高二数学 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法强化练习 新人教A版必修3

高中数学 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法强化练习
一、选择题
1．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )
A ．3
B ．9
C ．17
D ．51 [答案] D
2．36和28的最大公约数和最小公倍数分别是( )
A ．2和504
B ．4和504
C ．2和252
D ．4和252 [答案] D
3．用更相减损术求651和310的是大公约数时，需要做减法的次数为( )
A ．11
B ．10
C ．3
D ．2 [答案] A
4．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 7＋x 6－3x 5＋4x 3－8x 2－5x ＋6的值时，v 5＝v 4x ＋( )
A ．－3
B ．4
C ．－8
D ．－5
[答案] C
5．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v 3的值为( )
A ．27
B ．86
C ．262
D ．789 [答案] C
[解析] 多项式变形为：f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， v 0＝7，
v 1＝7×3＋6＝27，
v 2＝27×3＋5＝86，
v 3＝86×3＋4＝262.
6．用秦九韶算法求n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x
n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值，当x ＝x 0时，求f (x 0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( )
A.n n ＋12，n ，n B ．n,2n ，n C ．0，n ，n D ．0,2n ，n
[答案] C
[解析] 多项式变形为：f (x )＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋a n －2)x ＋…＋a 1)x ＋a 0，把x 0代入上式可求f (x 0)，所以不需要做乘方运算，做乘法和加法的次数分别是n ，n ，故选C.
二、填空题
7．已知多项式f (x )＝x 5－5x 4＋10x 3－10x 2
＋5x －1，则f (－2)＝________.
[答案] －243
8．三个数720,120,168的最大公约数是________．
[答案] 24
[解析] 先求720与120的最大公约数120，再求168与120的最大公约数24，因此，720,120与168的最大公约数为24.
9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值：
①第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.
第三步，输出f(x)．
②第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
第三步，输出f(x)．
③需要计算5次乘法，5次加法．
④需要计算9次乘法，5次加法．
以上说法中正确的是________(填序号)．
[答案] ②③
[解析] ①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确．
对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误．
三、解答题
10．(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数．(2)用更相减损术求561与255的最大公约数．
[解析] (1)1746＝840×2＋84，
840＝84×10＋0，
所以840与1764的最大公约数为84.
(2)561－255＝306，
306－255＝51，
255－51＝204，
204－51＝153，
153－51＝102，
102－51＝51
所以459与357的最大公约数为51.
11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2当x＝－2时的值．[解析] ∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋0·x3＋x2＋0.3x＋2
＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2
∴当x＝－2时，
v 0＝1，
v 1＝－2－5＝－7，
v 2＝－7×(－2)＋6＝20，
v 3＝20×(－2)＋0＝－40，
v 4＝－40×(－2)＋1＝81，
v 5＝81×(－2)＋0.3＝－161.7，
v 6＝－161.7×(－2)＋2＝325.4，
∴f (－2)＝325.4.
12．已知n 次多项式P n (x )＝a n x n ＋a n －1x
n －1＋…＋a 1x ＋a 0(a k ≠0，k ＝0,1，…，n )，x 0为任意实数．
(1)在平常的算法中，计算x k 0(k ＝2,3，…，n )的值需要进行k －1次运算，计算P 3(x 0)＝a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0的值共需要进行9次运算(6次乘法、3次加法)，那么计算P n (x 0)的值需要进行多少次运算？
(2)若用秦九韶算法计算P n (x 0)的值，则需要进行多少次运算？
[解析] (1)加法运算次数为n ，乘法运算次数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，所以共需n ＋n n ＋1
2＝n n ＋3
2(次)．
(2)加法运算次数为n 次，乘法也为n 次，共需2n 次．。