2017《核按钮》高考数学一轮复习考点突破配套训练：第十一章 统计

第十一章统计
考纲链接
1.随机抽样
(1)理解随机抽样的必要性和重要性．
(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．
2．用样本估计总体
(1)了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．
(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．
(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．
(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
3．变量的相关性
(1)会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．
(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)．
4．统计案例
(1)通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题．
(2)通过典型案例了解独立性检验的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题．
§11.1随机抽样
1．简单随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种：________法和________法．
抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体________，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取______个号签，连续抽取________次，就得到一个容量为n的样本．
随机数法：随机数法就是利用______________、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
2．系统抽样
(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
①先将总体的N个个体________．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当
N
n(n
是样本容量)是整数时，取k＝
N
n，如果遇到
N
n不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；
③在第1段用______________抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上________得到第2个个体编号________，再________得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本．
(2)当总体中元素个数较少时，常采用____________，当总体中元素个数较多时，常采用______________．
3．分层抽样
(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成________的层，然后按照一定的________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)当总体是由__________的几个部分组成时，
往往选用分层抽样的方法．
(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是________的．
自查自纠：
1．(1)不放回都相等
(2)抽签随机数编号1n随机数表
2．(1)①编号③简单随机
④间隔k(l＋k)加k(l＋2k)
(2)简单随机抽样系统抽样
3．(1)互不交叉比例(2)差异明显(3)均等
(2015·南昌模拟)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()
A．简单随机抽样B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
解：总体中所要调查的因素受学段影响较大，而受性别影响不大，所以最合理的抽样方法是按学段分层抽样．故选C.
从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是()
A．系统抽样B．分层抽样
C．简单随机抽样D．随机数法
解：根据定义易判断这样的抽样为系统抽样．故选A.
(2014·重庆)某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()
A．100 B．150 C．200 D．250
解：样本抽取比例为70
3500＝1
50，该校总人数为
3500＋1500＝5000，由n
5000＝1
50得n＝100.故选A.
为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样抽取样本时，每组的容量为____________．
解：由于5008不能被200整除，所以须先剔除
8人，再由5000÷200＝25知每组的容量为25.故填25.
某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号为第1组，6～10号为第2组，…，196～200号为第40组)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
解：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37；易知40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，所以40岁以下年龄段应抽取的人数为
40
200×100＝20.故填37；20.
类型一简单随机抽样
某大学为了支援我国西部教育事业，决定从应届毕业生报名的18名志愿者中选取6名组成志愿小组．请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
解：(抽签法)
第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18)
第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
(随机数表法)
第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03， (18)
第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读；
第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，
凡不在01～18中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09；
第四步：找出以上号码对应的志愿者，即是志愿小组的成员．
点拨：
考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法很容易获取样本，但须按这两种抽样方法的操作步骤进行．注意掌握随机数表的使用方法．
有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，请写出用简单随机抽样方法获得样本的步骤．解法一：将112个外形完全相同的号签(编号
001，002，...，112)放入一个不透明的盒子里，充分搅拌均匀后，每次不放回地从盒子中抽取1个号签，连续抽取10次，就得到1个容量为10的样本．解法二：第一步，将机器编号为001，002，003， (112)
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如选第9行第7个数“3”，向右读；
第三步，从“3”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092，这样就得到一个容量为10的样本；
第四步，找出以上号码对应的机器，即是要抽取的样本．
类型二系统抽样
从某厂生产的10002辆汽车中随机抽取100辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．
解：因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样．
抽样步骤如下：
第一步，将10002辆汽车用随机方式编号；
第二步，从总体中剔除2辆(剔除法可用随机数表法)，将剩下的10000辆汽车重新编号(分别为00001，00002，…，10000)，并分成100段；
第三步，在第一段00001，00002，…，00100这100个编号中用简单随机抽样方法抽出一个作为起始号码(如00006)；
第四步，把起始号码依次加上间隔100，可获得样本．
点拨：
①总体容量和样本容量都较大时，选用系统抽样比较合适；②系统抽样的号码成等差数列，公差为每组的容量．
(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1, 2, …, 840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481, 720]的人数为()
A．11 B．12 C．13 D．14
解：从840名职工中抽取42人，按系统抽样分42组，每组20人，每组中抽取1人，在[481，720] 中有720－480＝240人，240÷20＝12组，编号落入区间[481，720]的人数为12.故选B.
类型三分层抽样
某企业共有5个分布在不同区域的工厂，职工3万人，其中职工比例为3∶2∶5∶2∶3.现从3万人中抽取一个300人的样本，分析员工的生产效率．已知生产效率与不同的地理位置的生活习俗及文化传统有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解：应采取分层抽样的方法．过程如下：
(1)将3万人分为五层，其中一个工厂为一层．
(2)按照样本容量的比例随机抽取各工厂应抽取的样本：
300×
3
15＝60(人)；300×
2
15＝40(人)；
300×
5
15＝100(人)；300×
2
15＝40(人)；
300×
3
15＝60(人)
．
因此各工厂应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．
(3)将300人组到一起即得到一个样本．
点拨：
分层抽样的实质为按比例抽取，当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层抽样．应认识到，
在各层抽取样本时，又可能会用到简单随机抽样，系统抽样，甚至分层抽样来抽取样本．
(2014·天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生．解：应从一年级本科生中抽取300×
4
4＋5＋5＋6
＝60名学生．故填60.
1．简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，它的特点是：
(1)它要求总体个数较少；
(2)它是从总体中逐个抽取的；
(3)它是一种不放回抽样．
2．系统抽样又称等距抽样，号码序列一旦确定，样本即确定好了．但要注意，如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，那么样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向．3．分层抽样一般在总体是由差异明显的几个部分组成时使用．
4．抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中均匀分段后的第一段，可采用简单随机抽样；分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样等．
1．某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽取一张，如15号，然后按顺序往后将65号、115号、165号……发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是()
A．抽签法B．系统抽样
C．分层抽样D．随机数表法
解：易知为系统抽样．故选B.
2．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是()
A．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样
B．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样
C．①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样
D．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样
解：由各抽样方法的适用范围可知较为合理的抽样方法是：①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样．故选A.
3．(2014·广东)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()
A．50 B．40 C．25 D．20
解：由
1000
40＝25，可得分段的间隔为25.故选C.
4．(2015·河北模拟)用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为()
A.
1
100B.
1
20C.
1
99D.
1
50
解：简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率为
样本容量
总体中的个体数
，即个体m被抽到的概率为
5
100＝1
20.故选B.
5．(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则() A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3
解：根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法中每个个体被抽到的概率相等，均是
n
N，故p1＝p2＝p3，故选D.
6．(2013.江西)总体由编号为01，02， (19)
20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选
解：从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编号分别为08，02，14，07，01，…，因此选出来的第5个个体的编号为01.故选D.
7．(2014·河北唐山统考)一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为________．
解：设抽取男运动员的人数为x，则由题意得
14 32＋24＝
x
32，解得x＝8.故填8.
8．(2015·安徽模拟)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是____________．
解：∵系统抽样是等距抽样，52÷4＝13，间隔为13，且5号，31号，44号学生在样本中，∴5＋
13＝18，即样本中还有一个学生的编号是18.故填18.
9．为了考察某校的教学水平，将抽查该校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面地反映实际情况，采用以下三种方式进行抽样(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式中各自采用了何种抽取样本的方法？
解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
(2)第一种采用简单随机抽样法；第二种采用系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用分层抽样法和简单随机抽样法．
10．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．
解：田径运动员的总人数是56＋42＝98(人)，要得到28人的样本，占总体的比例为
2
7.于是，应该在男运动员中随机抽取56×
2
7＝16(人)，在女运动员中随机抽取28－16＝12(人)．这样，就可以得到一个容量为28的样本．
11．某大学今年有毕业生1503人，为了了解毕业生择业的意向，打算从中选50人进行询问调查，试用系统抽样法确定出这50个人．
解：总体中的每个个体都必须等可能地入样，为了实现系统抽样的平均分组且又等概率抽样，必须先剔除1503被50除的余数3，再“分段”，定起始位置．
第一步：将1503名大学生随机编号：0001，0002， (1503)
第二步：因为1503被50除余3，所以应从总体中剔除3人，用随机数表法确定被剔除的3位学生；
第三步：将余下的1500名学生重新编号为0001，0002， (1500)
第四步：将上述1500个号码按顺序平均分成50段，每段30人；
第五步：在第一段0001，0002， (0030)
30个编号中随机确定一起始号i0；
第六步：取出编号为i0，i0＋30，i0＋60，…，i0＋49×30的大学生，即得所需样本．
某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属
于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样进行抽样？
解：可以采用分层抽样的方法，按照收入水平分成三层：高收入者、中等收入者、低收入者．从题中数据可以看出，高收入者为50名，占所有员工
的比例为50
1000＝5%，为保证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的比例也应为5%，数量为100×5%＝5，所以应抽取5名高层管理人员．同理，抽取15名中层管理人员、80名一般员工，再对收入状况分别进行调查．
§11.2 用样本估计总体
1．用样本的频率分布估计总体分布
(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的__________估计总体的__________；另一种是用样本的________估计总体的__________．
(2)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用________________表示．各小长方形的面积总和等于________．
(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布________．随着样本容量的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为______________，它能够更加精细地反映出____________________________________．
(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以____________________，而且可以______________，给数据的记录和表示都带来方便．
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数，中位数，平均数
众数：在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的________)叫做这组数据的中位数．
平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝______________．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该________．
(2)
样本方差，样本标准差
标准差s ＝1
n
[（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2]，
其中x n 是__________________，n 是________，x 是________．标准差是反映总体__________的特征数，样本方差是样本标准差的__________．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
自查自纠：
1．(1)频率分布 分布 数字特征 数字特征 (2)频率组距
各小长方形的面积 1 (3)折线图 组数 总体密度曲线 总体在各个范围内取值的百分比 (4)保留所有信息 随时记录
2．(1)最多 平均数 1
n
(x 1＋x 2＋…＋x n ) 相等
(2)样本数据的第n 项
样本容量 平均数 波动大小 平方
在频率分布直方图中，各个长方形的面积
表示( )
A ．落在相应各组的数据的频数
B ．相应各组数据的频率
C ．该样本所分成的组数
D ．该样本的样本容量
解：在频率分布直方图中，小长方形面积＝组距×频率组距＝频率，所以每个小长方形的面积是相应
各组数据的频率．故选B.
(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，
高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
A ．93
B ．123
C ．137
D ．167 解：由扇形统计图可得，该校女教师人数为110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选C.
有一个容量为66的样本，数据的分组及各
组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5)9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 11[31.5，35.5)12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5)3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是( )
A.16
B.13
C.12
D.23
解：落在[31.5，43.5)的频数为22，所以概率约为1
3
.故选B. (2015·江苏)已知一组数据4，6，5，8，7，
6，那么这组数据的平均数为____________．
解：x ＝4＋6＋5＋8＋7＋6
6
＝6.故填6.
(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运
动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.
13 14 15 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 0 1 2 2 3 3 3
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．
解：由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在区间[139，151]上的运动员恰有4组，故所求人数为4.故填4.
类型一 数字特征及其应用
(2015·广东)某工厂36名工人的年龄
的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的平均值x 和方差s 2；
(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
解：(1)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，因此分成9组，每组4人，由于第一组中用随机抽样抽到的年龄数据为44，且编号间隔为4，因此，依次抽到的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37.
(2)x ＝1
9(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋
37)＝40，
s 2＝1
9[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－
40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2
＋(37－40)2]＝100
9
.
(3)s ＝s 2＝1009＝10
3
，
x －s ＝3623，x ＋s ＝431
3，在x －s 与x ＋s 之间的
数据是37，38，39，40，41，42，43，处在此年龄
阶段的工人一共有23人，所占比例为23
36
×100%≈
63.89%.
点拨：
(1)根据系统抽样的定义和性质，结合题意，直接列举样本；(2)利用均值、方差的概念求解样本的均值x 及方差s 2；(3)利用(2)的结果，计算得到年龄在x －s 与x ＋s 之间的人数，再求解百分比．本题主要考查系统抽样及平均数、方差的知识，意在考查学生的数据处理能力和计算能力．
某汽车制造厂分别从A ，B 两种轮胎
中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1000 km )：
轮胎A 96 112 97 108 100 103 86 98 轮胎B 108 101 94 105 96 93 97 106 (1)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数；
(2)分别计算A ，B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差；
(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？
解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为： 96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98
8＝100，
中位数为：100＋98
2
＝99；
B 轮胎行驶的最远里程的平均数为：
108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106
8＝100，
中位数为：101＋97
2
＝99.
(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为：112－86＝26，
标准差为：
s ＝
（－4）2＋122＋（－3）2＋82＋02＋32＋（－14）2＋（－2）2
8
＝221
2
≈7.43；
B 轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，
标准差为： s ＝82＋12＋（－6）2＋52＋（－4）2＋（－7）2＋（－3）
2＋62
8
＝
118
2
≈5.43. (3)虽然A 轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差相对于A 轮胎较小，所以B 轮胎性能更加稳定．
类型二 频率分布表、频率分布直方图及其应用
(2014·全国Ⅰ)从某企业生产的某种产
品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解：(1)这些数据的频率分布直方图为：
(2)质量指标值的样本平均数为
x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100，
质量指标值的样本方差为
s 2＝(
－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104，
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0．38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
点拨：
(1)先利用表中的数据正确计算每组的频率，再
据此作出频率分布直方图，注意纵坐标是频率
组距
；(2)
求平均值时注意利用区间中点值；(3)只须将满足题意的各组数据的频率相加，再进行判断．
随机观测生产某种零件的某工厂25
名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
(1)1212的值； (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图．
解：(1)根据已知数据统计出n 1＝7，n 2＝2， 计算得f 1＝0.28，f 2＝0.08.
(2)由于组距为5，用频率
组距得各组的纵坐标分别
为0.024，0.040，0.064，0.056，0.016.
不妨以0.008为纵坐标的一个单位长，5为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图如下．。