDH （AAS ），
∴FH=DH ，
∵G 为CF 的中点，
∴GH 是△CFD 的中位线，
∴GH=1
2
CD=
1
2
×
．
【点睛】
此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
24．（1）见解析；（2）90°
【解析】
【分析】
（1）根据
4
3
AD
MB
=，
4
3
AM
BN
=，即可推出
AD AM
MB BN
=，再加上∠A=∠B=90°，就可以
得出△ADM∽△BMN；
（2）由△ADM∽△BMN就可以得出∠ADM=∠BMN，又∠ADM+∠AMD=90°，就可以得出∠AMD+∠BMN=90°，从而得出∠DMN的度数．
【详解】
(1)∵AD=4，AM=1
∴MB=AB-AM=4-1=3
∵
4
3
AD
MB
=，
14
33
4
AM
BN
==
∴AD AM MB BN
=
又∵∠A=∠B=90°
∴ΔADM∽ΔBMN
(2)∵ΔADM∽ΔBMN
∴∠ADM=∠BMN
∴∠ADM+∠AMD=90°
∴∠AMD+∠BMN=90°
∴∠DMN=180°-∠BMN-∠AMD=90°
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明△ADM∽△BMN是解答的关键．
25．（1）证明见解析；（2）72cm．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可得出结论；（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，
∴AM HG AD BC
=；
（2）解：由（1）AM HG
AD BC
=得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm．
∵AD=30cm，
∴AM=（30﹣x）cm．∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
可得：30
3040
x x
-
=，
解得：x=12，
故HG=2x=24，
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．
答：矩形EFGH的周长为72cm．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．。