甘肃省秦安一中高三数学补习班周考练试题八

秦安一中2011—2012学年度高三、补习班数学周考练（八）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合A=｛x ∣1≤x ≤2｝,B=｛x ∣x ≥α｝。

若A ⊆B ，则α的取值范围是 （ ） （A ）α＜1 （B ）α≤1 （C ）α＜2 （D ）α≤2
2．（理）当z =21i -时，z 100 + z 50
+ 1的值等于 （ ）
A ．1
B ．– 1
C ．i
D ．– i
（文）已知全集U = {1，2，3，4，5，6，7}，A = {3，4，5}，B = {1，3，6}，则A ∩(U B ) 等于 （ ）
A ．{4，5}
B ．{2，4，5，7}
C ．{1，6}
D ．{3}
3．函数y = x 2
– 1 (x < 0)的反函数是 （ ） A ．y =1+x （x < – 1） B ．y = –1+x （x < – 1）
C ．y =1+x （x > – 1）
D ．y = –1+x （x > – 1）
4．函数f (x ) =x x 52
sin 52cos 3+的图像相邻的两条对称轴之间的距离是 （ ）
A ．
45π B ．5π C ．5
2π D ．25π
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3 + a 5 + a 7 = 15，则S 9等于 （ ） A ．18 B ．36 C ．45 D ．60 6．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆122
22=+b
y a x (a > b > 0)上的一点，若21PF ⋅= 0，tan
∠PF 1F 2 =2
1
，则此椭圆的离心率为 （ ）
A ．
21 B ．3
2 C ．31
D ．35
7．（理）α、β为两个确定的相交平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件中能使a 、b 所成
的角为定值的有 （ ）
（1）a ∥α，b ⊂β （2）a ⊥α，b ∥β （3）a ⊥α，b ⊥β （4）a ∥α，b ∥β，且a 与α的距离等于b 与β的距离
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个
（文）已知直线l 、m 、n 及平面α、β，下列命题中的假命题是 （ ） A ．若l ∥m ，m ∥n ，则l ∥n B ．若l ⊥α，n ∥α，则l ⊥n C ．若l ∥α，n ∥α，则l ∥n
D ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β
8．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得点A 到点A '的位置，且A 'C = 1，则折起后二面角A '– DC – B 的大小为 （ ） A ．arctan
22 B ．4π C ．arctan 2 D ．3
π 9．某医院为了支援汶川地震灾区的重建工作，要从4名男医生和3名女医生中选出3名医
生前往灾区，
至少有一男一女的不同选派方法有
)(A 60种
)(B 30种
)(C 35种
)(D 210种
10．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只螺丝钉，那么10
3
等于 （ ）
A ．恰有1只是坏的概率
B ．4只全是好的概率
C ．恰有2只是坏的概率
D ．至多2只是坏的概率
11．（理）函数f (x )的定义域为R ，导函数)(x f '的 图像如图1所示，则函数f (x ) （ ） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点
（文）已知f (x ) = x 3
– ax ，x ∈R ，在x = 2处的
切线垂直于直线x + 9y – 1 = 0， 则a =（ ） A ．1 B ．– 1 C ．3
D ．– 3
12．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B a A b c cos cos )2(=-，则角A ＝
)
(A 6
π
)
(B 3
π
)
(C 3
2π
)
(D 6
5π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．（理）若n ∈N *
，n < 100，且二项式n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+231的展开式中存在常数项，则所有满足条
件的n 值的和是________．
（文）在8
312⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-x x 的展开式中常数项是_________．
14．与直线x+2y+3=0垂直，且与抛物线y = x 2
相切的直线方程是 ．
15．已知向量)1,3(),3,2(-==OB OA ，且OA OC ⊥，AC ∥OB ，则=OC 。

16．若x ≥0，y ≥0，且12=+y x ，则232y x +的最小值是 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,x ＝（2a ＋c ，b ）,y
＝(cos B ，cos C )，且x y ∙＝0．（1） 求∠B 的大小；（2）若b ＝3，求a ＋c 的最大
值．
18．（本小题满分12分）（理）从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数． （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；
（3）求“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率．
（文）一名学生在军训中练习射击项目，他射击一次，命中目标的概率是3
1
，若连续射
击6次，且各次射击是否命中目标相互之间没有影响． （1）求这名学生在第3次射击时，首次命中目标的概率； （2）求这名学生在射击过程中，恰好命中目标3次的概率．
19．（本小题满分12分）
(理)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，
点1(,)n n P b b +在直线02=+-y x 上。

（Ⅰ） 求数列{}{},n n a b 的通项公式n a 和n b ； （Ⅱ） 设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

(文)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,
)n S n n 在直线111
22
y x =+上；数列{}n b 满足2120()n n n b b b n N *++-+=∈，且311b =，它的前9项和为153.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设3
(211)(21)
n n n c a b =
--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切
n N *∈都成立的最大正整数k 的值；
20．（本小题满分12分）
如图2所示，已知四棱锥P –ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC =∠BCD = 90°，AB = BC =
PB = PC = 2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD ． （1）证明：PA ⊥BD ；
（2）求二面角P – BD – C 的大小； （3）求证：平面PAD ⊥平面PAB ．
21．（本小题满分12分）
已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆，其离心率，且经过抛物线的焦点。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B （2，0）的直线l 与椭圆交于不同的亮点E 、F(E 在B 、F 之间)且
，试求实数
的取值范围。

22．（本小题满分12分）（理）已知函数f (x )的导数f '(x )满足0<f '(x )<1，常数a 为方程f (x )=x
的实数根.(Ⅰ)若函数f (x )的定义域为M ，对任意[a ,b ]⊆M ，存在x 0∈[a ,b ]，使等式 f (b )–f (a )=(b –a )f '(x 0)成立，求证：方程f (x )=x 存在唯一的实数根a ； (Ⅱ) 求证：当x >a 时，总有f (x )<x 成立；
(Ⅲ)对任意x 1、x 2，若满足|x 1–a |<2，|x 2–a |<2，求证：|f (x 1)–f (x 2)|<4.
（文）已知函数f x x bx cx d ()=+++3
2
的图像经过原点O ，且在x =1处取得极值，曲线y f x =()在原点处的切线l 与直线y x =2的夹角为45°，且切线l 的倾斜角为钝角。

（I ）求f x ()的解析式；
（II ）若函数()g x mx m x ()=+-26的图像与函数y f x =()的图像恰有3个不同交点，
求实数m 的取值范围。

秦安一中2011—2012学年度高三、补习班数学周考练（八）参考答案
一、选择题 1．B
2．（理）D ∵(1 – i)2
= – 2i
∴z 2 = – i ，∴z 100 + z 50 + 1 = ( – i)50 + (– i)25
+ 1 = – 1 – i + 1 = – i ． （文） A U B = {2，4，5，7}，A ∩(U B ) = {4，5}．
3．D 显然y = x 2
– 1 (x < 0)的值域为(– 1，+∞)
∴反函数为y =)1(1->+-x x ． 4．D f (x ) =3cos x 52+ sin x 5
2 = 2(sin
3πcos x 52+ cos 3πsin x 5
2)
= 2sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+35
2
πx
∴周期为T =
ππ
55
2=
则相邻的对称轴间的距离为π2
5
2=T ． 5．C ∵a 3 + a 5 + a 7 = 3a 5 = 3 (a 1 + 4d ) = 15
而S 9 =29
1a a +× 9 = 9 (a 1 + 4d )
∴
39
7539=++a a a S 即S 9 = 45．
6．D 由021=⋅PF PF 知PF 1⊥PF 2 ∴2212221F F PF PF =+
又知tan ∠PF 1F 2 =2
1 ∴
2
1
12=PF PF 而PF 1 + PF 2 = 2a ，F 1F 2 = 2c
e =3
5
2)()2(2222222121=
++=+=PF PF PF PF PF PF F F a c ． 7．（理）B 由题意知（3）满足条件，∴有一个．
（文）C l 和n 可满足平行、相交、垂直等多种情况． 8．C 将BD 折起后，如图所示作E A '⊥CD 于E ，作EF ∥
BC ，连F A '，
∵
⇒⎭
⎬⎫
⊥BC CD BC FE //EF ⊥CD
又∵E A '⊥CD ，则∠E A 'F 为所求 ∵C A '= 1，又D A '= CD = 1 ∴E A '=2
3 又
⇒⎭
⎬⎫
⊥''='CD E A C A D A E 为CD 中点，又EF ∥BC
∴EF //
21BC ，∴EF =2
1
，又∵D A '=B A '= 1 ∴F A '⊥BD ，∴F A '=
2
2
又2
F A '+ EF 2 =22
22
232122E A '=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛ ∴F A '⊥EF ，∴tan ∠22
122
=='EF A ．
9．B 至少一男一女包含一男二女和二男一女的情况,则选派数301
3242314=⋅+⋅=C C C C N ,
故选)(B .
10．C 恰有1只坏的概率为P 1 =21C C C 41037
13=，4个全是好的概率为P 2 =4104
7C C =6
1，恰有2只
坏的概率为P 3 =103C C C 4102
723=，至多2只坏的概率P 4 =30
29
6110321=++．
11．（理）C 由题图知)(x f '= 0的x 值有4个，再由极值定义判断可知C 为答案 （文）C )(x f '= 3x 2 – a ．切线斜率：k = 3× 22
– a = 12 – a ，又切线与x + 9y – 1 = 0垂直
则k = 9，∴12 – a = 9，即a = 3．
12．由B a A b c cos cos )2(=-,得B A A B C cos sin cos )sin sin 2(=-，
C B A A B A B A C sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=∴，
21cos =∴A ，3
π
=∴A ,故选)(B . 二、填空题
13．（理）950
提示：T r + 1 =r
n r n x
53C -⋅
令3n – 5r = 0，得r n 35
=
再令r = 3k ，k ∈N *
，∴n = 5k < 100
∴1≤k ≤19，k ∈N
*
∴所有满足条件的n 值的和是5 + 10 + 15 + … + 95 =
2
95
5+× 19 = 950． （文）7
14．210x y --= 15．13、令),(y x OC =，则由题得：⎩⎨
⎧-=-=+9
320
32y x y x ，解得
)2
3
,1(--=OC ；
16．
4
3 三、解答题
17．解：（1）x y ∙＝（2a ＋c ）cos B ＋b cos C ＝0，
由正弦定理 2sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos C ＝0， (2分) 2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0．
sin A (2cos B ＋1)＝0． (4分) ∵A ，B ∈(0，π)，∴sin A ≠0，cos B ＝－12，B ＝2π
3． (6分)
（2）3＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝(a ＋c )2
－ac ， (8分)
(a ＋c )2
＝3＋ac ≤3＋(
a ＋c
2
)2
， (10分)
∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2．
∴当且仅当a ＝c 时，(a ＋c )max ＝2． (12分) 18．（理）解：（1）ξ可能取的值为0，1，2， P (ξ= k ) =37
35
2C C ·C k
k -，k = 0，1，2
所以ξ的分布列为
（2）由（1
E ξ= 0 ×72+ 1×74+ 2 ×71=7
6
（3）由（1）知“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率为
P (ξ≤1) = P (ξ= 0) + P (ξ= 1) =72+74=7
6
．
（文）解：（1）这名学生第一、二次射击未中目标，第三次击中目标的概率为
P 1 =274
31311311=
⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
（2）这名学生恰好击中目标3次的概率为
P 2 =72916031131C 3
33
6
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯．
19．(理)解：（Ⅰ）∵n a 是n S 与2的等差中项， ∴2
2-=n n a S ①
(2)
分
∴ 1122,22,n n n n S a S a --=-=- *
12,)n n n
S S a n n N -≥∈又－＝，（ ② 由①-②得
*1
2,)n n n S S a n n N -≥∈又－＝，（ {}*1
2,(2,),n n n a
n n N a a -∴=≥∈即数列是等比数列。

………4分
再由22-=n n a S
得。

，解得2221111=-==a a S a ∴n
n a 2=
………6分
11,)20n n n n P b b b b ++∴-点（在直线x-y+2=0上，＋＝。

∴{}。

，是等差数列，又，即数列121211-=∴==-+n b b b b b n n n n ……8分 （Ⅱ）
(21)2,n n c n -＝
231122123252(21)2,n n n n T a b a b a b n ∴++
+=⨯+⨯+⨯+
+-＝ ①
23121232(23)2(21)2n n n T n n +∴=⨯+⨯+
+-+-。

②
①-②得：2
3
1
12222222)(21)2n
n n T n +-=⨯⨯⨯⨯--＋(＋＋＋，…… 10分
即：3
4
1112(222(21)2n n n T n ++-=⨯++++--），
∴62
)32(1
+-=+n n n T 。

…………12分
(文) 答案：解析：（1）点(,
)n S n n 在直线11122y x =+上，∴2111
22
n S n n =+ 由n S 求得5n a n =+ （2分）
由2120()n n n b b b n N *
++-+=∈知数列{}n b 为等差数列，求得32n b n =+ （4分） （2）31111()(211)(21)(21)(21)22121
n n n c a b n n n n =
==----+-+ （6分）
122,0,
n
n n n a a a a -∴=-≠
∴1221
n n n
T c c c n =+++=
+ （8分） 由于11
0(23)(21)
n n T T n n +-=
>++ ∴n T 单调递增 ∴min 1()357n k T => 得19k < ∴max 18k = （12分）
20．解法一：（1）取BC 中点O ，连结AO 交BD 于点E ，连结PO ∵PB = PC ，∴PO ⊥BC
又∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD = BC
∴PO ⊥平面ABCD 在直角梯形ABCD 中
∵AB = BC = 2CD ，易知Rt △ABO ≌Rt △BCD
∴∠BEO =∠OAB +∠DBA =∠DBC +∠DBA = 90° 即AO ⊥BD ，由三垂线定理知PA ⊥BD ． （2）连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO ⊥BD
得PE ⊥BD
∴∠PEO 为二面角P – BD – C 的平面角
设AB = BC = PB = PC = 2CD = 2a
则PO =3a ，OE =
a 5
5 在Rt △PEO 中，tan ∠PEO =15=OE
PO
∴二面角P – BD – C 的大小为arctan 15
（3）取PB 的中点为N ，连结CN ，则CN ⊥PB
又∵AB ⊥BC ，BC 是PB 在面ABCD 内的射影 ∴AB ⊥PB ，又PB ∩BC = B
∴AB ⊥面PBC ，∴平面PAB ⊥平面PBC ∵CN ⊥PB ，面PAB ∩面PBC = PB ∴CN ⊥平面PAB
取PA 的中点为M ，连结DM 、MN
则MN ∥AB ∥CD ，∵MN =
2
1
AB = CD ∴四边形MNCD 为平行四边形 ∴CN ∥DM ，∴DM ⊥平面PAB ∴平面PAD ⊥平面PAB ． 解法二：（1）取BC 中点为O
∵侧面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形
∴PO ⊥底面ABCD ，以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，直线OP 为z 轴，如图乙所示，建立空间直角坐标系．
不妨设CD = 1
则AB = BC = PB = PC = 2，PO =3 ∴A (1，– 2，0)，B (1，0，0)，D (– 1，– 1，
0)，P (0，0，3)
∴= (– 2，– 1，0)，= (1，– 2，–3)
∵·= (– 2) × 1 + (– 1) × (– 2) + 0 × (–3) = 0 ∴⊥，∴PA ⊥BD
（2）连结AO ，设AO 与BD 相交于点E ，连结PE 由· = 1 × (– 2) + (– 2) × (– 1) + 0 × 0 = 0
∴OA ⊥，∴OA ⊥BD
又∵EO 为PE 在平面ABCD 内的射影，∴PE ⊥BD ∴∠PEO 为二面角P – BD – C 的平面角 在Rt △BEO 中，OE = OB · sin∠OBE =5
5 ∴在Rt △PEO 中，tan ∠PEO =
15=OE
PO
∴二面角P – BD – C 的大小为arctan 15 （3）取PA 的中点M ，连结DM
则M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23121，，，又∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23 0 23，，
∴DM ·PA =
2
3
× 1 + 0 × (– 2) +0)3(23=-⨯ ∴⊥，即DM ⊥PA 又∵= (1，0，3-) ∴·=
2
3
× 1 + 0 × 0 +0)3(23=-⨯ ∴⊥，即DM ⊥PB ，∴DM ⊥平面PAB ∴平面PAD ⊥平面PAB ．
21．答案：解析：
（Ⅰ）设椭圆方程为
则 ①
抛物线的焦点为
②
由①②解得
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）方法一：设
又点E在B、F之间，则
故的取值范围是
方法二：如图，由题意知直线的斜率存在
设方程为①
将①代入，整理得
②
由②知
即的取值范围是
22．（理）解：（1）设f(x)=x有不同于α的实数根β，即f(β)=β，不妨设β>α，于是在α与β间必存在c，α<c<β，使得β–α=f(β)–f(α)=(β–α)f'(c)∴f'(c)=1，这与已知矛盾，∴方程f(x)=x存在唯一实数根α.
（2）令g(x)=x–f(x)∴g'(x)= 1–f'(x)>0
∴g(x)在定义域上为增函数
又g(α)=α–f(α)=0∴当x>α时，g(x)>g(α)=0
∴当x>α时，f(x)<x.
（3）不妨设x1<x2，∵0<f'(x)<1∴f(x)在定义域上为增函数
由（2）知x–f(x) 在定义域上为增函数.∴x1–f(x1)<x2–f(x2)
∴0<f(x2)–f(x1)<x2–x1
即|f(x2)–f(x1)|<|x2–x1|
∵|x2–x1|≤|x2–α|+|x1–α|<4
∴|f (x 1)–f (x 2)|<4.
(文) 解：（I ）由f x ()的图像过原点得d =0
f x x bx c '()=++322
∵f x ()在x =1处取得极值
∴f b c '()13201=++=<>
f x ()在原点处切线l 的斜率k f c =='()0，且c <<>02 又∵曲线y f x =()在原点处的切线l 与直线y x =2的夹角为45° ∴c c -+=<>21213
由<1><2><3>可求得，c b =-=30，
∴f x x x ()=-33………………7分 （II ）若函数()g x mx m x ()=+-2
6的图像与函数y f x =()的图像恰有3个不同的交点，即方程()x x mx m x 3236-=+-，亦即()x mx m x 3230-+-=恰有3个不等实
根。

∵x =0是上述方程的一个根
∴方程x mx m 230-+-=有两个非零且不等实根
()∴∆=-->-≠⎧⎨⎩⎪m m m 243030
解得：m <-6，或23<<m ，或m >3 所以当实数()()()
m ∈-∞-+∞，∪，∪，6233时，函数()g x mx m x ()=+-26的图像与函数y f x =()的图像恰有3个不同交点。

………………14分。