沪教版(上海)数学八年级第二学期-23.3 概率 教案

概率教案(第一,二课时)
教学目标: 1使学生了解实际生活中的随机现象;并能用概率的知识初步解释这些随机现象;
2使学生理解频率,概率的含义;
3使学生理解频率和概率的区别和联系.
教学重点和难点:
1随机现象的定义;
2如何用频率来理解概率及频率和概率的关系.
教学过程
一 课程引入
1 概率学的发展:
概率论是机遇的数学模型.最初他只是对于带机遇性游戏的分析,而现在已经是一门庞大的数学理论,他在社会学, 生物学, 物理学和化学上都有应用.
概率一词是和探求真实性联系在一起的.在我们所生活的世界里,充满了不确定性.因此我们就试图通过猜测事件的真相和未来来掌握这种不确定性.概率这门学科就应运而生了. 2 概率趣话
概率与π
布丰曾经做过一个投针试验.他在一张纸上画了很多条距离相等的平行直线,他将小针随意地投在纸上,他一共投了2212次,结果与平行直线相交的共有704根.总数2212与相交数704的比值为3.142.布丰得到地更一般的结果是: 如果纸上两平行线间的距离为d ,小针的长为l ,投针次数为n ,所投的针中与平行线相交的次数为m ,那么当n 相当大时有: dm
ln 2≈π. 后来有许多人步布丰的后尘,用同样的方法计算π值.其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini ).他在1901年宣称进行了多次投针试验得到了π的值为3.1415929.这与π的精确值相比,一直到小数点后七位才出现不同!用如此巧妙的方法,求到如此高精确的π值,这真实天工造物!
抽签的顺序
抽签的先后顺序与是否抽到有记号的签无关.
3 概率学的应用:
(1) 工业方面
问: 如果长虹生产的彩电的合格率为99.99%,而康家生产的彩电的合格率为99%,你更愿意买那一家的彩电?
你可能买到长虹不合格的彩电,也有可能买到康佳合格的彩电,但你为什么更愿意卖长虹的彩电呢?在这里我们将给你答复.
(2) 农业方面
种子有优有劣,每一粒种子在你中下时,你并不知道他将来是否发芽.但为了将来的发芽率高,你会怎么办?你只有在种的时候就选优良的种子,这又是为什么呢?
(3) 日常生活方面
今天天气预报说:明天的降雨概率为80%,那你明天一定带伞出门吗?如果说:今天的降雨概率是20%,你就一定不带伞出门吗?
如果说中奖的概率是0.1%,你买一千张彩票就一定能中奖吗?
二 新课
(一) 基本概念
1 随机现象
(1) 大千世界,所遇到的现象不外乎两类.
一类是确定性现象,如在标准大气压下,水加热到100摄氏度时沸腾,是确定会发生的现象;又如,从地球上看,太阳每天从东方升起.
另一类是随机而发生的不确定的现象,如适当的条件下,种子的发芽,掷一枚硬币出现正面或反面等等.这种不确定的现象叫做随机现象.
随机现象: 在相同的条件下,重复同样的试验或观测(今后把”观测”也看作试验而不加区分),其试验结果却不确定,以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现的现象.
(2) 对随机现象的理解
在一种前提下的随机事件,在另一种前提下可能成为必然事件.
北宋年间的荻青与侬智高的较量.
大将荻青奉旨征讨侬智高.但敌我的悬殊很大,胜败没有把握.他便设坛拜神,拿出一百枚铜钱,说:”如果这一百枚铜钱的钱面全部朝上,则这次将会大获全胜.”士兵们很是惶恐,力权荻青不可如此,凭大家的经验可知,这是不可能发生的.但是荻青不停劝阻,毅然投下一百枚铜钱,让大家惊奇的是,一百枚铜钱的前面全部朝上,这大大鼓舞了将士们的士气,在兵力相差很大的条件下,击退了侬智高的部队.
在一种前提下的必然事件,在另一种前提下可能不出现.
从死亡线上生还的人
2 频率的稳定性,概率
(1) 投掷硬币试验
人们知道:掷一枚硬币,事先无法哪一面向上.但是出现正面和反面的机会是相等的.在大量的投掷时,正面和反面出现的次数”差不多”,从历史上看,这经历了很长一个时期.
面出向的频率,即正面出现的次数k 与总的试验次数n 之比n k 都在2
1的左右.这表明: ① 频率是随机的,事先无法确定.
② 频率又”稳定”在一个数常数的附近.
频率偏离这个常数很大的可能性虽然存在,但是试验的次数n 越大,频率偏离这个常数的可能性越小.也就是说: 随机事件的每一次观察结果都是偶然的,但是多次观察某个随机现象可以知道,在大量的偶然事件中存在这必然的规律.
(2) 男女出生率
频率的稳定性,可以从人类的生育中得到生动的例子.一般人或许认为:生男生女的可能性是相等的,因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是1:1,可事实并非如此.
公元1814年,法国数学家拉普拉斯(Laplace 1794---1827)在他的新作<<概率的哲学探讨>>一书中,记载了一下有趣的统计.他根据伦敦,彼得堡,柏林和全法国的统计资料,得出了几乎完
全一致的男婴和女婴出生数的比值是22:21,即在全体出生婴儿中,男婴占51.2%,女婴占48.8%.可奇怪的是,当他统计1745---1784整整四十年间巴黎男婴出生率时,却得到了另一个比是25:24,男婴占51.02%,与前者相差0.14%.对于这千分之一点四的微小差异!拉普拉斯对此感到困惑不解,他深信自然规律,他觉得这千分之一点四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入进行调查研究,终于发现:当时巴黎人”重男轻女”,又抛弃男婴的陋俗,以至于歪曲了出生率的真相,经过修正,巴黎的男女婴的出生比率依然是22:21.
(3) π中数字出现的稳定性(法格逊猜想)
在π的数值式中,各个数码出现的概率应当均为1/10.随着计算机的发展,人们对π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计,得到的结果与法格逊猜想非常吻合.
3 概率
某一随机事件的频率在一个常数附近,这个常数我们称之为这一随机事件的概率.
例如1/2就是投掷一枚硬币”出现正面”这一随机事件的概率.而且大数定理说: 当试验的次数很大时,随机事件A 出现的频率,稳定地在某个数值P 附近摆动.这个稳定值P ,叫做随机事件A 的概率,并记为P A P =)(.大数定理是贝努利对数学的一个非常重要的贡献.
很明显,)(A P 是0和1之间的一个数,即
1)(0≤≤A P
问: )(A P =0是什么意思? 这时我们称事件A 为不可能事件,如太阳从东边升起. )(A P =1是什么意思? 这是我们称事件A 为必然事件,如地球绕着太阳转.
在这里,我们需要区分”频率”和”概率”这两个概念:
(1) 频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,它反映的随机事件出现的可能性.
(2) 概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性.
4 随机现象的两个特征
(1) 结果的随机性 即在相同的条件下做重复的试验时,如果试验的结果不止一个,则在
试验前无法预料哪一种结果将发生.
(2) 频率的稳定性 即大量重复试验时,任意结果(事件) A 出现的频率尽管是随机的,却”
稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这一常数的偏差大的可能性越小.这一常数就成为该事件的概率.
概率选修课教案(第三,四课时)
教学目标: 理解几个随机事件的交,并,对立事件和互斥事件; 掌握公式)(1)(A P A P -=;
掌握几个互斥事件概率的加法公式;
教学重点: 各种概率的计算公式
教学难点: 对公式)()()()(AB P B P A P B A P -+= 的理解;
两两互斥事件概率的加法公式.
新课
一、简单的概率计算
1 逆事件或对立事件
定义 设事件A 是事先给定的事件,我们用记号A 表示” A 不发生”.我们称A 为事件A 的逆事件或对立事件.这样我们有
)(1)(A P A P -=
例如: 厂家进行有奖销售, A 表示”买产品中奖”,其概率为0.7,即7.0)(=A P .则A 表示”买产品不中奖”,而且3.07.01)(1)(=-=-=A P A P .
2 关于事件AB ,B A 的概率
定义 给定两个事件B A ,.我们来构造两个新的事件AB ,
B A . AB 发生是指:B A ,都发生 .B A 发生是指: B A ,当中至少有一个发生.例如:A=”产品长度合格”,B=”产品的质量合格”,则AB=”产品的长度和质量都合格”, B A =”产品的长度,质量指标至少有一项合格”.
例1. 100个产品中有93个产品长度合格,90个产品重量合格,其中长度,重量都合格的
有85个.现从中任取一产品,记A=”产品长度合格”,B=”产品重量合格”,我们有
100
85)(,10090)(,10093)(===AB P B P A P 而B A =”产品的长度,重量至少有一个合格”的概率:
)()()(B P A P B A P +≠ 这是因为1)()(>+B P A P ,显然不会等于)(B A P .而是
98.0100851009010093)()()()(=-+=
-+=AB P B P A P B A P 例2. 甲乙二人射击时,若A=”甲命中目标”的概率为0.5,B=”乙命中目标”的概率为
0.6,AB=”甲乙都命中目标”的概率为0.3,则B A =”甲乙二人至少有艺人命中目标”的概率
8.03.06.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P
从上面的两个例子我们不难看出:只有当B A ,两个事件不可能同时发生时(即φ=AB 时)才有公式 )()()(B P A P B A P +=
3 互斥事件的加法公式
定义 不可能同时发生的两个事件我们称为互斥事件或互不相容事件. 由上面的讨论我们可以得出如下的结论
设事件B A ,互斥,则)()()(B P A P B A P += .
下面我们考虑n 个事件n A A A ,,21,我们用n A A A 21表示n A A A ,,21都发生,用n A A A 21表示n A A A ,,21中至少有一个发生.
(1) 如果n A A A ,,21中任意两个都互斥(称这种情形为n A A A ,,21两两互斥),则
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ++=
(2) 如果n A A A ,,21不满足俩俩互斥,)(21n A A A P 的计算公式比较复杂,我
们再此不予考虑.
例3. 设某种产品分为一等品,二等品,三等品和不合格品四个等级.1A =”产品为一等品”
的概率为0.5,2A =”产品为二等品”的概率为0.45,3A =”产品为三等品”的概率为0.03自然321,,A A A 为两两互斥的事件,则
98.003.045.05.0)(321=++=A A A P
这就是说,该产品的合格率为0.98.
二、古典概率
随机事件发生的频率的稳定性人们经历了相当一段时间才认识到.
例1, 投一枚硬币,当试验的次数很大时,出现的频率在2
1的附近.投之一枚硬币时, 由于硬币的对称性, 正反两面出现的机会是相等的,而再没有别的情况发生. 因此, 每个结果发生的概率相等,均等于2
1. 例2, 掷一枚筛子,他只有六种可能的结果,我们记""点出现第i A i =(.6,5,4,3,2,1=i ). 同样由于对称性, 这6种可能的结果出现的机会相同, 股枚各每个结果发生的概率应是61.即)6,5,4,3,2,1(,6
1)(==i A P i . 问题: 投一枚均匀的筛子,出现偶数点奇数点的概率各是多少?
设""投掷偶数点
=B ,则事件B 包含有三种结果32,,A A A ,而且他们两两互斥.他们之中有一个发生则B 发生,反之B 发生,他们中一定有一个发生.即321A A A B =,因此我们有
6
3)()()()(642=++=A P A P A P B P 问题: 投掷一枚均匀硬币,事件"4"点投掷点数不超过
=C 的概率是多少?
6
4)()()()()(4321=+++=A P A P A P A P C P 由于这些都是历史上最早研究的概率模型,对上述的数学模型我们称为古典概率.为了便于研究,我们首先假设:
1 试验只有有限个结果发生.设为n 个,我们记为n A A A ,,21. 每次试验的结果只发生且发生一个(这实质上是指: n A A A ,,21两两互斥). 每次有一个发生表明: n A A A 21是必然事件.以后称n A A A ,,21为n 个基本事件.
2 每个基本事件出现的机会相同, 即对任意一个基本事件1A 有:
),2,1(,1)(n i n
A P i ==
对任意事件B ,若它包含k 个基本事件,则B 发生的概率为: n
k B B P ==总的基本事件个数包含的基本事件的个数)( 例1 从红,白,黑三个球中任取两个,求A=”取到红球”的概率. 解答: 32)(=
A P 例2 任意投掷3枚硬币,恰有一枚正面朝上的概率是多少?
解答:可能的结果有:
(上上上),(上上下),(上下上),(下上上),(下上下),(下下下)8种可能,其中(上下下),
(下上下), (下下上) 意味着恰有一枚硬币正面朝上,所以概率为
8
3 例
4 任选一个两位数,他恰好是10的倍数的概率是多少? 解答: 101909=。