对数的概念(第一课时)

2.2.1对数的概念
教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．
2.熟练运用对数的性质解题．
教学重点：对数定义、对数的性质。

教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称。

教学方法：学导式
教学过程设计
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？
生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．
师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？
师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程得:1.072x=4．
我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．
师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次幂等于N，就是x a N
=，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子log a N叫做对数式．
对数这个定义的认识及相关例子:
(1)对数式log a N实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法．
(2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．
实际上x a N
=这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，x可求N，即前面学过的指数运算；知道x
（为自然数时）、N可求a a
=；知道a,N可以求x，即今天要学习的对数运算，记作log a N= x．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为log a N，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．
师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．师：（板书）对数log a N（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(common logarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．
师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形
师：由定义，我们还应注意到对数式log a N=b中字母的取值范围是什么？
生：a＞0且a≠1；x∈R；N∈R．
师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）
生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而a x=N中N总是正数．
师：要特别强调的是：零和负数没有对数．
师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？
（根据本班情况决定是否设置此问．）
生：因为若a＜0，则N取某些值时，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，x不存在，如log02不存在；当N为0时，x可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，x不存在，如log13不存在，N为1时，x可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．
（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从a x=N出发回答较为简单．）
1,:例、将下列指数式化为对数式对数式化为指数式
4(1)5625;= 3(4)log 5m =
0(2)21;= 12
(5)log 164=-
1(3)33= 10(6)log 0.012=-
两名学生板演练习（过程略）．
（注意纠正学生的错误读法和写法．）
2:x 例、求下列各式中的值
642(1)log ;3
x =- (2)log 86;x = (3)lg1000;x = 2(4)ln .e x -= 53(5)log (log )1x = 2
2log 1(6)3log 1
x x +=- 总结:通过(1)-(4)让学生掌握指数与对数互化的方法
(5)-(6)掌握对数与指数互化的方程问题
对数恒等式的引入log a N a N =
证明：设指数等式a b =N ，则相应的对数等式为log a N=b ，所以
a b =log a
N a N =
师：你是根据什么证明对数恒等式的？
生：根据对数定义．
师：（分析小结）证明的关键是设指数等式a b =N ．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
生：a ＞0，a ≠1，N ＞0． 例3:计算
9 22log 5(2)2+ 3l o g 5(3)9
(
(2(4)log 2
总结:熟练掌握对数恒等式
324:log 2,log 3,.x y a a x y a +==例已知求 的值
:(81),(9).x f x f =思考已知求
小结：通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、等方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．。