顺义区高三一模理科数学试题及答案word资料9页

顺义区2019届高三第一次统练
高三数学（理科）试卷 2019.1
一. 选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
1. 已知全集U R =,{}|03M x x =<<,{}|2N x x =≥,()U M C N =I ( ) A.{}|02x x << B.{}|03x x << C.{}|23x x ≤< D.{}|3x x <
2.已知i 为虚数单位，则(21)i i += （ ） A. 2i + B. 2i - C. 2i -+ D. 2i --
3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数为 A.1()f x x -= B.()cos f x x = C.()2x f x = D.12
()log f x x =
4. 执行右边的程序框图，若4p =，
则输出的S 值为 ( )
A.34
B.7
8
C.1516
D.3132
5.在直角坐标系xoy 中，极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，已知圆C 的参数方程为：cos 1sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩ (α为参数，R α∈），则
此圆圆心的极坐标为 ( )
A. (1,)2
π- B. (1,0) C. (1,)2
π
D. (1,)π
6.设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，则560a a +>是82S S ≥的
( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为 ( )
A. 2575C A
B.2275C A
C.2273C A
D.2274C A 8．已知映射f
：'(,)P m n P →(0,0)m n ≥≥.设点(1,3),(3,1)A B ,点M 是线段AB 上一动点，':f M M →，当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点'M 所经过的路线长度为 ( ) A.
6π B. 4π C. 3π D. 2
π 二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上) 9.
已知sin 5
α=
，则cos2α=_____________. 10.抛物线216y x =的焦点F 的坐标为__________,点F 到双曲线
22312x y -=的渐近线的距离为______________.
11
．62
)x
的展开式中，常数项为_____________.
12.如图所示：AB 是半径为1的圆O 的直径，BC ，CD 是圆O 的切线，,B D 为切点， 若030ABD ∠=，则AD OC ⋅的值为________________.
O C
D
B
A
13.已知两个非零向量(1,1)a m n =+-r ，(3,3)b m n =+-r
，且a r 与b r 的夹角为
钝角或直角，则n m -的取值范围是________________. 14.已知函数()1x
f x x
=
+ (x R ∈)，给出下列命题： （1）对R ∀∈，等式()()0f x f x -+=恒成立； （2）函数()f x 的值域为()1,1-； （3）若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； （4）函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点.
其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上） 三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）
已知向量1
)2a =-r ，b =r .
(Ⅰ)求证a b ⊥r r
；
（Ⅱ）如果对任意的s R +
∈，使(12)m a s b =++u r r r 与1(1)n ka b s
=-++r r r
垂直，
求实数k 的最小值 16．（本小题共13分）
已知函数()4sin cos()3
f x x x π
=-x R ∈）
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期与对称轴方程;
(Ⅱ)求()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
17．（本小题共13分）
某学校教学实验楼有两部电梯，每位教师选择哪部电梯到实验室
的概率都是12
，且相互独立，现有3位教师准备乘电梯到实验室. (Ⅰ) 求3位教师选择乘同一部电梯到实验室的概率；
（Ⅱ）若记3位教师中乘第一部电梯到实验室的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 18．（本小题共14分）
已知函数()(1)kx f x x e =+,(k 为常数，0k ≠). （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若函数()f x 在区间()0,1上是单调增函数，求实数k 的取值范围. 19．（本小题共14分）
已知椭圆:G 122
22=+b y a x )0(>>b a 的离心率e =，短轴长为2，O 为坐
标原点.
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
(Ⅱ) 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是椭圆G 上的两点，11(,)x y m a b =u r ，22(,)x y
n a b
=r .
若0m n ⋅=u r r
，试问AOB V 的面积是否为定值？如果是请给予证明，如
果不是请说明理由. 20. （本小题共13分） 已知函数167
()44
x f x x +=
+，数列{}n a ，{}n b 满足01>a ，01>b ， （Ⅰ）若13a =，求2,a 3a ；
（Ⅱ）求1a 的取值范围，使得对任意的正整数,n 都有n n a a >+1； （Ⅲ）若,4,311==b a 求证：1
8
10-≤
-<n n n a b ，1,2,3n =⋅⋅⋅
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高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准 2019.1
二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分 9．35
；10.(4,0),2；11.60；12．2；13．(2,6)；14 ．（1），（2），（3）； 三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）Q 1()22a =-r ，b =r ，∴022a b ⋅=-=r r
∴a b ⊥r r
————4分
（Ⅱ）Q m n ⊥u r r ，故∴0m n ⋅==u r r ，∴22
1(12)(1)0ka s b s
-+++=r r
Q ||1,||2a b ==r r
，∴221,4a b ==r r ；————8分
∴1
4(23)k s s
=++，————10
分
注意到s 为正实数，
∴4(3k ≥+，“=”当且仅当2
s =
时成立——12分
∴k 的最小值为4(3+.————13分.
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）1()4sin cos 2f x x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
sin 222sin(2)3
x x x π
=-=-————4分
∴周期T π=，————6
分
对称轴方程232x k π
π
π-
=+
，∴5,212k x k Z ππ=
+∈————8分
（Ⅱ）Q 02x π≤≤，∴22333
x πππ
-≤-≤，————9分
∴当23
3
x π
π
-
=-
时min ()f x =，————11分
当2233
x ππ
-=时max ()2f x =.————13分
17．（本小题共13分）
（Ⅰ）记三位教师选择同一部电梯到实验室为事件A ，
则1
3211
()()24P A C ==；————4分
223113(2)()(1)228P C ξ==-=，33
03111(3)()(1)228
P C ξ==-= ————8分
ξ的分布列为：
————10分
13
322
E ξ=⨯=（元） ————13分
18．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）Q ()(1)kx f x x e =+
∴'()(1)(1),0kx kx kx f x e ke x e kx k k =++=++≠；——2分
当1k =时，()(1)x f x x e =+，'()(2),x f x e x =+， 令'()0f x >，Q 0x e >，∴2x >-，
∴函数()f x 在(),2-∞-递减，在()2,-+∞递增. ————4分 ∴函数()f x 在2x =-时取得极小值21
(2)f e
-=-
；————5分 （Ⅱ）由（1）知∴'()(1),kx f x e kx k =++ 令'()0f x ≥，Q 0kx e >，∴10kx k ++≥，由0k ≠
∴当0k >时，11
1k x k k
+≥-
=--， ∴当0k >时()f x 在1(1,)k --+∞递增，在1
(,1)k -∞--递减；———7分
同理0k <时，()f x 在1(1,)k --+∞递减，在1
(,1)k
-∞--递增；——9分
（Ⅲ）Q ()f x 在()0,1上单调递增，
∴'()(1)0kx f x e kx k =++≥在()0,1上恒成立，
Q 0kx e >，∴10kx k ++≥在()0,1上恒成立，———11
分
法1：设()1g x kx k =++，只需(0)0(1)0g g ≥⎧⎨≥⎩，解得1
2k ≥-，
∴1
[,0)(0,)2
k ∈-+∞U ，————14
分
法2：要 10kx k ++≥在()0,1上恒成立，∴1
1
k x ≥-
+， Q 11x -
+在(0,1)上单调递增，∴max 11()12x -=-+，∴12
k ≥- 19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）22,b =∴1b =
，2
c e a ===————2分
∴2a =，椭圆G 的方程为2
214
x y +=；————4分
（Ⅱ）当AB 的斜率不存在时，1212,x x y y ==-，
由0m n ⋅=u r r ，∴1111(,)(,)022
x x
y y -=
∴2
2112211041
4
x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，解得11|||2x y ==，
∴1121||||12AOB S x y y =
-==V 是定值. ————6分 当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+
22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222
(14)8440k x kmx m +++-= 122
8,14km
x x k
+=-+ 21224414m x x k -=+ （**）————8分 由0m n ⋅=u r r ，∴1212()()04
x x
kx m kx m +++=
即2
2121214()04
k x x km x x m ++++=，（**）代入解得22421k m =-； ————10分
坐标原点到直线AB
的距离为：d =
，————12分
弦||AB =
∴1||12AOB S AB d =
==V 是定值. ————14分 20．（本小题共13分） 同样可求：2322167248
()44
71
a a f a a +===
+————3分 （Ⅱ）16791
()44441
x f x x x +=
=-⋅++，则 1191
()4(1)(1)
n n n n a a a a --=
-++————5分
12122
12291()()4(1)(1)(1)(1)
n n n n a a a a a a ---=-+++⋅⋅⋅+————7分 注意到*0,()n a n N >∈，要使1n n a a +>只须210a a ->， 即
111167,44a a a +>+21141270a a --<，解得17
02
a <<.————9分 （Ⅲ）当13a =时，由（Ⅱ）知1n n a a +>，即
167
,44
n n n a a a +>+，
解得702n a << ∴732
n a ≤<
Q 14b =，∴由（Ⅱ）知1n n b b +≤即
167,44n n n b b b +≤+解得7
42
n b ≤≤，*n N ∈ ————11分
综上所述1
1
0,1,2,38n n n b a n -<-≤=⋅⋅⋅————13分。